微分幾何簡介》筆記Ch.1矢量代數(shù)及其在解析幾何中的簡單應(yīng)用§1矢量代數(shù)定義：矢量即既有大小，又有方向的量（數(shù)學(xué)量、物理量等）。直角坐標(biāo)系-點(diǎn)的坐標(biāo)與矢的分量在三維空間中，取任意一點(diǎn)O和任意彼此垂直的三個右旋的（即構(gòu)成右手系的）單位矢量e,e,e,構(gòu)成一個直角坐標(biāo)系（或標(biāo)架）。用二［O;e,e,e］表示；o稱為q的123123原點(diǎn)，ei，e2，e3稱為q的基矢（或底矢）。若P為空間任意一點(diǎn)，以O(shè)為始點(diǎn)，P為終點(diǎn)的矢量r二OP稱為p點(diǎn)在標(biāo)架q里的徑矢。P點(diǎn)在q里的坐標(biāo)x，x，x就是r徑矢在q里的分量：123r=xe+xe+xeTOC\o"1-5"\h\z11 22 33若P、Q為空間兩點(diǎn)，它們在◎里的徑矢依次為r=xe+xe+xe，s=ye+ye+ye11 22 33 11 22 33則矢量PQ=OQ—OP二s—r二（y—x）e+（y—x）e+（y—x）e1 1 1 2 2 2 3 3 3其中y—x（i二1,2,3）就是該矢量在Q里的分量。各分量均為0的矢量稱為零矢。ii在同一標(biāo)架里，兩個矢量相等的充要條件是它們的分量依次相等。矢量a=ae+ae+ae的長為11 22 33aI=、：a2+a2+a2■ 1 2 3若|a|=1，a為單位矢量（幺矢）。|a|豐0，貝yai/|a|叫做a在Q里的方向余弦，它們是a和e］間的角［0,兀］之間的余弦。零矢沒有方向余弦。矢量的基本代數(shù)運(yùn)算現(xiàn)有矢量a=ae+ae+ae和卩=be+be+be，貝y11 22 33 11 22 33

1） 矢量和：矢量加法按照平行四邊形（或三角形）法則。a+B=（a+b）e+（a+b）e+（a+b）e1112223332）矢量差：矢量減法同樣按照平行四邊形（或三角形）法則，為加法的逆運(yùn)算a一B—（a一b）e+（a一b）e+（a一b）e1112223333）純量（或數(shù)量）乘矢量：若九為純量，則九a—九ae+九ae+九ae11 22 334）數(shù)積（點(diǎn)乘）：矢量?,P的數(shù)積是純量—abicoso其中0e[0,兀]是a,B之間的角。矢量a，B相互垂直的充要條件是它們的數(shù)積等于零。零矢與任意矢量垂直。矢量a和單位矢量e的數(shù)積等于a在e的方向的垂直投影。5）矢積（叉乘）：矢量a，B的矢積是矢量eiaieiaib1e2a2b2e3a3b3||P|sin0n其中n為a，B不平行時，同時垂直于a，B的幺矢，且a，B，n按此次序構(gòu)成右手系。axB丄a，axp丄p矢量a，B相互平行的充要條件是它們的矢積等于零。零矢與任意矢量平行。運(yùn)算規(guī)律一覽若a，p，y是任意矢量，九，卩是任意純量，則1） 結(jié)合律：九（ya）—（九卩）a(a+B)+y—a+(B+y)(九a)-p—九(a-P)(九a)xp—九(axp)交換律：a+B—B+a

