第12講齊次化巧解雙斜率問題知識(shí)與方法1.齊次式:一個(gè)多項(xiàng)式中，如果各項(xiàng)的次數(shù)都相同,則稱這個(gè)多項(xiàng)式為齊次式.例如：,為一次齊次式,",為二次齊次式,等等.2.齊次方程：一個(gè)方程中,如果所有非零項(xiàng)的次數(shù)都相同,則稱這個(gè)方程為齊次方程.例如:“"是一次齊次方程;“"是二次齊次方程,等等.特別地，二次齊次方程的一般形式為:(其中不同時(shí)為0),當(dāng)時(shí)，兩邊同時(shí)除以,可得,設(shè),則,當(dāng)時(shí)，即為關(guān)于的二次方程.3.直接構(gòu)造齊次式的步驟:對(duì)于圓錐曲線中的雙斜率問題,常規(guī)方法是聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理求解;也可以通過齊次化處理,利用齊次式解決更加方便快捷，可簡(jiǎn)化運(yùn)算,降低運(yùn)算難度.齊次化方法一般適用于兩直線斜率之和（或積）為常數(shù)的題型，可以解決與斜率之和（或積）有關(guān)的定點(diǎn)、定值或軌跡等問題：使用齊次化方法時(shí)，可以有兩種處理方法:方法1:先平移坐標(biāo)系,將原點(diǎn)平移至給定的點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩直線過原點(diǎn)的類型;方法2:不進(jìn)行坐標(biāo)平移,直線方程須化為的形式,其中是題目中的給定的點(diǎn),此時(shí)圓錐曲線的方程也要跟著變形;其中斜率的和或者積決定了直線方程中的一個(gè)關(guān)系式.以橢圓為例,已知為橢圓的內(nèi)接三角形,其中為定點(diǎn),為兩動(dòng)點(diǎn),可以直接構(gòu)造兩根為的二次方程，步驟如下:(1)將橢圓方程變形:}化簡(jiǎn)整理得:;(2)設(shè)直線的方程為:;(3)聯(lián)立,齊次化:（*）式化為化簡(jiǎn)整理得:(4)上式兩邊除以,得:，此方程兩根即為.由韋達(dá)定理，可得：.據(jù)此，可以簡(jiǎn)便地解決與雙斜率有關(guān)的定點(diǎn)或定值問題.另一方面，我們得到了一個(gè)重要的定點(diǎn)定值模型:兩直線斜率之和（或積）為定值，則第三邊過定點(diǎn).（其中斜率之和不為0)典型例題類型1過原點(diǎn)的兩直線斜率和與積問題【例1】已知為拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),且以為直徑的圓過頂點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn).【答案】見解析.【證明】設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,兩邊同時(shí)除以,得,由,可得,所以,即,所以,過定點(diǎn).【注】方程不能表示過原點(diǎn)的直線.【例2】已知橢圓的中心為,長(zhǎng)軸、短軸分別為分別在橢圓上,且,求證:為定值.【答案】見解析.【證明】由于,因此由勾股定理可得,所以.設(shè)的面積為到的距離為,則有,因此,所以,要證明為常數(shù),則只需證明為定值.設(shè)直線方程為,聯(lián)立,齊次化并整理可得:,方程兩根為,由韋達(dá)定理得:.因?yàn)?所以,化簡(jiǎn)即得.由點(diǎn)到直線距離公式,得,所以為定值.【例3】已知圓的方程為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)點(diǎn)是圓上異于點(diǎn)和的任一點(diǎn),直線與軌跡交于直線與軌跡交于點(diǎn).設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線,的斜率分別為,問:是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1);(2).【解析】(1)(過程略）;(2)設(shè)直線,聯(lián)立,齊次化得,整理可得:,即,方程兩根為,則,同理可得：,由條件知：,所以,整理得,故.【例4】在直角坐標(biāo)系中,曲線與直線交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)時(shí),分別求在點(diǎn)和處的切線方程;(2)軸上是否存在點(diǎn),使得當(dāng)變動(dòng)時(shí),總有?說明理由.【答案】(1)或;(2)見解析【解析】(1)或(過程略）（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn),滿足當(dāng)變動(dòng)時(shí),總有成立.如圖,新建坐標(biāo)系,直線的方程為,即.拋物線的方程為.立化齊次式得,整理得.因?yàn)?所以,即.所以點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為.類型2不過原點(diǎn)的兩直線斜率和與積問題【例5】已知橢圓,四點(diǎn),中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求的方程;(2)設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為,證明：過定點(diǎn).【解析】（1）橢圓的方程為(過程略);(2)解法1:聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理設(shè)直線與直線的斜率分別為,依題意知直線斜率存在,設(shè),聯(lián)立,消去得,由題設(shè)可知.設(shè),則而由題設(shè),故,即,得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),.直線可化為,顯然過定點(diǎn).解法2:直接構(gòu)造關(guān)于斜率的齊次式橢圓的方程,即.設(shè)直線方程為,聯(lián)立,齊次化得,整理得,整理得,由韋達(dá)定理得,從而,與對(duì)照可知,直線過定點(diǎn).【注】使用齊次化方法時(shí),可直接將直線方程設(shè)為的形式,其中是題目中給定的定點(diǎn)，同時(shí)也要將橢圓方程變形為的形式.解法3:坐標(biāo)平移之后構(gòu)造齊次式如圖,以為原點(diǎn)新建坐標(biāo)系,則橢圓方程變?yōu)?即.設(shè)直線為,聯(lián)立橢圓方程,化齊次式得,整理得.因?yàn)?所以.即,所以直線過定點(diǎn).所以,在原坐標(biāo)系中,直線過定點(diǎn).【注1】（1）本題第問的解法1為通性通法，即設(shè)直線方程,聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，不難得出正確答案，通性通法務(wù)必要熟練掌握！解法2運(yùn)算量較小,構(gòu)造齊次式，再由書達(dá)定理可輕松得到問題答案;解法3通過坐標(biāo)平移，使得平移后兩直線都過新坐標(biāo)系的原點(diǎn)，化為類型1處理,和解法2由異曲同工之妙！