PAGEPAGE12最優(yōu)投資組合模型1．韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)廣東韶關(guān)2．韶關(guān)學(xué)院信息技術(shù)(1)班廣東韶關(guān)3．韶關(guān)學(xué)院信息技術(shù)班廣東韶關(guān)摘要本文通過各種投資回報數(shù)據(jù),對各種投資方案的回報效益進(jìn)行分析,以平均回報期望為回報率,用回報方差來衡量風(fēng)險,建立了在VaR(風(fēng)險價值)約束下的經(jīng)典馬柯維茨(Markowitz)均值-方差模型，并從幾何角度具體地闡述了此模型的算法,最后根據(jù)此算法和借助數(shù)學(xué)軟件LINGO、MATLAB計算出在VaR=1%,…,10%下的最優(yōu)投資組合為方案一投資1421萬美元,方案二投資2819.5萬美元,方案三投資759.5萬美元,得到的最大凈收益為500.00萬美元,結(jié)果令人滿意.關(guān)鍵詞:馬柯維茨均值-方差模型;VaR約束;置信水平1問題的提出某基金會有科學(xué)基金5000萬美元，現(xiàn)有三種不同的投資方式，分別為政府債券、石化產(chǎn)業(yè)股票、信息產(chǎn)業(yè)股票，為了保證其基金安全增殖，設(shè)計收益最大且安全的投資方案，要求(1)獲得最大的投資回報期望(2)投資的風(fēng)險限制在一定的范圍。保證該投資方案資金保值概率不低于95%。（假設(shè)石化產(chǎn)業(yè)的投資回報率變化與信息產(chǎn)業(yè)的投資回報率變化彼此獨(dú)立）三種投資方式分別為：投資方式一：購買政府債券，收益為5.6％/年；投資方式二：投資石化產(chǎn)業(yè)股票根據(jù)有關(guān)的隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到四十宗投資石化產(chǎn)業(yè)股票的案例記錄(如附錄圖表一)；投資方式三：投資信息產(chǎn)業(yè)股票根據(jù)有關(guān)的隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到四十宗投資信息產(chǎn)業(yè)股票的案例記錄(如附錄圖表二)。2模型的假設(shè)2．1該基金投資持有期為一年；2．2投資政府債券的風(fēng)險為零；2．3方案二和方案三中選取的八十只股票具有代表性，能反映總體股市情況；2．4不考慮交易過程中的手續(xù)費(fèi)，即手續(xù)費(fèi)為零；2．5總體投資金額設(shè)為單位1.3符號的約定：表示證券組合在持有期內(nèi)的損失；：表示第種方案的投資權(quán)重（投資比例）；：表示置信水平，反映了投資主體對風(fēng)險的厭惡程度；：表示第種方案的投資回報方差；：表示第種方案的投資回報期望；：表示第種方案里的第只投票回報期望.4問題的分析此問題是一個投資組合的問題,投資項(xiàng)目包括政府債券和股票兩種,政府債券收益率比較低但風(fēng)險基本為零,而股票則收益率高但風(fēng)險也相應(yīng)高,最終目標(biāo)是設(shè)計出一個投資組合方案使該基金會獲得最大的回報期望和最少的投資風(fēng)險.經(jīng)典的馬柯維茨(Markowitz)均值-方差模型正是解決這種投資組合問題的有效模型,他提出用收益期望來衡量回報率,用收益方差來衡量風(fēng)險(方差越大,認(rèn)為風(fēng)險越大;方差越小,認(rèn)為風(fēng)險越小).而后來有不少學(xué)者對此模型進(jìn)行深入研究,并提出了引入VaR約束和置信水平下的馬柯維茨(Markowitz)均值-方差模型,這種改進(jìn)的模型不但繼承了馬柯維茨(Markowitz)均值-方差模型的精髓,而且更實(shí)用、準(zhǔn)確。VaR即風(fēng)險價值(ValueatRisk)，是指市場正常波動下，在一定的概率水平下，某一金融資產(chǎn)或證券組合在未來特定的一段時間內(nèi)的最大可能損失;置信水平表示投資主體對風(fēng)險的厭惡程度,置信水平越高對風(fēng)險的厭惡程度越大；相反，置信水平越高，就越喜歡冒險。5模型的建立5．1經(jīng)典馬柯維茨均值-方差模型：其中，；是第種資產(chǎn)的預(yù)期回報率；是投資組合的權(quán)重向量；是種資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣；和分別是投資組合的期望回報率和回報率的方差。