一類勢函數(shù)的性質(zhì)

0多元正態(tài)總體模型參數(shù)的修正檢驗配置xj1、xj2、。。。xjnj（j.1，2，…，q）是從p維真正態(tài)平均氮（j，12j）中提取的隨機樣本。為了便于說明，將正態(tài)平方差的一般矩陣（12）j，j0）進行比較，并考慮yj=12jj1xjsj=j=1（xj）-xj））進行基礎(chǔ)驗證。簡單地說。yj~Νp(μj,12Σj),Sj~Wp(12Σj,nj)(j=1,2,?,q)且相互獨立.其中ˉXj=1ΝjΝj∑α=1Xjα,μj=Ν12jθj?nj=Νj-1?Wp(Σ,n)表示W(wǎng)ishart分布,其密度函數(shù)為[212pn|Σ|12nΓp(12n)]-1?|S|12(n-p-1)etr(-12Σ-1S)(1)其中Γp(12n)=π14p(p-1)p∏i=1Γ(n-p+12).設(shè)原假設(shè)為H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2Ip,其中σ2>0且未知,Ip表示p階單位矩陣.相應(yīng)于A≠H檢驗原假設(shè)H的似然比統(tǒng)計量為Λ*=(pΝ)12pnq∏j=1Ν12pΝjj?q∏j=1|Sj|12Νj[tr(S1+S2+?+Sq)]12pΝ(2)其中Ν=q∑j=1Νj.記n=q∑j=1nj.在上式中用nj代Nj,用n代N,則得到修正似然比統(tǒng)計量為Λ=(pn)12pnq∏j=1n12pnjj?q∏j=1|Sj|12nj[tr(S1+S2+?+Sq)]12pn(3)對于這種多元正態(tài)總體中關(guān)于協(xié)方差矩陣的球性檢驗問題,文給出了在與原假設(shè)相接近的某些備擇假設(shè)下修正似然比檢驗統(tǒng)計量(3)的非零分布的漸近展開式,文給出了修正似然比檢驗統(tǒng)計量在固定備擇假設(shè)A≠H之下非零分布的漸近展開式.然而對有關(guān)參數(shù)的檢驗問題,我們不僅要給出檢驗的方法,而且在某種意義上更希望了解和掌握這種檢驗的性質(zhì).在采用修正似然比檢驗統(tǒng)計量的情形下,文和文證明了這一檢驗是無偏的,文還給出了當q=1時這一檢驗的單調(diào)性結(jié)論.本文將給出當q≥2時這一檢驗的單調(diào)性結(jié)論.1正交變換群的vpp工藝設(shè)有變換:yj→bΓjyj+α,Vj→b2ΓjVjΓj(j=1,2,?,q)(4)其中b≠0,ΓjΓj′=I.易知相對于A≠H檢驗H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2I的檢驗問題在上述正交變換群下保持不變.設(shè)lj1,lj2,…,ljp(j=1,2,…,q)為Vj的p個特征根,且不妨設(shè)Σj為對角形矩陣:Σj=diag(σj1,σj2,?,σjp)(j=1,2,?,p)(5)其中σj1,σj2,…,σjp為Σj的p個特征根.將諸Vj的qp個特征根ljt及諸Σj的qp個特征根σjt(j=1,2,…,q;t=1,2,…,p)分別按由大到小的次序排列,記為l1≥l2≥?≥lpq,r1≥r2≥?≥rqp,則不難證得下述引理的結(jié)論成立.引理1對于相應(yīng)于A≠H檢驗H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2I的檢驗問題,在上述正交變換群(4)下的一組最大不變量是(l1l2,l2l3,?,lqp-1lqp),而參數(shù)空間上的一組最大不變量是(σ1σ2,σ2σ3,?,σqp-1σqp).引理2設(shè)V=(vij)p×p～Wp(Σ,n)(n≥p),Σ是以σ1,σ2,…,σp為對角線元素的對角矩陣:Σ=diag(σ1,σ2,…,σp),令rij=vij(viivjj)12,(i≠j,1≤i＜j≤p,i=1,2,?,p)rii=1(i=1,2,?,p)則子樣相關(guān)系數(shù)矩陣R=(rij)p×p的密度為[Γ(12n)]p[π14p(p-1)p∏i=1Γ(n-i-12)]-1|R|14(n-p-1)(6)諸vii～σiχ2n(i=1,2,…,p)且相互獨立.又R與諸vii相互獨立.證明作變換V=diag(v1211,v1222,?,v12pp)Rdiang(v1211,v1222,?,v12pp),此變換的Jacobian為J(V→R,v11,v22,…,vpp)=∏1≤i＜j≤p(viivjj)12=p∏r=1(vrr)12(p-1),因此,由(1)式可知R與v11,v22,…,vpp的聯(lián)合密度為f(R,vii,i=1,2,?,p)=[Γ(12n)]p[π14p(p-1)p∏i=1Γ(n-i-12)]-1|R|12(n-i-1).p∏i=1{[212nΓ(12n)σi]-1(viiσi)12n-1exp(-vii2σi)}(7)將上式兩端依次對v11,v22,…,vpp積分,即知R的密度如(6)所示,且可知vii～σiχ2ni(i=1,2,…,p)且相互獨立.又R與諸vii相互獨立.引理3設(shè)諸Sj(j=1,2,…,l)相互獨立且依次服從12σjχ2nj,又假定σ1≥σ2≥…≥σl,記A?A(S1,S2,?,Sl)={S1,S2,?,Sl|l∏j=1Snjj(l∑j=1Sj)-Ν(l)≤c}.