一元一次不等式（組）與方程（組）的結(jié)合培優(yōu)資料考點(diǎn)·辦法·破譯1．進(jìn)一步熟悉二元一次方程組的解法，以及一元二次不等式組的解法．2．綜合運(yùn)用一元一次不等式組和二元一次方程組解決某些典型的實(shí)際問(wèn)題．典型·考題·賞析【例1】求方程3x+27＝17的正整數(shù)解．【解法指導(dǎo)】普通地，一種二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，但它的特殊解是有限個(gè)，如一種二元一次方程的正整數(shù)解，非負(fù)整數(shù)解都是有限個(gè)．求不定方程的正（非負(fù)）整數(shù)解時(shí)，往往借助不等式，整數(shù)的奇偶性等有關(guān)知識(shí)來(lái)協(xié)助求解．解：將方程變形為2y＝17－3x即∵y＞0∴＞0∴x＜即x＜又∵y為正整數(shù)（即為整數(shù)）∴17－3x為偶數(shù)∴x必為奇數(shù)∴x＝1，3，5當(dāng)x＝1時(shí)，當(dāng)x＝3時(shí)，當(dāng)x＝5時(shí)，故原方程的正整數(shù)解為EQ\B\lc\{(\a\al(x=1,y=7,))或EQ\B\lc\{(\a\al(x=3,y=4,))或EQ\B\lc\{(\a\al(x=5,y=1))【變式題組】01．求下列各方程的正整數(shù)解：⑴2x+y＝10 (2)3x+4y＝2102．有10個(gè)蘋(píng)果，要分給兩個(gè)女孩和一種男孩，規(guī)定蘋(píng)果不得切開(kāi)，且兩個(gè)女孩所得的蘋(píng)果數(shù)相等，每個(gè)孩子都有蘋(píng)果吃，問(wèn)有哪幾個(gè)分法？【例2】足球聯(lián)賽得分規(guī)定以下：勝1場(chǎng)得3分，平1場(chǎng)得1分，負(fù)1場(chǎng)得0分?某隊(duì)在足球聯(lián)賽的4場(chǎng)比賽中得6分，這個(gè)隊(duì)勝了幾場(chǎng)，平了幾場(chǎng)，負(fù)了幾場(chǎng)？【解法指導(dǎo)】本題中，全部的等量關(guān)系只有兩個(gè)，而未知量有三個(gè)?因而所列方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，即為不定方程組，但每個(gè)未知數(shù)量的數(shù)目必為非負(fù)整數(shù)?因此，此題的實(shí)質(zhì)就是滶不定方程的非負(fù)整數(shù)解的問(wèn)題．此方程組有兩個(gè)方和，三個(gè)未知數(shù)，解法仍然是消元，即消去某一種未知數(shù)后，變?yōu)槎淮畏匠蹋俜抡绽?的解法施行．解：設(shè)該隊(duì)勝了x場(chǎng)，平了y場(chǎng)，負(fù)了z場(chǎng)，依題意可得：EQ\B\lc\{(\a\al(x＋y＝4①,3x＋y＝6②,))②－①得：2x－z＝2③變形得：z＝2x－2∵0≤z≤2∴0≤2x－2≤2即1≤x≤2又x為正整數(shù)∴x＝1，2對(duì)應(yīng)地，y＝3，0z＝0，2答：這個(gè)隊(duì)勝了1場(chǎng)，平了3場(chǎng)，或勝了2，負(fù)了2場(chǎng)．【變式題組】01．（佳木斯）為了獎(jiǎng)勵(lì)進(jìn)步較大的學(xué)生，某班決定購(gòu)置甲、乙、丙三種鋼筆作為獎(jiǎng)品，其單價(jià)分別為4元、5元、6元，購(gòu)置這些鋼筆需要花60元；通過(guò)協(xié)商，每種鋼筆單價(jià)下降1元，成果只花了48元，那么可能購(gòu)置甲種筆（）．A．11支 B．9支 C．7支 D．5支02．一旅游團(tuán)50人到一旅舍住宿，旅舍的客戶有三人間、二人間、單人間三種?其中三人間的客房每人每晚20元，二人間的客房每人每晚30元，單人間的客房每人每晚50元．(1)若旅游團(tuán)共住滿了20間客房，問(wèn)三種客房各住了幾間？如何住消費(fèi)最低？(2)若該旅游團(tuán)中，夫妻住二人間，單身住三人間，小孩隨父母住在一起，現(xiàn)已知有小孩4人（每對(duì)夫妻最多只帶1個(gè)小孩），單身30人，其中男性17人，有兩名單身心臟病患者規(guī)定住單人間，問(wèn)這一行人共需多少間客房？【例3】已知：有關(guān)x、y的方程組EQ\B\lc\{(\a\al(x－y=a+3,2x+y=5a))若x＞y，求a的取值范疇．【解法指導(dǎo)】解本題的指導(dǎo)思想就是構(gòu)建以a為未知數(shù)的不等式?