2.1二次函數(shù)

情景導入節(jié)日的噴泉給人們帶來喜慶,夏日的噴泉給人們帶來涼爽.你是否注意過噴泉水流所經過的路線?它會與某種函數(shù)有聯(lián)系嗎?復習舊知函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)y=kx+b(k≠0)(正比例函數(shù))y=kx(k≠0)思考

一個邊長為x的正方形的面積y為多少？y是x的函數(shù)嗎？是我們學過的函數(shù)嗎？y=x2，對于x的每一個值，y都有唯一的一個對應值，即y是x的函數(shù).這個函數(shù)不是我們學過的函數(shù).思考：這種函數(shù)叫什么？這節(jié)課我們一起來學習吧.新知講解問題：某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.(1)問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？增種的棵樹和平均每棵樹結的橙子個數(shù)是變量.增種的棵樹是自變量,平均每棵樹結的橙子個數(shù)是因變量.新知講解(2)假設果園增種x棵橙子樹,那么果園共有多少棵橙子樹?這時平均每棵樹結多少個橙子?

果園共有(100+x)棵樹,平均每棵樹結(600－5x).(3)如果果園橙子的總產量為y個,那么請你寫出y與x之間的關系式.y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000.對于x的每一個值，y都有唯一的一個對應值，即y是x的函數(shù).歸納總結

一般地,若兩個變量x,y之間的對應關系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的形式,則稱y是x的二次函數(shù).a為二次項系數(shù)，ax2叫做二次項；b為一次項系數(shù)，bx叫做一次項；c為常數(shù)項.新知講解注意事項：（1）關于x的代數(shù)式一定是整式,a,b,c為常數(shù),a≠0.（2）等式的右邊最高次數(shù)為2,可以沒有一次項和常數(shù)項,但不能沒有二次項.（3）判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，先把它化成一般形式.做一做設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x,一年到期后,銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉存.如果存款額是100元,那么請你寫出兩年后的本息和y(元)的表達式（不考慮利息稅）.y=100(1+x)(1+x)=100x2+200x+100典例精析例（1）m取什么值時，此函數(shù)是正比例函數(shù)？（2）m取什么值時，此函數(shù)是二次函數(shù)？解：（1）由題可知解得（2）由題可知解得m=3方法點撥解此類題，先根據(jù)次數(shù)計算字母的值，然后再根據(jù)二次項系數(shù)a≠0這一限制條件得出正確的答案.想一想S=a2(正方形面積與邊長的關系)S=πr2(圓面積與半徑的關系)

你可以舉例說明還有哪些可以表示為二次函數(shù)關系？總結歸納二次函數(shù)的一般式：特殊式：練一練下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?先化簡后判斷是不是是不是課堂練習1.函數(shù)y=(m-n)x2+mx+n

是二次函數(shù)的條件是()A.

m,n是常數(shù),且m≠0

B.

m,n是常數(shù),且n≠0C.

m,n是常數(shù),且m≠nD.

m,n為任何實數(shù)C2．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是()A．y＝2x＋1B．C．y＝3x2＋1D．C課堂練習3.把y=(2-3x)(6+x)變成y=ax2+bx+c的形式，二次項為_____,一次項系數(shù)為______，常數(shù)項為

.-3x2-16124.已知函數(shù)y=3x2m-1－5

①當m=＿＿時，y是關于x的一次函數(shù)；

②當m=＿＿時，y是關于x的二次函數(shù).1課堂練習

(1)y=π(x+1)2－π=πx2+2πx

(2)當x=1cm時,y=3π(cm2)

當x=2cm時,y=8π(cm2)

作業(yè)布置1.課本習題2.1第1、2題2.矩形的周長為16cm,它的一邊長為xcm,面積為ycm2.求（1）y與x之間的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；（2）當x=3時矩形的面積.課堂小結二次函數(shù)定義y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常數(shù))一般形式右邊是整式；自變量的指數(shù)是2；二次項系數(shù)a≠0.特殊形式y(tǒng)=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a≠0，a,b,c是常數(shù)).二次函數(shù)第二章二次函數(shù)

本章我們要探索和研究刻畫變量之間關系的一種新模型：二次函數(shù)。情境引入

我們以前學過的函數(shù)的概念是什么？如果變量y隨著x而變化，并且對于x取的每一個值，y總有唯一的一個值與它對應，那么稱y是x的函數(shù).新課引入問題1函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)y=kx+b(k≠0)(正比例函數(shù))y=kx(k≠0)

