專升本高等數(shù)學(xué)第五章高等數(shù)學(xué)第五章是關(guān)于多元函數(shù)的極限與連續(xù)的內(nèi)容。本章主要包括函數(shù)的極限、多元函數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)的一些特殊極限等方面的內(nèi)容。下面是本章的相關(guān)參考內(nèi)容。

一、函數(shù)的極限

1.定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某個去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$0<|x-x_0|<\delta$時，有$|f(x)-A|<\varepsilon$，則稱常數(shù)$A$為$f(x)$當(dāng)$x$趨于$x_0$時的極限，記作$\lim_{{x\tox_0}}f(x)=A$。

2.性質(zhì)：

(1)唯一性：若$\lim_{{x\tox_0}}f(x)$存在，則該極限值唯一；

(2)局部有界性：若$\lim_{{x\tox_0}}f(x)=A$，則$f(x)$在$x_0$的某個去心鄰域內(nèi)有界；

(3)趨于常數(shù)的函數(shù)：若$\lim_{{x\tox_0}}f(x)=A$，則常數(shù)函數(shù)$g(x)=A$。

二、多元函數(shù)的極限

1.二元函數(shù)的極限：

(1)定義：設(shè)函數(shù)$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某個去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$0<\sqrt{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}<\delta$時，有$|f(x,y)-A|<\varepsilon$，則稱常數(shù)$A$為$f(x,y)$當(dāng)$(x,y)$趨于$(x_0,y_0)$時的極限，記作$\lim_{{(x,y)\to(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$。

(2)性質(zhì)：

①唯一性：若$\lim_{{(x,y)\to(x_0,y_0)}}f(x,y)$存在，則該極限值唯一；

②局部有界性：若$\lim_{{(x,y)\to(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$，則$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的某個去心鄰域內(nèi)有界；

③趨于常數(shù)的函數(shù)：若$\lim_{{(x,y)\to(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$，則常數(shù)函數(shù)$g(x,y)=A$。

2.多元函數(shù)的極限的判定方法：

(1)二重極限存在的條件；

(2)二重極限計算的方法。

三、多元函數(shù)的連續(xù)性

1.定義：設(shè)函數(shù)$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某個鄰域內(nèi)有定義，則稱函數(shù)$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$連續(xù)，若$\lim_{{(x,y)\to(x_0,y_0)}}f(x,y)=f(x_0,y_0)$。

2.性質(zhì)：

①若函數(shù)$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$連續(xù)，則$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的任意鄰域內(nèi)有界；

②若函數(shù)$f(x,y)$和$g(x,y)$在點$(x_0,y_0)$連續(xù)，則$f(x,y)\pmg(x,y)$和$f(x,y)\cdotg(x,y)$在點$(x_0,y_0)$也連續(xù)；

③若函數(shù)$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$連續(xù)，且$g(x,y)$在點$(x_0,y_0)$連續(xù)且不為零，則$\frac{{f(x,y)}}{{g(x,y)}}$在點$(x_0,y_0)$也連續(xù)。

四、函數(shù)的一些特殊極限

1.無窮小與無窮大：

(1)無窮小定義：設(shè)$\lim_{{x\to0}}f(x)=0$，如果函數(shù)$f(x)$在$0$的某個去心鄰域內(nèi)有定義，則稱$f(x)$是當(dāng)$x$趨于$0$時的一個無窮小。

(2)無窮小性質(zhì)：

①性質(zhì)1：函數(shù)$f(x)$是當(dāng)$x$趨于$0$時的一個無窮小的充要條件是，對于任意正數(shù)$\varepsilon$，存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$0<|x|<\delta$時，有$|f(x)|<\varepsilon$；

②性質(zhì)2：若$\lim_{{x\to0}}f(x)=0$，而函數(shù)$g(x)$滿足$\lim_{{x\to0}}g(x)=A$，則$\lim_{{x\to0}}f(x)\cdotg(x)=0$；

③性質(zhì)3：若$\lim_{{x\to0}}f(x)=0$，而函數(shù)$g(x)$滿足$\lim_{{x\to0}}g(x)=A\neq0$，則$\lim_{{x\to0}}\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=0$。

2.無窮大定義：設(shè)$\lim_{{x\tox_0}}f(x)=\infty$，如果函數(shù)$f(x)$在$x_0$的某