該模型的解在空間是拋物線，即投資組合的有效前沿。5．2風(fēng)險價值的確定：VaR為風(fēng)險價值，設(shè)資產(chǎn)組合的初始價值為，持有期末的期望收益為，的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，在給定的置信水平下，期末資產(chǎn)組合的最低值為，其中為相應(yīng)的最低收益率(一般為負(fù)值)，則：(1)又由，可知：(2)將(2)式代入(1)式可得：。另外VaR的求解方法還可用歷史模擬法以及蒙特卡洛模擬法求得.5．3加入VaR約束后的馬柯維茨均值-方差模型：假定置信水平為，由VaR的定義，有：（3）在經(jīng)典馬柯維茨均值-方差模型中加入VaR約束后，模型變?yōu)椋涸谡龖B(tài)分布下，（1）式可化為：(4)其中，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。VaR約束VaR約束-VaRAB圖1基于VaR約束的投資組合的有效前沿O此模型的解在空間中是圖1中的弧線，稱其為基于VaR約束下的投資組合的有效前沿。圖1中VaR約束表現(xiàn)為一條斜率為、截距為-VaR的直線。在該直線或其以上的全部投資組合都具有的概率使其回報率超過最小值-VaR；而在直線以下的全部投資組合回報率在置信度下不超過-VaR。這樣，VaR約束使投資組合選擇僅僅限制在傳統(tǒng)有效前沿和VaR約束直線間的陰影部分，即點(diǎn)和之間的弧線上。進(jìn)一步地，根據(jù)有效集定理，最優(yōu)投資組合選擇應(yīng)為拋物線頂點(diǎn)O與點(diǎn)A之間的弧線，即弧線段OA。5．4加入VaR約束后的馬柯維茨均值-方差模型的幾何解法：由圖1可知，VaR約束的最優(yōu)投資組合確定時，只需求出點(diǎn)A和O處的權(quán)重即可。但由于該模型的約束條件比較復(fù)雜，用傳統(tǒng)的Laganerge乘子法無法求解。因此在這里我們用幾何方法來解決此問題。設(shè)種資產(chǎn)組合的權(quán)重是（其中），則投資組合的期望回報率與方差分別可表示為：(5)(6)因?yàn)閰f(xié)方差矩陣是正定矩陣，所以在權(quán)重空間中，(4)式代表等方差超橢球面。取不同值可得到一族同心超橢球面，中心記為，表示所有的可能投資組合中風(fēng)險最小的投資組合的權(quán)數(shù)；在權(quán)重空間中，(3)式代表等期望回報率超平面，取不同值可得到一族平行超平面。因而，種資產(chǎn)投資組合的最優(yōu)權(quán)重應(yīng)為等期望回報率超平面與等方差超橢球面的正切點(diǎn)。將這些正切點(diǎn)連接起來，就得到一條直線，稱其為種資產(chǎn)投資組合的臨界線。不難看出，臨界線實(shí)際上就是圖1中的有效前沿在權(quán)重空間中的表現(xiàn)形式。(5)式在點(diǎn)處的法向量為：.(6)式在點(diǎn)處的法向量為：令則(4)式在點(diǎn)處的法向量可簡化為：由臨界線定義，可得臨界線方程為(7)由(5)式可得到個方程構(gòu)成的線性方程組：(8)其中：，進(jìn)一步將(2)式化為如下形式：(9)根據(jù)均值和方差的表達(dá)式：，，將其代入上式：(10)因?yàn)榫€性方程組(6)的秩是，所以它的基礎(chǔ)解系的個數(shù)是1，我們可以用分別表示。而由于，也可以用表示。將代入(8)式，就得到一個關(guān)于的一元二次方程，求出就可得到相應(yīng)的值。因?yàn)橛袃蓚€根，因此有兩組解，它們分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B處的權(quán)重。這樣就求出了點(diǎn)A和點(diǎn)B處投資組合的預(yù)期回報率，和方差，。進(jìn)一步地，根據(jù)方程，我們可求出拋物線頂點(diǎn)O處的投資權(quán)重。該方程是常數(shù)項(xiàng)包含的關(guān)于一元二次方程，當(dāng)其判別式為零時只有一個解，此時與重合為。利用判別式為零求出后，便可分別求出O點(diǎn)的投資權(quán)重及投資回報率。于是可以得到VaR約束下投資組合的選擇范圍：，。針對這一范圍內(nèi)投資組合的一個回報率，聯(lián)立(8)式和(5)式，就可在臨界線上求得投資組合最優(yōu)權(quán)重，該權(quán)重下的投資組合的方差為最小，并通過(6)式可算出這個最小方差；同理，給定了上述范圍內(nèi)投資組合的一個方差，聯(lián)立(8)式和(6)式，就可在臨界線上求得投資組合的最優(yōu)權(quán)重，使得該權(quán)重下的投資組合的預(yù)期回報率最高，并且由(5)式可算出這個最高的預(yù)期回報率。