解之即得a的取值范疇，構(gòu)建不等式的根據(jù)就是x＞y，而解方程組即可用a的代數(shù)式分別表達(dá)x和y，進(jìn)而可得不等式．解：解方程組EQ\B\lc\{(\a\al(x－y＝a＋3,2x＋y＝5a))得EQ\B\lc\{(\a\al(x＝2a＋1,y＝a－2))∵x＞y∴2a＋1＞a－2解得a＞－3故a的取值范疇是a＞－3．【變式題組】01．已知：有關(guān)x的方程3x－(2a－3)＝5x＋(3a＋6)的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范疇是_____．02．已知：有關(guān)x、y的方程組EQ\B\lc\{(\a\al(x+y=3a+9,x－y=5a+1))的解為非負(fù)數(shù)．(1)求a的取值范疇；(2)化簡(jiǎn)｜4a+5｜－｜a－4｜．03．當(dāng)m為什么值時(shí)，有關(guān)x的方程的解不不大于1？4．已知方程組EQ\B\lc\{(\a\al(2x+y=5m+6,x－2y=－17))的解x、y都是正數(shù)，且x的值不大于y的值，求m的取值范疇．【例4】（涼州）若不等式EQ\B\lc\{(\a\al(x－a＞2,b－2x＞0))的解集是－1＜x＜1，求（a+b）的值．【解法指導(dǎo)】解此不等式組得a+2＜x＜，而依題意，該不等式的解集又是－1＜x＜1，而解集是唯一的，因此兩解集的邊界點(diǎn)分別“吻合”，從而得兩等式即得方程組，解之可得a、b之值．解：解不等式組EQ\B\lc\{(\a\al(x－a＞2a,－2x＞0))得a+2＜x＜又∵此不等式組的解集是－1＜x＜1∴EQ\B\lc\{(\a\al(a+2=－1,=1a))解設(shè)EQ\B\lc\{(\a\al(a=－3a,b=2a))∴（a+b）＝（－1）＝－1【變式題組】01．若EQ\B\lc\{(\a\al(2a+x＞a,2－3x＞a))的解集為－1＜x＜2，則a＝___________，b＝_____________．02．已知：有關(guān)x的不等式組EQ\B\lc\{(\a\al(x－a≥b,2x－a＜2b+1))的解集為3≤x＜5，則的值為（）A．－2 B． C．－4 D．03．若有關(guān)x的不等式組EQ\B\lc\{(\a\al(＞,x+a＞0b))的解集為x＜2，則a的取值范疇是___________．04．已知：不等式組EQ\B\lc\{(\a\al(x+2＞a+b,x－1＜a－b))的解庥為－1＜x＜2，求（a+b）的值．【例5】（永春）商場(chǎng)正在銷售“福娃”玩具和徽章兩種奧運(yùn)商品，已知購(gòu)置1盒“福娃”玩具和2盒徽章共需145元；購(gòu)置2盒“福娃”玩具和3盒徽章共需280元?(1)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的價(jià)格各是多少元？(2)某公司準(zhǔn)備購(gòu)置這兩種奧運(yùn)商品共20盒送給幼兒園（規(guī)定每種商品都要購(gòu)置），且購(gòu)置金額不能超出450元，請(qǐng)你幫該公司設(shè)計(jì)購(gòu)置方案?【解法指導(dǎo)】本題屬材料選擇類的方程與不等式結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用題，但方程組與不等式組是分開(kāi)的?分析可知：第(1)問(wèn)只需根據(jù)題目主干所提供的兩個(gè)等量關(guān)系即可列出二元一次方程組?第(2)問(wèn)由題目所給不等關(guān)系“購(gòu)置金額不能超出450元”及第(1)問(wèn)所求出的數(shù)據(jù)列出不等式，從而求解?解：(1)設(shè)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的價(jià)格分別為x元和y元．依題意，得EQ\B\lc\{(\a\al(x+2y=14,2x+3y=280))解得EQ\B\lc\{(\a\al(x=125,y=10))答：一盒“福娃”玩具和一盒徽章的價(jià)格分別是125元和10元．(2)設(shè)購(gòu)置“福娃”玩具m盒，則購(gòu)置徽章（20－m）盒．由題意，得125m+10（20－m）≤450，解得m≤2.17．因此m能夠取1，2．答：該公司有兩種購(gòu)置方案．方案一：購(gòu)置“福娃”玩具1盒，徽章19盒；方案二：購(gòu)置“福娃”玩具2盒,徽章18盆．【變式題組】01．