第十三講邏輯推理二

相信學(xué)們之前已經(jīng)接觸過(guò)一些有趣的邏輯推理題目，其中比較典型的一類題目就是讓我們來(lái)判斷問(wèn)題的真假．還記得我們用什么方法來(lái)判斷嗎？對(duì)了，假設(shè)法！假設(shè)法就像是測(cè)謊儀，用它來(lái)測(cè)一測(cè)，就知道誰(shuí)說(shuō)的是真話，誰(shuí)說(shuō)的是假話了．除此之外，如果有兩個(gè)人說(shuō)的話正好相反，那么我就可以斷定其中必然有一個(gè)人說(shuō)的是真話，另一個(gè)人說(shuō)的是假話．我們可以把這個(gè)方法稱為矛盾分析法．好了，下面就開(kāi)始我們的推理之旅吧！例題1．3位女神分別說(shuō)了如下的話．

雅典娜（智慧女神）：“阿佛洛狄忒不是最美的．”

阿佛洛狄忒（愛(ài)和美的女神）：“赫拉不是最美的．”

赫拉（天后）：“我是最美的．”

只有最美的女神說(shuō)了真話，請(qǐng)問(wèn)她是誰(shuí)？「分析」阿佛洛狄忒和赫拉的話是互相矛盾的，據(jù)此可以推理出什么呢？

練練習(xí)1懶懶和笨笨是兩只小豬，一只說(shuō)真話，一只說(shuō)假話．而且它們一只是公的，一只是母的．懶懶說(shuō)：“說(shuō)謊的是母豬．”笨笨說(shuō)：“說(shuō)謊的不是母豬．”請(qǐng)問(wèn)懶懶和笨笨誰(shuí)是母豬？例題2．艾趣、艾呂和艾游三姐妹參加了去英國(guó)的旅行團(tuán)．回國(guó)后，三人向朋友們分享去英國(guó)的經(jīng)歷：

艾趣：“我們?nèi)チ藧?ài)丁堡，沒(méi)去湖泊區(qū)，但參觀了北威爾士．”

艾呂：“我們?nèi)チ藧?ài)丁堡，也去了湖泊區(qū)，但沒(méi)有參觀北威爾士．”

艾游：“我們沒(méi)有去愛(ài)丁堡，但是去了北威爾士．”

已知每個(gè)人都說(shuō)了一句謊話，那么她們?nèi)说降兹チ四男┚皡^(qū)？「分析」如果要用假設(shè)法，先根據(jù)誰(shuí)的話來(lái)作假設(shè)會(huì)更簡(jiǎn)單一些？

練練習(xí)2一位農(nóng)夫建了一個(gè)三角形的雞窩，三邊都是等高的鐵絲網(wǎng)．這位農(nóng)夫在筆記本上做了如下記錄：

（1）面向倉(cāng)庫(kù)那邊的鐵絲網(wǎng)價(jià)錢：10美元；

（2）面向水池那邊的鐵絲網(wǎng)價(jià)錢：20美元；

（3）面向住宅那邊的鐵絲網(wǎng)價(jià)錢：30美元．

而這三個(gè)價(jià)錢中有一個(gè)是錯(cuò)的．又知道每一邊鐵絲網(wǎng)的價(jià)錢都是10美元的倍數(shù)，且三邊鐵絲網(wǎng)的價(jià)錢互不相同．那么這位農(nóng)夫一共花了多少錢買鐵絲網(wǎng)？

除了真假問(wèn)題之外，還有一類題目是告訴我們一些條件讓我們做出判斷或計(jì)算，我們可以把這類問(wèn)題稱為條件推理問(wèn)題．例題3．現(xiàn)在要從六個(gè)人中挑選幾個(gè)去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有以下要求：