a-p=p-a必須注意：axp=-pxa分配律：(九+卩)a=Xa+ya九(a+p)=Xa+Xpa-(p+y)=a?p+a?yax(p+y)=axp+ax丫混合積、三矢矢積、拉格朗日恒等式1)混合積：已給三個矢量a,p,丫,則axp是矢量，(axp)?y是純量。若a,b,iic依此是a,p,y的分量，則其混合積為i(axp(axp)?y=(a,p,y)=a1b1c1a2b2c2a3b3c3根據(jù)行列式性質(zhì)，有(a,p,y)=(p,y，a)=(y，a,p)=-(a,y，p)=-(p,a,y)=-(y，p，a)混合積(a,p,y)的絕對值表示以a，p，y為棱的平行六面體的體積。三個矢量a，p，y共面的充要調(diào)價是它們的混合積等于零。若三個矢量a，p，y共面，且a，p不平行，則丫是a，p的線性組合:y=Xa+yp三矢矢積：若a，p，y是矢量，則三矢矢積為(axp)xy=(a?y)p-(p?y)a拉格朗日(Lagrange)恒等式：(axp)?(yx6)=(a?y)(p?8)-(a?6)(p?y)特殊地(axp)2二a2p2-(a?p)2可以證明：只有零矢量同時垂直于三個不共面的矢量。對于空間的點(diǎn)、直線和平面的簡單應(yīng)用不妨在標(biāo)架b二[O;e,e,e]中來考察空間的點(diǎn)、直線和平面。123顯然，空間的任意一點(diǎn)P可用其徑矢r二OP來表示。令空間任意一直線經(jīng)過某固定點(diǎn)r，它與一單位矢量v平行，r為直線上任意點(diǎn)，0則該直線可表示為r=r+tv0其中t是純量。以上方程稱為直線的矢方程，其中t是參數(shù)，因而也叫做參數(shù)矢方程。令空間任意一平面經(jīng)過某固定點(diǎn)r，它與一單位矢量n垂直，r為平面上任意點(diǎn)，0則該平面的矢方程為n-(r-r)=00注意：通常平面具有方向性，與n同向的一側(cè)稱為正側(cè)。另外，兩點(diǎn)確定一條直線，三個不共線的點(diǎn)、兩條相交直線、兩條平行直線也可以確定一個平面。過點(diǎn)r「作直線r二r+tv的垂線，其垂足10r，二r+[(r-r)-v]v1010點(diǎn)到直線的距離d=|r-rl1111點(diǎn)r到平面n-(r-r)二0的距離10d=In-(r-r)1I1 01點(diǎn)到平面的垂足r，二r-[(r-r)-n]n1110兩相錯直線r二r+1a與r二r+1a的公垂線單位矢量1101122022axan二一1saxa12它們間的最短距離|(r-r,a,a)axa12

§2坐標(biāo)變換2.1基矢變換在研究齒輪嚙合運(yùn)動時，我們通常取三個標(biāo)架，一個固定在空間，稱為基礎(chǔ)標(biāo)架，另兩個分別和運(yùn)動中的兩個齒輪相固連。因此，有必要考察兩個標(biāo)架或坐標(biāo)之間的相互關(guān)系。設(shè)b二［O;e,e,e］,L二［Oe',e',e'］為任意兩個直角坐標(biāo)系?？疾旎竐,e,e123123123和e和e1,e2,e3之間的關(guān)系,設(shè)在坐標(biāo)系b里標(biāo)架b的基矢e；,e2,e；為e'=工ae(i=1,2,3)i ijjj=；、—eaaae11112131e'=aaae22122232Iee3丿a31a32a33Ie3丿則a，a，a是e'在坐標(biāo)系b里的分量，也是方向余弦，即e'依次和e,e,e之間的角i1i2i3i i123的余弦：e'e=a (i,j=1,2,3)ijij而在在坐標(biāo)系b里，標(biāo)架b的基矢e,e,e為123e=工ae'(i=1,2,3)i jijj=1或、eaaae11121311e=aaae'21222322Ie3丿a13a23a33Ie'丿'37若引進(jìn)方陣的概念和符號，令aaaaaa111213112131A=aaa，AT=aaa212223122232aaaaaa313233132333則A，AT互為轉(zhuǎn)置方陣，且AAT=I，ATA=I其中I表示三階單位方陣。A和At都是正常正交方陣表明：從一個坐標(biāo)系的基矢到另一個坐標(biāo)系的基矢的變換是具有正常正交方陣的線性變換，稱為正常正交變換。若從b到b'的基矢的變換方陣是a，則從b'到b的基矢的變換方陣是aT。設(shè)有三個坐標(biāo)系◎,G'和若從◎到G'的基矢的變換方陣是A，從G'到G"的基矢的變換方陣是B，則從◎到G”的基矢的變換方陣為C二BA2.2矢量的分量變換設(shè)xi，x2,X3是任意矢量r在坐標(biāo)系'里的分量，則在坐標(biāo)系?里的分量為x'aaax1ii1213ifx'=aaax22122232x'aaax33132333X=AX2.3點(diǎn)的坐標(biāo)變換設(shè)任意點(diǎn)P在坐標(biāo)系◎二［O;e,e,e］里的坐標(biāo)是X，在坐標(biāo)系◎'二［Oe',e',e'］1 2 3 1 2 3里的坐標(biāo)是X'，再設(shè)0點(diǎn)在Q'里的坐標(biāo)是X，則0X'二X+AX0§3剛