PAGE1第十三章軸對(duì)稱13.1.2垂直平分線1垂直平分線（1）定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線；如下圖，l⊥AB，且AO=BO，則l是線段AB（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；如下圖，若l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P在直線l上，則PA=PB.（利用全等三角形可證明）（3）與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；如下圖，若PA=PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上；（利用全等三角形可證明）拓展：若PA=PB，QA=QB，則PQ是線段AB的垂直平分線.（4）垂直平分線的尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線.作法：以A,B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于P，Q，作直線PQ，則直線（5）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；2三角形的外心（1）定義：三角形外接圓的圓心叫做該三角形的外心.（2）三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)是這個(gè)三角形的外心.如下圖，直線m，n，l分別是三角形ABC三邊AB、AC和BC的垂直平分線，它們會(huì)交于一點(diǎn)O，點(diǎn)O就是三角形ABC的外心.證明設(shè)直線m，n交于點(diǎn)O，依題意可得AO=BO，AO=CO，則BO=CO，所以點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上，即直線m，n，l交于同一點(diǎn)O.因?yàn)锳O=BO=CO，所以以點(diǎn)O為圓心，AO為半徑畫個(gè)圓，該圓必過三角形三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C.【題型1】線段垂直平分線的性質(zhì)【典題1】如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝°．解析∵DE是AC的垂直平分線，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠FAE＝19°，∴∠FAC＝∠C+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠FAC＝∠C+19°，則∠C+19°+∠C+19°+∠C+70°＝180°，解得：∠C＝24°，故答案為：24．【典題2】已知：如圖，∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．①求證：BE＝CF；②若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周長(zhǎng)．解析①證明：連接CD，，∵D在BC的中垂線上,∴BD＝CD∵DE⊥AB，DF⊥AC,AD平分∠BAC∴DE＝DF∠BED＝∠DCF＝90°在RT△BDE和RT△CDF中&DE∴RT△BDE≌RT△CDF(HL)，∴BE＝CF；②解：由(HL)可得，Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE＝AF＝6，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC＝(AE+BE)+BC+(AF﹣CF)＝6+7+6＝19．【鞏固練習(xí)】1.如圖，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°．AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，則△AEF的周長(zhǎng)為()A．2 B．1 C．4 D．3答案A解析∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，∴EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，∴△AEF的周長(zhǎng)＝AE+EF+AF＝EB+EF+FC＝BC，∵BC＝2，∴△AEF的周長(zhǎng)為2，故選：A．2.如圖，∠AOB內(nèi)一點(diǎn)P，P1，P2分別是P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，P1P2交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．若△PMN的周長(zhǎng)是5cm，則P1P2的長(zhǎng)為()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm答案C解析∵P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周長(zhǎng)＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∵△PMN的周長(zhǎng)是5cm，∴P1P2＝5cm．故選：C．3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分線MN交AC于D點(diǎn)，連接BD，則∠DBC的度數(shù)是()?A．22° B．27° C．32° D．40°答案B解析∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠∵M(jìn)N垂直平分線AB，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝42°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝69°﹣42°＝27°．故選：B．4.如圖，在△ABC中，EF是AC的垂直平分線，AD⊥BC，D為BE的中點(diǎn)．(1)求證：AB＝CE．(2)若∠C＝32°，求∠BAC的度數(shù)．答案(1)略(2)84°解析(1)證明：如圖，連接AE．∵AD⊥BC，且D為線段BE的中點(diǎn)，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE．∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∴AB＝CE．(2)∵AE＝EC，∠C＝32°，∴∠CAE＝∠C＝32°，∴∠AEB＝64°．∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°．【題型2】線段垂直平分線的判定【典題1】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線l1交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線l2交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，△ADE的周長(zhǎng)為10．請(qǐng)你解答下列問題：(1)求BC的長(zhǎng)；(2)試判斷點(diǎn)O是否在邊BC的垂直平分線上，并說明理由．解析(1)∵l1垂直平分AB，∴DB＝DA，同理EA＝EC，∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝10；(2)點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上，理由：連接AO，BO，CO，∵l1與l2是AB，AC的垂直平分線，∴AO＝BO，CO＝AO，∴OB＝OC，∴點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上．【鞏固練習(xí)】1.如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一點(diǎn)，BC＝DC，過點(diǎn)D作AC的垂線交AB于點(diǎn)E，求證：CE垂直平分BD．證明∵ED⊥AC，∴∠EDC＝∠EBC＝90°，在Rt△ECB和Rt△ECD中&EC∴Rt△ECB≌Rt△ECD(HL)，∴EB=ED，又∵BC＝DC，∴CE垂直平分BD．2.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．(1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；(2)求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．答案(1)65°(2)略解析(1)解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝12∠BAC∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．(2)證明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分線段EC，即直線AD是線段CE的垂直平分線．【題型3】三角形的外心【典題1】如圖，△ABC中，∠A＝70°，點(diǎn)O是AB、AC垂直平分線的交點(diǎn)，則∠BCO的度數(shù)為()?A．20° B．30° C．25° D．35°解析連接OA、OB，∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∵O是AB，AC垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA+∠OCA＝70°，∴∠OBC+∠OCB＝110°﹣70°＝40°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝20°．