需要注意的是：最后還要平移回去,才能得到正確答案.【注2】掌握四個(gè)步驟即可，不必記憶最后的結(jié)果【例6】如圖,過橢圓上的定點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩直線,設(shè)其分別交橢圓于兩點(diǎn),求證：直線的斜率是定值.【分析】設(shè)坐標(biāo)分別為,由條件可得，即,我們需要構(gòu)造如下齊次式:.【解析】設(shè)直線方程為,因?yàn)?所以橢圓方程可化為:,聯(lián)立,齊次化且整理可得,由韋達(dá)定理可得.又因?yàn)?∴【注】設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,則處的切線斜率即為本題答案.【例7】已知橢圓的左頂點(diǎn)為為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),記直線斜率分別為,若,試判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo),若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【解析】將坐標(biāo)系左移2個(gè)單位（即橢圓右移）,則橢圓方程變?yōu)?即,設(shè)為直線,平移后方程,聯(lián)立,齊次化得,整理可得,兩邊同除以,得因?yàn)?所以,得,把代入直線中,.當(dāng)時(shí),,∴過定點(diǎn),則過定點(diǎn)類型3齊次化處理與斜率和與積有關(guān)的軌跡問題【例8】為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,過原點(diǎn)作直線的垂線,求的軌跡方程.【解析】解法1:常規(guī)方法設(shè),設(shè)直線方程為,立立,化簡(jiǎn)可得:,所以，因?yàn)?所以,∴又因?yàn)橹本€方程等價(jià)于為,即,對(duì)比于,則,代入中,化簡(jiǎn)可得:.故的軌跡方程為.解法2:齊次化設(shè)直線方程為,聯(lián)立,,化簡(jiǎn)可得:,整理成關(guān)于的齊次式:,進(jìn)而兩邊同時(shí)除以,則因?yàn)?所以(*)又因?yàn)橹本€方程等價(jià)于為,即,對(duì)比于,則,代入中,化簡(jiǎn)可得:.故的軌跡方程為.強(qiáng)化訓(xùn)練1.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)當(dāng)與軸垂直時(shí),求直線的方程;(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),證明：.【答案】(1),或;(2)見解析.【解析】(1),∵與軸垂直,∴,∴直線的方程為,或.(2)證明:將橢圓左移2個(gè)單位,得,即平移后的直線過,即,所以聯(lián)立,齊次化得,即,兩邊同除以,得,則.2.如圖,橢圓經(jīng)過點(diǎn),且離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過點(diǎn),且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)),證明:直線與斜率之和為.【答案】(1);(2)見解析.【解析】（1）由題設(shè)得,所以橢圓的方程為;(2)設(shè)的方程為,則直線過點(diǎn),則,橢圓方程為,改寫成,即,所以,即,令,則,方程兩根為,所以(定值）.3.如圖,已知是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是橢圓上的定點(diǎn),如果直線與關(guān)于直.線對(duì)稱,證明：直線的斜率為定值.【答案】見解析.【證明】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，重新建立平面直角坐標(biāo)系,則橢圓方程為整理得:,令直線方程:,則,所以，整理得:,所以:,由題意:,即:,則,即直線的斜率為定值.4.設(shè)拋物線上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若,求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】見解析.【解析】先證明直線過定點(diǎn):設(shè)直線方程為,聯(lián)立,齊次化可得,即.由韋達(dá)定理可得又,即,所以直線恒過定點(diǎn).下面求中點(diǎn)的軌跡方程,設(shè)中點(diǎn)為,對(duì)直線的斜率分兩種情形討論:情形一：若直線的斜率存在,則,又因?yàn)?為,所以,即：情形二：若直線.斜率不存在,此時(shí)的坐標(biāo)為,它顯然滿足.綜上所述：中點(diǎn)的軌跡方程為.5.在直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)若斜率存在,縱截距為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若直線的斜率均存在,求證：直線的斜率依次成等差數(shù)列.【答案】(1)(2)見解析.【解析】(1);(過程略）(2)根據(jù)條件可設(shè)直線的方程為,由直線過點(diǎn),可得.橢圓方程,即,,聯(lián)立,并且齊次化整理可得即，由韋達(dá)定理可得.由于,所以,即,得證.6.已知橢圓的離心率為,過橢圓右焦點(diǎn)并垂直于軸的直線交橢圓于（點(diǎn)位于軸上方）兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線交橢圓于異于點(diǎn))兩點(diǎn),且直線與的斜率之積為,求點(diǎn)到直線距離的最大值.【答案】(1).【解析】(1)由題意可得.解得.所橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法1:韋達(dá)定理暴算設(shè)點(diǎn),由(1)易求得.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)其方程為且),所以,即.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,聯(lián)做,消去并整理得.則.所以,即所以.整理得.即,所以或若,則直線的方程為.所以直線過定點(diǎn),不合題意...若則直線的方程為所以直線過定點(diǎn)又因?yàn)?所以點(diǎn)在橢圓內(nèi).設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,所以.所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.解法2：點(diǎn)乘雙根法 當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,聯(lián)立,消去并整理得.則(*),