我們學過哪些函數(shù)？

一個邊長為x的正方形的面積y為多少？y是x的函數(shù)嗎？是我們學過的函數(shù)嗎？y=x2，對于x的每一個值，y都有唯一的一個對應值，即y是x的函數(shù).這個函數(shù)不是我們學過的函數(shù).思考：這種函數(shù)叫什么？這節(jié)課我們一起來學習吧.新課引入問題2思考

某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.(1)問題中有那些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？

二次函數(shù)的定義新課講解1問題1(2)假設果園增種x棵橙子樹,那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每棵樹結多少個橙子？(3)如果要使得果園橙子的總產量為60320個,那么應該增種多少棵橙子樹？

果園共有(100＋x)棵樹,平均每棵樹結(600－5x)個橙子.(100＋x)(600－5x)=60320解得，新課講解(4)如果果園橙子的總產量為y個,那么請你寫出y與x之間的關系式.y=(100＋x)(600－5x)=－5x2＋100x＋60000.對于x的每一個值，y都有唯一的一個對應值，即y是x的函數(shù).

正方體六個面是全等的正方形，設正方體棱長為

x，表面積為y，則y

關于x

的關系式為

.

y=6x2

新課講解問題2

某水產養(yǎng)殖戶用長40m的圍網(wǎng)，在水庫中圍一塊矩形的水面，投放魚苗.你能列出矩形水面的面積關于矩形水面的邊長的關系式嗎？設圍成的矩形水面的一邊長為xm,那么，矩形水面的另一邊長應為（20-x）m.若它的面積是Sm2，則有新課講解問題3前面求出的三個函數(shù)有什么共同點?

y=6x2

y=－5x2＋100x＋60000.新課講解二次函數(shù)的定義：

一般地，若兩個自變量x，y之間的對應關系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的形式，則稱y是x的二次函數(shù).a為二次項系數(shù)，ax2叫做二次項；b為一次項系數(shù)，bx叫做一次項；c為常數(shù)項.歸納新知溫馨提示：（1）等號左邊是變量y，右邊是關于自變量x的整式；（2）a,b,c為常數(shù)，且a≠0;（3）等式的右邊最高次數(shù)為2，可以沒有一次項和常數(shù)項，但不能沒有二次項；歸納總結

（1）m取什么值時，此函數(shù)是正比例函數(shù)？（2）m取什么值時，此函數(shù)是二次函數(shù)？解：（1）由題可知解得（2）由題可知解得m=3.：第（2）問易忽略二次項系數(shù)a≠0這一限制條件，從而得出m=3或－3的錯誤答案，需要引起同學們的重視.注意新課講解例11.下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?先化簡后判斷是不是是不是新課講解練一練2.把下列函數(shù)化成一元二次函數(shù)的一般式.(1)y=(x－2)(x－3);(2)y=(x＋2)(x－2)－2(x－1)2;(3)y=-2(x+3)2.解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;(2)y=(x＋2)(x－2)－2(x－1)2=－x2＋4x－6;(3)y=－2(x＋3)2=－2x2－12x－18.新課講解問題4：上述問題中的三個函數(shù)的自變量的取值范圍是什么？①y=(100＋x)(600－5x)=－5x2＋100x＋60000.②

y=6x2

①∵600－5x>0，∴0≤x<120，且x為整數(shù).②x>0.③∵20－x>0，∴0<x<20.二次函數(shù)的自變量取值范圍新課講解2

二次函數(shù)的自變量的取值范圍是所有實數(shù)，但在實際問題中，它的自變量的取值范圍會有一些限制.歸納總結列二次函數(shù)關系式

一個正方形的邊長是12cm，若從中挖去一個長為2xcm，寬為(x+1)cm的小長方形．剩余部分的面積為ycm2.寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并指出y是x的什么函數(shù)？解：由題意得y＝122－2x(x＋1)，又∵x＋1<2x≤12，∴1<x≤6，即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，∴y是x的二次函數(shù).分析：本題中的數(shù)量關系是：剩余面積=正方形面積-長方形面積.新課講解3例32.函數(shù)y=(m－n)x2＋mx＋n

是二次函數(shù)的條件是（)A.

m,n是常數(shù),且m≠0

B.

m,n是常數(shù),且n≠0C.

m,n是常數(shù),且m≠n

D.

m,n為任何實數(shù)C1.把y=(2－3x)(6＋x)變成y=ax2+bx+c的形式，二次項為_____,一次項系數(shù)為______，常數(shù)項為

.3．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是()A．y＝2x＋1B．C．y＝3x2＋1D．C－3x2－1612隨堂即練4.已知函數(shù)

y=3x2m-1－5

①當m=＿＿時，y是關于x的一次函數(shù)；②當m=＿＿時，y是關于x的二次函數(shù).1隨堂即練5.（