故選：A．【鞏固練習(xí)】1.到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三條()A．中線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．角平分線的交點(diǎn) D．高線的交點(diǎn)答案B解析因?yàn)榈饺切胃黜旤c(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，需要根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，只有分別作出三角形的兩邊的垂直平分線，交點(diǎn)才到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．故選：B．2.如圖，點(diǎn)P為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，則∠PAB的度數(shù)為．答案40°解析∵點(diǎn)P為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴PA＝PB＝PC，∴∠PCA＝∠PAC＝20°，∠PBC＝∠PCB＝30°，∠PAB＝∠PBA，∴∠PAB＝12故答案為：40°．3.如圖，點(diǎn)D是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，若∠A＝64°，則∠D＝°．答案128°解析如圖，連接AD，∵點(diǎn)D是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴AD＝BD＝CD，∴∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，∴∠ABD+∠ACD+∠BAC＝2∠BAC＝2×64°＝128°，在△ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠DBC+∠DCB＝180°﹣128°＝52°，在△DBC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠BDC＝180°﹣(∠DBC+∠DCB)＝180°﹣52°＝128°．故答案為：128°【題型4】尺規(guī)作圖【典題1】作圖題：在∠ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使它到∠ABC的兩邊的距離相等，并且到點(diǎn)A、C的距離也相等．(寫出作法，保留作圖痕跡)解析①以B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BC、AB于D、E兩點(diǎn)；②分別以D、E為圓心，以大于12DE為半徑畫圓，兩圓相交于F③連接BF，則射線BF即為∠ABC的角平分線；⑤連接AC，分別以A、C為圓心，以大于12AC為半徑畫圓，兩圓相交于H，G⑥連接GH交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求．【鞏固練習(xí)】1.在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等，并且點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離等于線段AC的長(zhǎng)．?解析由題意得，點(diǎn)P是線段AB的垂直平分線與以點(diǎn)C為圓心、CA長(zhǎng)為半徑畫弧的交點(diǎn)，再根據(jù)各選項(xiàng)的尺規(guī)作圖即可．2.如圖所示，點(diǎn)A，B，C分別表示三個(gè)住宅小區(qū)，為了豐富社區(qū)居民的文化生活，擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心，使它到三個(gè)住宅小區(qū)的距離相等，請(qǐng)你在圖中確定文化活動(dòng)中心(用點(diǎn)D表示)的位置．解析如圖，點(diǎn)D為所作．【A組基礎(chǔ)題】1.如圖，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)為21，則AC的長(zhǎng)為()?A．6 B．9 C．10 D．12答案D解析∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∵△BCE的周長(zhǎng)等于21，∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝21．∵△ABC中，BC＝9，∴AC＝21﹣9＝12．故選：D．2.如圖，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分線與∠BAC的角平分線交于點(diǎn)O，則∠ABO的度數(shù)為()A．35° B．30° C．25° D．20°答案A解析∵AO平分∠BAC，∴∠BAO∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝35°，故選：A．3.政府為更好地服務(wù)農(nóng)民，將在村莊A、B、C之間的空地上新建一座倉(cāng)庫P．已知A、B、C恰好在三條公路的交點(diǎn)處，要求倉(cāng)庫P到村莊A、B、C的距離相等，則倉(cāng)庫P應(yīng)選在()A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)答案B解析∵倉(cāng)庫P到村莊A、B的距離相等，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，∵倉(cāng)庫P到村莊A、C的距離相等，∴點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，∴倉(cāng)庫P應(yīng)選在三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：B．4.如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A＝50°，∠ABD＝26°，則∠ACF的度數(shù)為()A．66° B．52° C．46° D．42°答案B解析∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝26°，∠ABC＝2∠ABD＝52°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣52°＝78°，∵EF是BC的垂直平分線，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠CBD＝26°，∴∠ACF＝78°﹣26°＝52°，故選：B．5.已知P為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，且∠BAC＝40°，則∠BPC＝()A．70° B．80° C．120° D．110°答案B解析∵P為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)P是△ABC的外心，∠BPC＝2∠BAC＝80°，故選：B．6.如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連結(jié)P1P2交OA于M，交OB于N，若線段P1P2的長(zhǎng)為12cm，則△PMN的周長(zhǎng)為cm．答案12解析∵P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，∴NP＝NP2，MP＝MP1，∴△PMN的周長(zhǎng)＝PN+MN+MP＝P2N+NM+MP1＝P1P2＝12cm，故答案為：12．7.已知：如圖，在△ABC中，∠C＝120°，邊AC的垂直平分線DE與AC、AB分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E．(1)作出邊AC的垂直平分線DE；(2)當(dāng)AE＝BC時(shí)，求∠A的度數(shù)．答案(1)略(2)20°解析(1)如圖所示，DE即為所求作的邊AC的垂直平分線；(2)如圖，連接CE，∵DE是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，∵AE＝BC，∴CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，設(shè)∠A＝x，則∠CEB＝∠A+∠ACE＝x+x＝2x，在△BCE中，∠BCE＝180°﹣2×2x＝180°﹣4x，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝x+180°﹣4x＝120°，解得x＝20°，即∠A＝20°．8.如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求證：OE垂直平分BD．證明在△AOB與△COD中&∠A∴△AOB≌△COD(ASA)，∴OB＝OD，∴點(diǎn)O在線段BD的垂直平分線上，∵BE＝DE，∴點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線上，∴OE垂直平分BD．9.如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D，AC邊的垂直平分線l2交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC．(1)若△ADE的周長(zhǎng)為8cm，△OBC的周長(zhǎng)為20cm．①求線段BC的長(zhǎng)；②求線段OA的長(zhǎng)．(2)若∠BAC＝120°，求∠DAE的度數(shù)．答案(1)①8cm②6cm(2)60°解析(1)①∵l1是AB邊的垂直平分線，∴DA＝DB，∵l2是AC邊的垂直平分線，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8cm；②∵l1是AB邊的垂直平分線，∴OA＝OB，∵l2是AC邊