（1）趙甲和錢乙這兩人至少去一個(gè)；

（2）趙甲和李丁不能都去；

（3）趙甲、周戊和吳己這三個(gè)人中要去兩人；

（4）錢乙和孫丙要么都去，要么都不去；

（5）孫丙和李丁要去一人；

（6）如果李丁不去，周戊也不去．

應(yīng)該挑選哪幾個(gè)人去？「分析」雖然這道題目不是真話假話問(wèn)題，但是也可以用假設(shè)法來(lái)解決．根據(jù)第幾個(gè)條件作假設(shè)會(huì)簡(jiǎn)單一些？

練練習(xí)3A，B，C，D四名學(xué)生猜測(cè)自己的數(shù)學(xué)成績(jī)．A說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么B也得優(yōu)．”B說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么C也得優(yōu)．”C說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么D也得優(yōu)．”結(jié)果大家都沒(méi)說(shuō)錯(cuò)，但是只有兩個(gè)人得優(yōu)．誰(shuí)得了優(yōu)？例題4．熱火隊(duì)和雷霆隊(duì)為了爭(zhēng)奪NBA總決賽的冠軍，斗得難分難解．在今天晚上的比賽中：

（1）兩隊(duì)都沒(méi)有換過(guò)人；

（2）除了三名隊(duì)員外，其他隊(duì)員得分都互不相同．這三名隊(duì)員都得了22分，但是不在同一個(gè)隊(duì)中；

（3）全場(chǎng)最高個(gè)人得分是30分，只有三名隊(duì)員得分不到20；

（4）熱火隊(duì)中，得分最多和得分最少的球員只相差3分；

（5）雷霆隊(duì)每人的得分正好組成一個(gè)等差數(shù)列．

這場(chǎng)比賽誰(shuí)勝誰(shuí)負(fù)？比分是多少？「分析」因?yàn)槊總€(gè)隊(duì)都沒(méi)有換過(guò)人，所以各隊(duì)總分都是五個(gè)數(shù)的和．根據(jù)第二個(gè)條件和第五個(gè)條件可知，雷霆隊(duì)有一個(gè)22分，熱火隊(duì)有兩個(gè)22分．接下來(lái)繼續(xù)推理就容易了．

練練習(xí)4甲、乙、丙、丁四人一起打牌，每人的姓是趙、錢、孫、李中的一個(gè)．他們約好第一把贏的人可以從其他三人手中各拿100元；第二把贏的人可以從其他三人手中各拿200元；第三把贏的人可以從其他三人手中各拿300元；第四把贏的人可以從其他三人手中各拿400元．他們一共玩了4把，每人各贏了一次．又知道：

（1）第一把贏的人是孫先生；

（2）第二把贏的人是乙；

（3）第三把贏的人是錢先生；

（4）第四把贏的人是丙；

（5）打牌之前李先生的錢最多，打牌后丁的錢最多．

那么甲、乙、丙、丁分別姓什么？

例5．鹿哼、雷婷、王萍和賀純正在進(jìn)行一場(chǎng)精彩的室內(nèi)網(wǎng)球雙打賽，通過(guò)下面觀眾的議論，我們知道以下信息：

（1）鹿哼比雷婷年輕；

（2）王萍比他的兩個(gè)對(duì)手年齡都大；

（3）鹿哼比他的搭檔年紀(jì)大；

（4）鹿哼和雷婷的年齡差距比王萍和賀純的年齡差距更大．

請(qǐng)講這四位運(yùn)動(dòng)員按照年齡大小順序排列，并且找出鹿哼的搭檔是誰(shuí)．

「分析」這道題目與大小順序有關(guān)系，可以先畫出四個(gè)位置，然后根據(jù)題目中的條件把人放到位置上．

例題6．桌上放著3紅2藍(lán)5個(gè)帽子．張三、李四和遲哼站成一排，須老師從桌上拿出3個(gè)帽子，分別戴到三個(gè)人的頭上．排隊(duì)的人都能看到前面的人頭上帽子的顏色，但是看不到自己的（當(dāng)然也看不到后面的人，但是三個(gè)人都知道帽子一共有3紅2藍(lán)）．

