2022-2023學(xué)年廣東省五校聯(lián)盟（茂名市等）高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先對化簡，然后求出復(fù)數(shù)，從而可求出的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，進而可得答案.【詳解】由，得，所以，對應(yīng)的點為.的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，故選：D.2．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，將集合分別化簡，然后結(jié)合交集的運算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，，所以.故選：B.3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后由中間量“0”，“1”即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：A.4．在平行四邊形中，是線段的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】用表示，根據(jù)計算求解即可．【詳解】因為，是線段的中點，所以.故選：D.5．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202-1261）提出“三斜求積”求三角形面積的公式.以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上.余四約之，為實.一為從隅開方得積.如果把以上這段文字寫成公式，就是：.在中，已知角所對邊長分別為，其中為棱長為的正方體的體對角線的長度，為復(fù)數(shù)的模，為向量的模，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知求出，然后代入公式計算即可.【詳解】因為為棱長為的正方體的體對角線的長度，為復(fù)數(shù)的模，為向量的模，所以，所以.故選：C.6．把一個球放在一個圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上蓋后，球恰好與圓柱的上?下底面和側(cè)面相切，則該球稱為圓柱的內(nèi)切球；如果一個圓柱的上?下底面圓上的點均在同一個球上，則該球稱為圓柱的外接球.若一個圓柱的表面積為，內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積為，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱的軸截面分析可得，，進而結(jié)合表面積公式運算求解.【詳解】設(shè)圓柱的母線長為，內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則其軸截面如圖所示，則，，則，所以.故選：C.

7．為了提高學(xué)生鍛煉身體的積極性，某班以組為單位組織學(xué)生進行了花樣跳繩比賽，每組6人，現(xiàn)抽取了兩組數(shù)據(jù)，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，方差為4，乙組數(shù)據(jù)滿足如下條件時，若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則關(guān)于新的一組數(shù)據(jù)說法錯誤的是（

）A．若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，則新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定為8B．若乙組數(shù)據(jù)的方差為4，則新的一組數(shù)據(jù)的方差一定為4C．若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，方差為4，則新的一組數(shù)據(jù)的方差一定為4D．若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為8，則新的一組數(shù)據(jù)的方差一定為10【答案】B【分析】根據(jù)分層樣本的平均數(shù)公式和方差公式分別計算兩組數(shù)據(jù)的總體的平均數(shù)或方差即可判斷.【詳解】設(shè)甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，混合后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則，對于，新的一組數(shù)據(jù)平均數(shù)，故A正確；對于，由于不能確定乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故由公式，可知無法確定新的一組數(shù)據(jù)方差，故B錯誤；對于C，因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，方差為4，即，所以，所以，故C正確；對于D，因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為8，即，所以，所以10，故D正確.故選：B.8．巴普士（約公元世紀），古希臘亞歷山大學(xué)派著名幾何學(xué)家.生前有大量的著作，但大部分遺失在歷史長河中，僅有《數(shù)學(xué)匯編》保存下來.《數(shù)學(xué)匯編》一共卷，在《數(shù)學(xué)匯編》第卷中記載著這樣一個定理：“如果在同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于該閉合圖形的面積與該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”，即（表示平面閉合圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得幾何體的體積，表示閉合圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長）.已知在四邊形中，于點，，，，利用上述定理可求得四邊形的重心到點的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】計算出四邊形分別繞、旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積，并計算出四邊形的體積，根據(jù)題意分別計算出重心到的距離、重心到的距離的值，即可得出的長.【詳解】由題意得四邊形為上底邊的長為，下底邊的長為，高為的直角梯形，為兩個直角邊長分別為和的直角三角形，所以四邊形的面積為，四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為，設(shè)重心到的距離為，則，解得；過點作直線，垂足為點，如下圖所示：

因為，，，故四邊形為矩形，所以，，，所以，，四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以直角梯形繞著直角腰旋轉(zhuǎn)所形成的圓臺中挖去一個以為底面圓半徑，高為的圓錐，所以，四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為，設(shè)重心到的距離為，則，所以，所以.故選：C.二、多選題9．我國經(jīng)濟結(jié)構(gòu)處于轉(zhuǎn)型升級階段，當前的汽車保有量仍處于較低水平，未來增量市場發(fā)展空間依舊廣闊.根據(jù)公安部數(shù)據(jù)統(tǒng)計，截至2022年末，我國汽車保有量達到3.19億輛.因此，無論是從增量維度還是存量維度，我國消費者需求足以推動著市場繼續(xù)發(fā)展.下圖為2015-2022年全國汽車保有量及增長率情況，則（