(益陽(yáng))開(kāi)學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購(gòu)置學(xué)習(xí)用品,小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本;小亮用31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本．(1)求每支鋼筆和每本筆記本的價(jià)格；(2)校運(yùn)會(huì)后，班主任拿出200元學(xué)校獎(jiǎng)勵(lì)基金交給班長(zhǎng)，購(gòu)置上述價(jià)格的鋼筆和筆記本共48件作為獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)給校運(yùn)會(huì)中體現(xiàn)突出的同窗，規(guī)定筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有多少種購(gòu)置方案？請(qǐng)你一一寫(xiě)出．02．(眉山)漁場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)置甲、乙兩種魚(yú)苗共6000尾，甲種魚(yú)苗每尾0.5元，乙種魚(yú)苗每尾0.8元．有關(guān)資料表明：甲、乙兩種魚(yú)苗的成活率分別為90%和95%．⑴若購(gòu)置這批魚(yú)苗共用了2600元，求甲、乙兩種魚(yú)苗各購(gòu)置了多少尾？⑵若購(gòu)置這批魚(yú)苗的錢不超出4200元，應(yīng)如何選購(gòu)魚(yú)苗？⑶若要使這批魚(yú)苗的成活率不低于93%，且購(gòu)置魚(yú)苗的總費(fèi)用最低，應(yīng)如何選購(gòu)魚(yú)苗？03．（鹽城）整頓藥品市場(chǎng)，減少藥品價(jià)格是國(guó)家的惠民政策之一．根據(jù)國(guó)家的《藥品政府定價(jià)方法》，某省有關(guān)部門(mén)規(guī)定：市場(chǎng)流通藥品的零售價(jià)格不得超出進(jìn)價(jià)的15%根據(jù)有關(guān)信息解決下列問(wèn)題：⑴降價(jià)前，甲乙兩種藥品每盒的出廠價(jià)格之和為6.6元．通過(guò)若干中間環(huán)節(jié)，甲種藥品每盒的零售價(jià)格比出廠價(jià)格的5倍少2.2元，乙種藥品每盒的零售價(jià)格是出廠價(jià)格的6倍，兩種藥品每盒的零售價(jià)格之和為33.8元．那么降價(jià)前甲、乙兩種藥品每盒的零售價(jià)格分別是多少元？⑵降價(jià)后，某藥品經(jīng)銷商將上述的甲、乙兩種藥品分別以每盒8元和5元的價(jià)格銷售給醫(yī)院，醫(yī)院根據(jù)實(shí)際狀況決定：對(duì)甲種藥品每盒加價(jià)15%對(duì)、乙種藥品每盒加價(jià)10%后零售給患者．實(shí)際進(jìn)藥時(shí)，這兩種藥品均以每10盒為1箱進(jìn)行包裝．近期該醫(yī)院準(zhǔn)備從經(jīng)銷商處購(gòu)進(jìn)甲乙兩種藥品共100箱，其中乙種藥品不少于40箱，銷售這批藥品的總利潤(rùn)不低于900元．請(qǐng)問(wèn)購(gòu)進(jìn)時(shí)有哪幾個(gè)搭配方案？【例6】認(rèn)真閱讀下面三個(gè)人的對(duì)話．小朋友：阿姨，我買一盒餅干和一袋牛奶（遞上10元錢入）．售貨員：原來(lái)你用10元錢買一盒餅干是多出的，但再買一袋牛奶就不夠了．但是今天是小朋友節(jié)，我給你買的餅干打九折，兩樣?xùn)|西請(qǐng)拿好，尚有找你的8角錢．旁邊者：一盒餅干的標(biāo)價(jià)可是整數(shù)哦！根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標(biāo)價(jià)各是多少？【解法指導(dǎo)】本題的條件蘊(yùn)藏在對(duì)話中，應(yīng)學(xué)會(huì)從對(duì)話中獲取信息，“用10元錢買一盒餅干是多出的”，闡明一盒餅干的售價(jià)不大于10元，此不等關(guān)系之一；“但再買一袋牛奶就不夠了”，闡明一盒餅干和一袋牛奶的價(jià)格之和不不大于10元，此不等關(guān)系之二．對(duì)話中還包含有一種等量關(guān)系，就是用10元錢買上述兩樣?xùn)|西剩余0.8元錢，即是說(shuō)一袋牛奶與一盒餅干的價(jià)格之和等于10元減去0.8元，由一種方程和兩個(gè)不等式結(jié)合最后可求出答案．