5．5協(xié)方差的求解：設(shè)是二維隨機(jī)變量，若小于無窮大，則稱為與的協(xié)方差，記為.即：計算式：當(dāng)相互獨(dú)立時，有＝0由此可知，如不等于0，則它們肯定不獨(dú)立。6模型的求解由于投資方案二和投資方案三給出的各四十只股票都是隨機(jī)抽樣得來的,據(jù)概率論中的大數(shù)定理，能基本反映該類股票的收益和風(fēng)險，然后用數(shù)學(xué)軟件MATLAB可以求出三種投資方案的回報率期望、回報率方差和協(xié)方差矩陣，得下表：方案一,方案二和方案三的回報率,風(fēng)險數(shù)據(jù)及協(xié)方差矩陣回報率均值(%)回報率方差(%)協(xié)協(xié)方差矩陣方案一5.60方案二9.91.71方案三18.622.23由公式(其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則，而VaR和c都是一個未定值)和其中:當(dāng)給定VaR值和c值時就能得到最優(yōu)值。由題意可知c=95%運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件LINGO和MATLAB求解得下表:VaR(%)方差(%)凈收益(萬美元)11000280.0021000280.0031000280.0041000280.0051000280.0060.93700.04820.01480.01300.0070.77940.16880.05190.13350.0080.62180.28930.08890.39400.0090.46420.40980.12600.78450.00100.28420.56390.15191.32500.00又由計算可得當(dāng)VaR>0.1時沒最優(yōu)解,故最優(yōu)的的投資組合為方案一投資1421萬美元,方案二投資2819.5萬美元,方案三投資759.5萬美元,最大凈收益為500.00萬美元.參考文獻(xiàn):[1]姜啟源等,數(shù)學(xué)模型[M],北京：高等教育出版社，2004。[2]李強(qiáng)等,Maple基礎(chǔ)應(yīng)用教程[M],北京：中國水利水電出版社,2004。[3]宋兆基等，MATLAB6.5在科學(xué)計算中的應(yīng)用[M]，北京：清華大學(xué)出版社，2005。[4]謝金星薛毅編著,優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件[M]：清華大學(xué)出版社.2005。[5]邵欣煒，基于VaR的證券投資組合優(yōu)化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les/Attach/1883/2005/03/22/1134279531.doc，2006年8月25日。附錄石化產(chǎn)業(yè)股票的案例記錄:案例編號投資量（萬）回報（萬）企業(yè)編號投資量（萬）回報（萬）1200025021129027025000350221720-12931500-200232980-1204250010002446003105450024025510062061800-1802672007407520029027490020082500150283200-31093400500295000-620104000100030490062011800080315700-292127500100032490027013460012033310020101443002903449302781512004203567008101626005103678006201731001020379100720182010-2303841001201910201203939002402031001020402300410(表一)信息產(chǎn)業(yè)股票的案例記錄:企業(yè)編號投資量（萬）回報（萬）企業(yè)編號投資量（萬）回報（萬）12500700216010230271002100223740102031400970236350310043100-210247240940051800-1500253100580625002300265170-210072700210273410-200085600150028821042093010-2800296830540010