）

A．2015-2022年全國汽車保有量的極差大于一億輛B．2016-2022年全國汽車保有量的中位數(shù)大于2.5億輛C．2016-2022年全國汽車保有量的增長率平均值低于D．2016-2022年全國汽車保有量的增長率逐年降低，一定能說明每年買汽車的人越來越少【答案】AB【分析】根據(jù)極判斷A；根據(jù)中位數(shù)為2019年的汽車保有量判斷B，根據(jù)平均數(shù)范圍判斷C；根據(jù)保有量的增長率逐年降低，但汽車保有量是逐年增加判斷．【詳解】2015-2022年全國汽車保有量最多為2022年，超過3億輛，最少為2015年，大約1.7億輛，極差大于一億輛，故A正確；2016-2022年全國汽車保有量的中位數(shù)為2019年的汽車保有量，由圖知大于2.5億輛，故B正確；2016-2022年全國汽車保有量的增長率前三個數(shù)據(jù)大于，兩個大于或等于，一個在，一個在，故平均數(shù)大于，故C錯誤；雖然2016-2022年全國汽車保有量的增長率逐年降低，但汽車保有量是逐年增加的，另外還有每年報廢一部分的汽車，所以不一定能說明每年買汽車的人越來越少，故錯誤.故選：AB.10．下列命題為真命題的是（

）A．的三個內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別是，若，則B．若角是銳角的三個內(nèi)角，則C．若冪函數(shù)的圖象過點，則D．若，則的最小值為2【答案】AC【分析】對于A，利用誘導(dǎo)公式和正弦定理分析判斷，對于B，利用誘導(dǎo)公式分析判斷，對于C，設(shè)，將代入可求出，從而可求出解析式，對于D，利用基本不等式分析判斷.【詳解】對于A，因為，所以，因為，所以，根據(jù)正弦定理得，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，得，所以，故C正確；對于D，，當且僅當時，即時等號成立，故D錯誤.故選：AC.11．已知為坐標原點，點，，，則（

）A．B．C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡、，即可表示出，，，，再根據(jù)平面向量坐標運算及和（差）角公式一一判斷即可.【詳解】，，，，，，，，因為，，所以，故A正確；因為，故B錯誤；若，則，即，所以，故C正確；若，則，即，故D正確.故選：ACD.12．在正方體中，點分別是棱的中點，點是棱上的動點，則（

）A．直線與直線交于一點B．點滿足時，異面直線與所成的角的余弦值為C．點滿足時，平面D．當點滿足時，直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【分析】對于，連接，易得四邊形為梯形判斷；對于，取棱的中點，連結(jié)，取的中點，連接，易得（或補角）為異面直線與所成的角判斷；對于，連接，易得平面與平面為同一個平面，再由垂直于同一直線的兩個平面平行判斷；對于D，結(jié)合平面，取的中點，連接，易得為所求的角判斷.【詳解】對于，如圖所示：連接，由于點分別是棱的中點，故，在正方體中，，故，且，故四邊形為梯形，故直線與直線交于一點，故正確；對于，如圖所示：取棱的中點，連結(jié)，則，又取的中點，連接，則，所以（或補角）為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長為6，則，由余弦定理得，故B正確；對于，如圖所示：連接，則，又，所以，故平面與平面為同一個平面，平面，若平面，則平面平面，這與平面平面矛盾，故C錯誤；對于D，如圖所示：由選項的證明知，平面，設(shè)正方體的棱長為6，則，故點到平面的距離為，所以點到平面的距離為，取的中點，連接，則平面，所以，所以直線與所成的角的正弦值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．某染發(fā)劑生產(chǎn)廠家生產(chǎn)了一種新型植物染發(fā)劑，現(xiàn)在有35000名女性，21000名男性用了此染發(fā)劑.銷售科為了了解使用過的顧客對此染發(fā)劑的評價，決定按性別比例抽取80名顧客做調(diào)查，則應(yīng)抽取女性名.【答案】50【分析】根據(jù)題意，由分層抽樣的計算公式，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】，故為50名.故答案為：50.14．已知函數(shù)，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則.【答案】【分析】先根據(jù)純虛數(shù)求出m,再應(yīng)用分段函數(shù)求值即可.【詳解】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，所以，所以.故答案為:.15．如圖，有一底面邊長為，高為的正六棱柱形糧倉，側(cè)面的中心點為，此時一只螞蟻正在處，它要沿棱柱側(cè)面到達所經(jīng)過的最短路程是.

【答案】【分析】將此棱柱沿剪開，側(cè)面的中心在上的投影為，由題意可知在展開圖中的長是所求的最短路程.【詳解】如圖，將此棱柱沿剪開，其展開圖為一個長為，寬為的矩形，側(cè)面的中心在上的投影為，所以若要最短，應(yīng)沿著側(cè)面走直線到處，由圖可知，，所以.故答案為：.