解：設(shè)餅干的標(biāo)價(jià)為每盒x元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋^元.根據(jù)題意，得EQ\B\lc\{(\a\al(x＋y＞10①,0.9x＋y＝10－0.8②,x＜10③))由②，得y＝9.2－9x將其代入①，得x+9.2－9x＞10，解得：x＞8．因此綜合③可知8＜x＜10．又由于x為整數(shù)，因此x＝9，y＝9.2－9x＝1.1即餅干的標(biāo)價(jià)為每盒9元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋1.1元．【變式題組】01．某次足球聯(lián)賽A組共6隊(duì)，比賽規(guī)定采用小組循環(huán)賽的形式，取前3名進(jìn)人決賽，記分辦法為勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)扣1分，平1場(chǎng)不得分，問(wèn)該小組共需比賽幾場(chǎng)？某隊(duì)得了7分，則它是幾勝幾負(fù)？能否進(jìn)人決賽？02．(杭州)宏志高中高一年級(jí)近幾年來(lái)招生人數(shù)逐年增加，去年達(dá)成550名，其中有面對(duì)全省招收的“宏志班”學(xué)生，也有普通普通班學(xué)生．由于場(chǎng)地、師資等條件限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班學(xué)生可多招20%，“宏志班”學(xué)生可多招10%問(wèn)今年最少可招收“宏志班”學(xué)生多少名？03．把某些書(shū)分給幾個(gè)學(xué)生，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每個(gè)學(xué)生分5本，那么最后一種同窗分不到3本，這些書(shū)有多少本？學(xué)生有多少人？【例7】(北京市競(jìng)賽題)已知：a、b、c是三個(gè)非負(fù)數(shù)，并且滿足3a+2b+c＝5，2a+b－3c＝1，設(shè)m＝3a+b－7c，設(shè)x為m的最大值，y為m的最小值．求xy的值．【解法指導(dǎo)】規(guī)定某一代數(shù)式的最大(或最小)值，往往依題意構(gòu)建一種不等式組：若s≤m≤t，則m的最小值為s，最大值為t．本題思路亦類此，首先運(yùn)用前兩個(gè)等式，將c看作已知量，解有關(guān)a、b的二元一次方程組，得到用含c的式子表達(dá)a、b的形式，代入第三個(gè)等式，得到用含c的式子表達(dá)m的形式，同時(shí)根據(jù)a、b、c均為非負(fù)數(shù)，得到c的范疇，代入m與c的關(guān)系式，得m的范疇，因而x、y可求．解：由條件得：解得：EQ\B\lc\{(\a\al(3a＋2b=5－c,2a＋b=1+3c))EQ\B\lc\{(\a\al(a=7c－3,b=7－11c))則m＝3a+7－7c＝3(7c－3)+(7－11c)－7c＝3c－2由a≥0，b≥0，c≥0得EQ\B\lc\{(\a\al(7c－3≥0,7－11c≥0,c≥0))解得，EQ\F(3,7)≤c≤EQ\F(7,11)從而x＝－EQ\F(5,7)，y＝－EQ\F(1,11)故xy＝EQ\F(5,77)．【變式題組】01．若a、b滿足3a+5∣b∣＝7，S＝2a2－3∣b∣，則S的取值范疇是．02．已知：x、y、z是三個(gè)非負(fù)有理數(shù)，且滿足3x+2y+z＝5，x+y－z＝2，若S＝3x+y－z，則S的取值范疇是．演習(xí)鞏固反饋提高一、填空題01．方程3x+y＝10的解有個(gè)，其正整數(shù)解有 個(gè)．02．若有關(guān)x的不等式(a－1)＜a+5和2x＜4的解集相似，則a的值為．03．已知：有關(guān)x的不等式2x－a≥－3的解集如圖所示，則a＝．04．已知方程組EQ\B\lc\{(\a\al(2x－y=m,2y－x=1))，若未知數(shù)x、y滿足尤x+y＞0，則m的取值范疇是．05．若方程組EQ\B\lc\{(\a\al(3x+2y=2k,2y－x=3))的解滿足無(wú)x＜1且y＞0，則整數(shù)k的個(gè)數(shù)是．06．若EQ\F(∣x－1∣,x－1)＝－1則x的取值范疇是．二、選擇題07．已知：有關(guān)尤的不等式組EQ\B\lc\{(\a\al(x－y≥b,2x－a＜2b+1))的解為3≤x＜5，則EQ\F(b,a)的值為()A．－2B．－2C．2D．108．若∣x+1∣＝－1－x，∣3x+4∣＝3x+4．則x取值范疇是()A．