這時(shí)須老師問(wèn)隊(duì)伍最后面的張三是否知道自己帽子的顏色，張三說(shuō)不知道．

須老師又問(wèn)中間的李四是否知道自己帽子的顏色，李四說(shuō)不知道．

想不到這時(shí)候站在最前面的遲哼，竟然非常有把握的說(shuō)：“老師，我知道我帽子的顏色！”

請(qǐng)問(wèn)，遲哼頭上的帽子是什么顏色的，他又是怎么知道的？「分析」張三的回答是不知道．那如果張三的回答是知道，能說(shuō)明什么呢？

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)從某種意義上來(lái)講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)（也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)）來(lái)源于古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派興旺的時(shí)期為公元前500年左右，它是一個(gè)唯心主義流派。他們重視自然及社會(huì)中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文學(xué)、音樂(lè)稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧及規(guī)律性。他們認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，認(rèn)為數(shù)學(xué)的知識(shí)是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的世界。數(shù)學(xué)的知識(shí)是由于純粹的思維而獲得，并不需要觀察、直覺(jué)及日常經(jīng)驗(yàn)。畢達(dá)哥拉斯的數(shù)是指整數(shù)，他們?cè)跀?shù)學(xué)上的一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理。他們知道滿足直角三角形三邊長(zhǎng)的一般公式，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來(lái)表達(dá)，也就是勾長(zhǎng)或股長(zhǎng)與弦長(zhǎng)是不可通約的。這樣一來(lái)，就否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。不可通約性的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。有人說(shuō)，這種性質(zhì)是希帕索斯約在公元前400年發(fā)現(xiàn)的，為此，他的同伴把他拋進(jìn)大海。不過(guò)更有可能是畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)知道這種事實(shí)，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開(kāi)始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時(shí)這也反映出，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開(kāi)始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系，這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物?；仡櫼郧暗母鞣N數(shù)學(xué)，無(wú)非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去的。比如泰勒斯預(yù)測(cè)日食，利用影子距離計(jì)算金字塔高度，測(cè)量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國(guó)、印度等國(guó)的數(shù)學(xué)，并沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)這樣的危機(jī)和革命，所以也就一直停留在“算學(xué)”階段。而希臘數(shù)學(xué)則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。

甲、乙、丙3人，一個(gè)總說(shuō)謊，一個(gè)從不說(shuō)謊，一個(gè)有時(shí)說(shuō)謊．已知牧師從不說(shuō)謊，騙子總說(shuō)謊，賭徒有時(shí)說(shuō)謊．有一次談到他們的職業(yè)，甲說(shuō)：“我不是牧師．”乙說(shuō)：“我不是騙子．”丙說(shuō)：“我不是賭徒．”總說(shuō)謊的人是誰(shuí)？在一次猜謎晚會(huì)上，甲、乙、丙3人分別猜中1、2、3條謎語(yǔ)．甲說(shuō)：“我猜中2條．”乙說(shuō)：“我猜中的最多．”丙說(shuō)：“我猜中的不是偶數(shù)條．”已知他們3人只有1人說(shuō)謊，他是誰(shuí)？甲、乙、丙、丁在比他們的身高．甲說(shuō)：“我最高．”乙說(shuō)：“我不是最矮的．”丙說(shuō)：“我沒(méi)甲高，但還有人比我矮．”丁說(shuō)：“我最矮．”實(shí)際測(cè)量的結(jié)果表明，只有1人說(shuō)錯(cuò)了．請(qǐng)將他們按身高次序從高到矮排列出來(lái)．從分別寫著努、力、學(xué)、習(xí)4個(gè)字的4張卡片中選出3張，然后將這3張卡片有字的面朝下擺在桌子上．甲、乙、丙分別猜每張卡片上是什么字，猜得的情況見(jiàn)右圖．結(jié)果有一人全猜對(duì)了，有一人猜