吉林省松原市扶余市第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項和為（）A. B.13C.45 D.1172．我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個圖形包含個小正方形，則的表達(dá)式為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關(guān)于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個月的兔子的總對數(shù)，則有(n＞2)，．設(shè)數(shù)列{an}滿足：an＝，則數(shù)列{an}的前36項和為（）A.11 B.12C.13 D.185．已知直四棱柱的棱長均為，則直線與側(cè)面所成角的正切值為（）A. B.C. D.6．設(shè)數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.7．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程是（）A. B.C. D.8．已知等邊三角形的一個頂點在橢圓E上，另兩個頂點位于E的兩個焦點處，則E的離心率為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．在平形六面體中，其中，，，，，則的長為（）A. B.C. D.11．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至多2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面12．已知函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為，，則__________.14．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足通項公式，則________15．若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為______.16．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，若，則動點P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點坐標(biāo)是；③過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標(biāo)原點，若，則動點P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點其中真命題的序號為______（寫出所有真命題的序號．）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)過點（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（要列表）；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.18．（12分）如圖所示，在正方體中，點，，分別是，，的中點（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的大小19．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，證明:20．（12分）如圖，在正方體中，分別是，的中點.求證：（1）平面；（2）平面平面.21．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍22．（10分）已知，（1）若，p且q為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算作答【詳解】在等差數(shù)列中，因，所以.故選：C2、D【解析】先分別觀察給出正方體的個數(shù)為：1，，，，總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解【詳解】解：根據(jù)前面四個發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，累加得：，，故選：【點睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題3、A【解析】求出、的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.4、B【解析】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項都為奇數(shù)，再根據(jù)an＝，即可求出數(shù)列{an}的前36項和【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項都為奇數(shù)，∴前36項共有12項為偶數(shù)，∴數(shù)列{an}的前36項和為12×1+24×0＝12.故選：B5、D【解析】根據(jù)題意把直線與側(cè)面所成角的正切值轉(zhuǎn)化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點設(shè)為點，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側(cè)面所成角的正切值為.故選：D.6、A【解析】根據(jù)等差中項寫出式子，由遞推式及求和公式寫出和，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項求和是首項為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因為，，，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用，考查分析問題能力，屬于難題.7、D【解析】由題意設(shè)直線方程為，然后將點坐標(biāo)代入求出，從而可求出直線方程【詳解】因為直線與直線垂直，所以設(shè)直線方程為，因為直線過點，所以，得，所以直線方程為，故選：D8、B【解析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B9、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.故選：A.10、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理、加法的運算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為是平行六面體，所以，所以有：，因此有：，因為，，，，，所以，所以，故選：B11、D【解析】根據(jù)對立事件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】對立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對立事件為0次或1次出現(xiàn)正面，即“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D12、A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的定義求解，然后求解切線的斜率即可【詳解】解：函數(shù)，可得，，可得，即，所以，可得，解得，所以，所以曲線在點處的切線方程為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)截距定義，分別令，可得.【詳解】由直線，令得，即令，得，即，故.故答案為：14、【解析】由時，，可得，利用累乘法得，從而即可求解.【詳解】因為，所以時，，即，化簡得，又，所以，檢驗時也成立，所以，所以，故答案：.15、【解析】設(shè)圓錐的高為，可得出圓錐的母線長為，以及圓錐的底面半徑為，利用圓錐的側(cè)面積公式求出的值，再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的高為，由于圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，則軸截面三角形的底角為，故該圓錐的母線長為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，可得，因此，該圓錐的體積為.故答案為：.16、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫出拋物線焦點判斷命題②；分析點P滿足的關(guān)系判斷命題③；按取值討論計算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對于②，拋物線化為：，其焦點坐標(biāo)是，命題②正確；對于③，令定圓C的圓心為C，因，則點P是弦AB的中點，當(dāng)P與C不重合時，有，點P在以線段AC為直徑的圓上，當(dāng)P與C重合時，點P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動點P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點外)，則命題③不正確；對于④，曲線的焦點為，當(dāng)時，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點為，當(dāng)時，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點，命題④正確，所以真命題的序號為②④.故答案為：②④【點睛】易錯點睛：橢圓長短半軸長分別為a，b，半焦距為c滿足關(guān)系式：；雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為、、滿足關(guān)系式：，在同一問題中出現(xiàn)認(rèn)真區(qū)分，不要混淆.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）增區(qū)間，，減區(qū)間，極大值，極小值（2）最大值，最小值【解析】（1）將點代入函數(shù)解析式即可求得a，對函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間及極值；（2）分析函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，由極值、端點值確定最值.【小問1詳解】∵點在函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，∴，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值∴當(dāng)時，有極大值，且極大值為，當(dāng)時，有極小值，且極小值為，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為；【小問2詳解】由（1）可得:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.∴,又,,∴18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，可得，從而可證四邊形是平行四邊形，從而證明結(jié)論.（2）以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角.【小問1詳解】如圖，連接在正方體中，且因為，分別是，的中點，所以且又因為是的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，，，，，設(shè)為平面的法向量因為，，，所以令，得設(shè)直線與平面所成角為，則因為，所以直線與平面所成角的大小為19、（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見詳解【解析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可證出.【詳解】（1）的定義域為，.當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，；時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，.令，，則.，令，.恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因為，，所以存在唯一的，使得，即.①當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增.所以，，②方法一：把①代入②得，.設(shè)，.則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以.因為，所以，即，所以，所以時，.方法二：設(shè)，.則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.因為，所以，所以，所以時，.【點睛】不等式證明問題是近年高考命題的熱點，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法主要有兩個：（1）不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值即可；（2）觀察不等式的特點，結(jié)合已解答問題把要證的不等式變形，并運用已證結(jié)論先行放縮，再化簡或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.20、證明見解析【解析】（1）連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）連接，，先由線面平行的判定定理，得到平面，再由（1）的結(jié)果，結(jié)合面面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）如圖，連接.∵四邊形是正方形，是的中點，∴是的中點.又∵是的中點，∴.∵平面，平面，∴平面.（2）連接，，∵四邊形是正方形，是的中點，∴是的中點.又∵是中點，∴.∵平面平面，∴平面.由（1）知平面，且，∴平面平面.【點睛】本題主要考查證明線面平行與面面平行，熟記線面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，屬于?？碱}型.21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負(fù)，分別求單調(diào)性；（2）由（1）所求的單調(diào)性，結(jié)合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當(dāng)，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成