第1章本章總結(jié)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建歸納整合專題突破素養(yǎng)提升目錄索引

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建歸納整合專題突破素養(yǎng)提升專題一等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算是對(duì)數(shù)列的基本知識(shí)的考查,求解的主要方法是利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,建立方程(組),主要是提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例1】

在等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若a3,a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng),試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.分析根據(jù)條件列方程(組)求{an}的公比及{bn}的首項(xiàng)與公差.解

(1)設(shè){an}的公比為q,由已知得16=2q3,解得q=2,所以an=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,則b3=8,b5=32.規(guī)律方法

等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算的求解策略在等差(等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中,共涉及五個(gè)量,a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)為基本量.“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1,d(或q),an,Sn,n的方程組,利用方程的思想求出需要的量.當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好,這樣可以化繁為簡(jiǎn),減少運(yùn)算量,同時(shí)還要注意整體代換法的運(yùn)用.變式訓(xùn)練1已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解

(1)設(shè){an}的公差為d(d≠0).由題意,得

=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d),于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=-2或0(舍去).故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首項(xiàng)為25,公差為-6的等差數(shù)列.從而專題二等差(等比)數(shù)列的證明等差(等比)數(shù)列的證明主要是將已知條件中的遞推關(guān)系式通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為待證數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系式,然后結(jié)合等差(等比)數(shù)列的定義求解,主要是提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例2】

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2an=Sn+n(n∈N+).(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和Sn.分析利用an=Sn-Sn-1(n≥2),將已知條件2an=Sn+n(n∈N+)變形后轉(zhuǎn)化為關(guān)于an與an-1(n≥2)的遞推關(guān)系式,然后轉(zhuǎn)化為1+an與1+an-1(n≥2)的關(guān)系.(1)證明因?yàn)?an=Sn+n,①所以2an-1=Sn-1+n-1(n≥2).②①-②得,an=2an-1+1(n≥2).兩邊同時(shí)加1得an+1=2an-1+2(n≥2),所以

=2(n≥2),故數(shù)列{an+1}是公比為2的等比數(shù)列.(2)解

由2an=Sn+n(n∈N+)可知2a1=a1+1,解得a1=1.因此數(shù)列{an+1}是公比為2,首項(xiàng)為a1+1=2的等比數(shù)列.所以1+an=2×2n-1,即an=2n-1.將an=2n-1代入2an=Sn+n可得Sn=2n+1-2-n.規(guī)律方法

1.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的兩種方法(1)定義法:對(duì)于正整數(shù)n,驗(yàn)證an+1-an(或

)為與正整數(shù)n無(wú)關(guān)的常數(shù).(2)中項(xiàng)公式法:①若2an=an-1+an+1(n∈N+,n≥2),則{an}為等差數(shù)列;②若

=an-1an+1(n∈N+,n≥2且an≠0),則{an}為等比數(shù)列.2.遞推關(guān)系式中含an,Sn問(wèn)題的求解方法(1)結(jié)合待證結(jié)論,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)消去Sn或an.(2)由已知條件求出通項(xiàng)公式后,可直接將an代入遞推關(guān)系中求Sn,而不必使用求和公式.變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=4an+2(n∈N+),a1=1.(1)bn=an+1-2an,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)設(shè)cn=,證明數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.

又由題設(shè),得1+a2=4+2,即a2=5,∴b1=a2-2a1=3.∴{bn}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)得bn=3·2n-1,∴bn=an+1-2an=3·2n-1,專題三數(shù)列求和數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是數(shù)列中最重要的概念之一.求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),首先要根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?要掌握數(shù)列求和方法的各種類型以及適用條件.數(shù)列求和主要是提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【例3】

已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,且a1=1,a2,a4,a8成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若bn=an·2n,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.分析利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,結(jié)合等比中項(xiàng)的概念求出數(shù)列的公差,再根據(jù)數(shù)列bn=an·2n的構(gòu)成形式,利用錯(cuò)位相減法求和.解

(1)∵數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,a1=1,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,∴(1+3d)2=(1+d)(1+7d),解得d=1或d=0(舍),∴an=1+(n-1)×1=n.(2)∵bn=an·2n=n·2n,∴Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=-(n-1)·2n+1-2,∴Tn=(n-1)·2n+1+2.規(guī)律方法

數(shù)列求和的常用方法(1)公式法:直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和.(2)裂項(xiàng)相消法:將數(shù)列的各項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和,然后相加.(3)錯(cuò)位相減法:若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,則數(shù)列{anbn}可用錯(cuò)位相減法求和.(4)倒序相加法:對(duì)于滿足性質(zhì)a1+an=a2+an-1=…的數(shù)列可用倒序相加法求和.(5)分組求和法:將數(shù)列的每一項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱趾笤俜纸M,可組成幾個(gè)等差或等比數(shù)列,進(jìn)行求和.(6)并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法:將數(shù)列的某些項(xiàng)合并后轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列求和.變式訓(xùn)練3(2021新高考Ⅰ,17)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(1)記bn=a2n,寫(xiě)出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求{an}的前20項(xiàng)和.解

(1)b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.所以{bn}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.(2)由(1)知,數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列,由已知得an=an+1-1,n為奇數(shù),所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列也是以3為公差的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則專題四求數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心內(nèi)容,求數(shù)列的通項(xiàng)公式要根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式的特征而選擇不同的方法.求數(shù)列的通項(xiàng)公式主要是提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).角度1利用Sn與an的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式【例4】

(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3+2n,求an.(2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且a1=1,an+1=Sn,求an.解

(1)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=5不適合上式.(2)∵Sn=3an+1,①∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=3an.②①-②得Sn-Sn-1=3an+1-3an,規(guī)律方法

已知Sn求an或已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an,可用公式an=求解.角度2應(yīng)用累加(累乘、迭代)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式【例5】

已知在數(shù)列{an}中,a1=2,an=an-1+2n-1(n≥2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

(1)(方法1

累加法)∵a1=2,an=an-1+2n-1(n≥2),∴an-an-1=2n-1(n≥2).∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)∴an=n2+1.(方法2

迭代法)∵a1=2,an=an-1+2n-1(n≥2),∴an=an-1+2n-1=an-2+2(n-1)-1+2n-1=an-3+2(n-2)-1+2(n-1)-1+2n-1=…=2+3+5+…+(2n-5)+(2n-3)+2n-1=n2+1,∴an=n2+1.規(guī)律方法

形如an-an-1=f(n)(n≥2)的遞推式,可用累加法求通項(xiàng)公式;形如

=f(n)(n≥2)的遞推式,可用累乘法求通項(xiàng)公式.角度3構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式【例6】

(1)已知a1=1,an+1=2an+1,證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

(1)因?yàn)閍n+1=2