16．已知均是單位向量，若不等式對任意實數(shù)都成立，則與的夾角的最小值是.【答案】【分析】根據(jù)模長公式平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，再應(yīng)用二次函數(shù)恒非負對判別式的要求求解計算向量夾角可得.【詳解】不等式對任意實數(shù)都成立，即對任意實數(shù)都成立，即對任意實數(shù)都成立，因為均是單位向量，所以上式可整理為對任意實數(shù)都成立，所以，即，所以，得，所以，得與的夾角的最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知向量滿足.(1)求；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)向量的線性運算求出，再根據(jù)向量的夾角公式計算可得結(jié)果；（2）因為平行求出，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出模長，最后應(yīng)用二次函數(shù)的最值求出模長最值.【詳解】（1）由，得，同相減得，，代入中，得.所以，所以.（2）因為，所以，所以當時，取最小值.18．如圖，底面邊長為6的正三棱錐的表面積為，點分別滿足，平面交于點.(1)判斷點的位置，并證明；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由線面平行的性質(zhì)定理即可得到結(jié)果；（2）取的中點，連接，然后由三棱錐的表面積即可得到的長，再結(jié)合棱錐的體積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）；證明如下：又平面平面，平面，又平面，平面平面，.（2）取的中點，連接，則，令，此三棱錐的表面積為，得，因為三棱錐為正三棱錐，所以S在底面的投影為的中心，連接，所以，所以，.19．在①分別以為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知；②；③.這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足______.(1)求角；(2)已知，當取最小值時，求內(nèi)切圓的半徑.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，由三角形的面積公式結(jié)合余弦定理，即可得到結(jié)果；若選②，由向量數(shù)量積的運算律結(jié)合三角形的面積公式即可得到結(jié)果；若選③，由正弦定理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理與基本不等式化簡，然后結(jié)合正弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】（1）選①依題意即，由余弦定理.選②由題意，得.，即，.選③，由正弦定理得，，，，可得，因為，所以.（2）因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，此時，所以，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以所以內(nèi)切圓的半徑為.20．深州蜜桃，又稱“貢桃”，是河北省深州市的特產(chǎn)，中國國家地理標志產(chǎn)品，因其個頭碩大，果型秀美，色澤鮮艷，皮薄肉細，汁甜如蜜，深受老百姓的喜歡.深州市某蜜桃種植村從該村某種植戶的蜜桃樹上隨機摘下了200個蜜桃進行測重，測得其質(zhì)量（單位：克）均分布在區(qū)間內(nèi)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，利用樣本估計總體的思想，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表.(1)求出直方圖中的值，估計該種植戶所種植的蜜桃的質(zhì)量的平均數(shù)和第75百分位數(shù)（第75百分位數(shù)精確到0.01）；(2)已知該種植戶的蜜桃樹上大約還有10000個蜜桃待出售，現(xiàn)有甲?乙兩個收購商要與該種植戶簽訂合同：甲收購商：所有蜜桃均以40元/千克收購；乙收購商：質(zhì)量低于200克的蜜桃不收購，質(zhì)量落在區(qū)間內(nèi)的以8元/個的價格收購，質(zhì)量落在區(qū)間內(nèi)的以14元/個的價格收購，質(zhì)量落在區(qū)間內(nèi)的以24元/個的價格收購，質(zhì)量落在區(qū)間內(nèi)的以36元/個的價格收購，質(zhì)量高于或等于600克的以50元/個的價格收購.請你通過計算，幫助該種植戶確定應(yīng)與哪個收購商簽訂合同.【答案】(1)，平均數(shù)為365，第75百分位數(shù)為433.33(2)應(yīng)與乙收購商簽訂合同【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖頻率和為1求出，再應(yīng)用頻率分布直方圖求百分位數(shù)求解即得；（2）分別按照加以兩個收購商計算總收益比較計算即可.【詳解】（1）由，得.由題中頻率分布直方圖可知，蜜桃質(zhì)量在區(qū)間的頻率為，同理，蜜桃質(zhì)量在區(qū)間，的頻率依次為，所以平均數(shù)為因為所以第75百分位數(shù)在第4組，設(shè)第75百分位數(shù)為，則，解得，所以該種植戶所種植的蜜桃的質(zhì)量的平均數(shù)為365，第75百分位數(shù)為433.33.（2）若按甲收購商的方案收購：由（1）可知每個蜜桃的平均質(zhì)量為365克，所以這10000個蜜桃大約重3650千克，于是總收益為（元）.若按乙收購商的方案收購：由題意知各區(qū)間的蜜桃個數(shù)