其中N(l)=l∑j=1nj,c為常數(shù).令P(A)=P((S1,S2,…,Sl)A).那么,對任一個k(1≤k≤l),當p-2參數(shù)δi=σiσi+1(i=1,2,?,l-1;i≠k)固定時,P(A)是δk=δkδk+1的單調(diào)非減函數(shù).證明參見文.2似然比檢驗tqp-1由于上述關(guān)于多個多元正態(tài)總體的協(xié)方差矩陣的球性檢驗問題在正交變換群(4)下保持不變,所以將限于討論不變檢驗.由引理1可知任一不變檢驗是以最大不變量(l1l2,l2l3,?,lqp-1lqp)的函數(shù)為基礎(chǔ)的,即任一不變檢驗只依賴于這個最大不變量.同時,由于參數(shù)空間內(nèi)的最大不變量為(σ1σ2,σ2σ3,?,σqp-1σqp),可知任一不變檢驗的勢函數(shù)只通過(σ1σ2,σ2σ3,?,σqp-1σqp)依賴于參數(shù).很顯然,這一檢驗問題的似然比檢驗的拒絕域A=Vj,j=1,2,…,q|Vj>0,j=1,2,…,q;∏j=1q|Vj|nj[tr(V1+V2+?+Vq)]pn≤c(其中c是按檢驗尺碼來確定的)在正交變換群(4)下保持不變.作為本文的主要結(jié)果,關(guān)于這檢驗的勢函數(shù)有如下結(jié)論成立.定理1在q個實多元正態(tài)總體的情形下,相應(yīng)于備擇假設(shè)A≠H檢驗原假設(shè)H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2I的球性檢驗問題,當qp-2的參數(shù)δi=δiδi+1(i=1,2,?,qp-1;i≠k,1≤k≤qp-1)固定時,似然比檢驗的勢函數(shù)Ρ(A)=Ρ{Vj,j=1,2,?,q|Vj>0,j=1,2,?,q;∏j=1q|Vj|nj[tr(V1+V2+?+Vq)]np≤c}(8)是δk=δkδk+1的單調(diào)非減函數(shù).證明由于Vj～Wp(12Σj,nj)(j=1,2,?,q)且相互獨立,可知Vj(j=1,2,…,q)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(V1,V2,…,Vq)=∏j=1qπ-14p(p-1)∏i=1pΓ-1(nj-i+12)·|Σj|-12nj|Vj|12(nj-p-1)exp-tr(Σj-1Vj)(9)又由于這檢驗問題在正交變換群(4)下不變,不妨設(shè)Σj(j=1,2,…,q)為(5)所示的對角矩陣,于是(9)化為f(V1,V2,?,Vq)=∏j=1qπ-14p(p-1)∏i=1pΓ-1(nj-i+12)·|Vj|12(nj-p-1)∏i=1pσji-12njexp-∑i=1pvjiiσji-1(10)其中vjii(i=1,2,…,p)依次為Vj(j=1,2,…,q)的對角線元素.從而,檢驗的勢函數(shù)可表示為Ρ(A)=Ρ(VjA,j=1,2,?,q)=∫A∏j=1qπ-14p(p-1)∏i=1pΓ-1(nj-i+12)·|Vj|12(nj-i-1)∏i=1pσji-12nj·exp-∑i=1pvjiiσji-1dV1dV2…dVq(11)作變換Vj=diag(vj1112,vj2212,?,vjpp12)Rjdiag(vj1112,vj2212,?,vjpp12)(j=1,2,?,q).變換的JacobianJ(Vj→Rj;vj11,vj22,?,vjpp,j=1,2,?,q)=∏j=1q∏i=1p(σjii)12(p-1),于是(11)式化為Γp(12nj)|Rj|12(nj-p-1)·∫AR∏j=1q∏i=1pσji-12njΓ-p12nj∏i=1pvjii12n-1·exp-∑i=1pvjiiσji-1∏j=1q∏i=1p(dvjii)∏j=1q(dRj)=∫R1?∫Rqπ14pq(p-1)(∏j=1q∏i=1pΓ-1(nj-i+12)?Γp12nj|Rj|12(nj-p-1)·∫AR∏j=1q∏i=1pσji-12njΓ-1(12nj)(vjii)12nj-1?exp(-vjiiσji-1)∏j=1q∏i=1pdvjii∏j=1q(dRj)(12)其中AR=AR(vjii,j=1,2,…,q;i=1,2,?,vjii;j=1,2,…,q;i=1,2,…,p∏j=1q∏i=1pvjiinj∑j=1q∑i=1pvjii-np≤c|R1|-n1|R2|-n2?|Rq|-nq.注意到(12)式中里層積分的被積函數(shù)的乘積因子σjii-12njΓ-1(12nj)(vjii)12nj-1exp(-vjiiσji-1)為vjii~12σjiχ2(nj)的密度函數(shù),因而這里層積分的被積函數(shù)就是pq個相互獨立隨機變量vjii(j=1,2,…,q;i=1,2,…,p)的聯(lián)合密度函數(shù).對于里層積分應(yīng)用引理3,并且由引理2可知外層積分與參數(shù)無關(guān),即知定理結(jié)論正確.3jtrvj-12pnj(1)如在本文引言部分中,提出的檢驗假設(shè)為Η*:Σj=σj2Ι(σj2>0且未知;j=1,2,?,q),則檢驗的修改似然比檢驗統(tǒng)計量為Λ*=p12pn∏j=1q[|Vj|12nj(trVj)-12pnj],其拒絕域A*為A*=Vj,j=1,2,…,q|Vj>0,j=1,2,…,q;∏j=1