－EQ\F(4,3)≤x≤－1B．x≥－1C．―EQ\F(4,3)≤x≤―1D．―EQ\F(4,3)＜x＜―109．已知：m、n是整數(shù)，3m+2＝5n+3，且3m+2＞30，5n+3＜40，則mn的值是〈 〕A．70B．72C．77D．8410．某次測(cè)驗(yàn)共20道選擇題，答對(duì)一題記5分，答錯(cuò)一題記―2分，不答記0分，某同窗得48分，那么他答對(duì)的題目最多是（）道．A．9B．10C．11D．12三、解答題11．學(xué)校舉辦奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)共12名，獎(jiǎng)品發(fā)放方案以下表：一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)1盒福娃和1枚徽章1盒福娃1枚徽章用于購(gòu)置獎(jiǎng)品的總費(fèi)用不少于1000元但不超出1100元，小明在購(gòu)置“福娃”和徽章前，理解到圖所示的信息：⑴求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？⑵若本次活動(dòng)設(shè)一等獎(jiǎng)2名，則二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)應(yīng)各設(shè)多少名？12．（宿遷）某花農(nóng)哺育甲種花木2株，乙種花木3株，共需成本1700元；哺育甲種花木3株，乙種花木1株，共需成本1500元．⑴求甲、乙兩種花木每株成本分別為多少元；⑵據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，1株甲種花木的售價(jià)為760元，1株乙種花木的售價(jià)為540元．該花農(nóng)決定在成本不超出30000元的前提下哺育甲乙兩種花木，若哺育乙種花木的株數(shù)是甲種花木的3倍還多10株，那么要使總利潤(rùn)不少于21600元，花農(nóng)有哪幾個(gè)具體的哺育方案？13．—項(xiàng)維修工程，若由甲工程隊(duì)單獨(dú)做，則40天能夠完畢，需費(fèi)用24萬(wàn)元；若由乙工程隊(duì)單獨(dú)做，則60天能夠完畢，需費(fèi)用21萬(wàn)元?現(xiàn)打算由甲、乙兩工程隊(duì)共同完畢，要使該項(xiàng)目的總費(fèi)用不超出22萬(wàn)元，則乙工程隊(duì)最少要施工多少天？14．足球聯(lián)賽得分方法是勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分?在一次足球賽中，南方足球隊(duì)參加了14場(chǎng)比賽，最少負(fù)了1場(chǎng)，共積分19分．試推算南方足球隊(duì)勝、平、負(fù)各多少場(chǎng)．15．（溫州）某工廠用如圖甲所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋紙盒.⑴現(xiàn)有正方形紙板162張，長(zhǎng)方形紙板340張．若要做兩種紙盒共100個(gè)，設(shè)做豎式紙盒x個(gè)．①根據(jù)題意，完畢下列表格：盒紙板豎式紙盒（個(gè)）橫式紙盒（個(gè)）x正方形紙板（張）2(100－x)長(zhǎng)方形紙板（張）4x②按兩種紙盒的生產(chǎn)個(gè)數(shù)來(lái)分，有哪幾個(gè)生產(chǎn)方案？(2)若有正方形紙板162張，長(zhǎng)方形紙板a張，做成上述兩種紙盒，紙板正好用完．已知290＜a＜306．則求a的值．(寫(xiě)出一種即可)培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè)01．若方程組EQ\B\lc\{(\a\al(4x+y=k+1,x+4y=3))的解滿足條件0＜x+y＜1，則k的取值范疇是()A．－4＜k＜1B．－4＜k＜0C．0＜k＜9D．k＜－402．（浙江省競(jìng)賽題)要使方程組EQ\B\lc\{(\a\al(3x+2y=a,2x+3y=2))的解是一對(duì)異號(hào)的數(shù)，則a的取值范疇是()A．EQ\F(4,3)＜k＜3B．a(chǎn)＜EQ\F(4,3)C．a(chǎn)＞3D．a(chǎn)＜EQ\F(4,3)或a＞303．已知a+b+c＝0，a＞b＞c，則EQ\F(c,a)的取值范疇是．04．(新加坡競(jìng)賽題）正整數(shù)m、n滿足8m+9n＝mn+6，則m的最大值是．05．（“但愿杯”邀請(qǐng)賽初一試題