1.2集合間的基本關系【知識梳理】知識點一子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等定義符號表示圖形表示子集如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集A?B(或B?A)真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集A?B(或B?A)集合相等如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等A＝B2.Venn圖用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖．3．子集的性質(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A.(2)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.知識點二空集1．定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.2．規(guī)定：空集是任何集合的子集．【基礎自測】1．下列四個集合中，是空集的是()A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}【答案】B【詳解】選項A，C，D都含有元素，而選項B中無元素，故選B.2．下列各式中，正確的個數是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④??{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4【答案】C【詳解】對于①，是集合與集合的關系，應為{0}{0,1,2}；對于②，實際為同一集合，任何一個集合是它本身的子集；對于③，空集是任何集合的子集；對于④，{0}是含有單元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以??{0}；對于⑤，{0,1}是含有兩個元素0與1的集合，而{(0,1)}是以有序實數對(0,1)為元素的單點集，所以{0,1}與{(0,1)}不相等；對于⑥，0與{0}是“屬于與否”的關系，所以0∈{0}．故②③④是正確的．3．若集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，滿足A?B，則實數a的取值范圍是()A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}【答案】B【詳解】如圖所示，A?B，所以a≤1.4．滿足?{1，2，3}的所有集合A是___________．【答案】{1}或{1，2}或{1，3}【詳解】因為?{1，2，3}，所以集合A中至少有一個元素1，且為集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，故答案為：{1}或{1，2}或{1，3}5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且僅有2個子集，則a的取值構成的集合為________．【答案】{0,1，－1}【詳解】因為集合A有且僅有2個子集，所以A中僅有一個元素，當a＝0時，方程化為2x＝0，方程只有一個根x＝0，符合題意．當a≠0時，方程ax2＋2x＋a＝0有兩個相等的實數根，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.此時A＝{－1}或A＝{1}，符合題意．∴a＝0或a＝±1.【例題詳解】一、子集、真子集命題點1.判斷集合的子集（真子集）的個數例1(1)集合的非空真子集的個數為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據真子集的定義即可求解.【詳解】由題意可知，集合A的非空真子集為，共6個.故選：B.(2)已知集合，則滿足條件的集合的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】求解一元二次方程，得，易知.因為，所以根據子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個數，即有個，故選D.【點評】本題考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本題在求集合個數時，也可采用列舉法.列出集合的所有可能情況，再數個數即可.來年要注意集合的交集運算，考查頻度極高.跟蹤訓練1(1)定義集合A★B=，設，則集合A★B的非空真子集的個數為（

）A．12 B．14 C．15 D．16【答案】B【分析】結合非空真子集個數()的算法即可.【詳解】，所以集合的非空真子集的個數為，故選：B.(2)若，則，就稱是伙伴關系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合個數為_________________.【答案】【分析】首先確定具有伙伴集合的元素有，，“和”，“和”四種可能，它們組成的非空子集的個數為即為所求.【詳解】因為，；，；，；，；這樣所求集合即由，，“和”，“和”這“四大”元素所組成的集合的非空子集．所以滿足條件的集合的個數為，故答案為：.命題點2.求集合的子集（真子集）例2已知集合，試寫出的所有子集.【答案】的子集有，，，，，，，【分析】由確定出，然后利用列舉法寫出其子集．【詳解】∵，∴.∴的子集有，，，，，，，.【點睛】本題考查了子集與真子集．子集要謹防丟失空集等錯誤，屬于基礎題．跟蹤訓練2寫出集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的所有真子集．【答案】，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}【分析】先求得，然后求得的所有真子集.【詳解】依題意A＝{0，1，2}，其真子集為：，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．二、包含關系命題點1.判斷兩個集合的包含關系例3(1)給出下列關系式：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①空集中不含任何元素，由此可判斷①；②是整數，故可判斷②正確；③通過解方程，可得出，故可判斷③；④根據為正整數集可判斷④；⑤通過解方程，得，從而可判斷⑤.【詳解】①，故①錯誤；②是整數，所以，故②正確；③由，得或，所以，所以正確；④為正整數集，所以錯誤；⑤由，得，所以，所以錯誤.所以正確的個數有2個.故選：B.(2)已知集合，則（

）A． B． C． D．A與B關系不確定【答案】A【分析】將集合中的形式通分，再分析集合的包含情況即可.【詳解】，因為表示奇數，表示整數，故按子集的定義，必有.故選：A跟蹤訓練3(1)已知集合是平行四邊形，是矩形，是正方形，是菱形，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為菱形是平行四邊形的特殊情形，所以D?A，矩形與正方形是平行四邊形的特殊情形，所以B?A，C?A，正方形是矩形，所以C?B．故選B．(2)已知集合則的關系為（

）A． B．N?M C．M?N D．【答案】C【詳解】因為，，所以M?N.故選：C．命題點2.根據集合的包含關系求參數例4(1)已知集合，，若，則（

）A．或 B． C． D．或或【答案】D【分析】利用子集的定義討論即可.【詳解】因為，集合，，若，則，符合；若，則或，經檢驗均符合.故選：D.(2)已知集合．=1\*GB3①若，，求實數的取值范圍；=2\*GB3②若，，求實數的取值范圍．【答案】=1\*GB3①；；=2\*GB3②.【分析】=1\*GB3①根據題意，由，分類討論當和兩種情況，解不等式即可得出實數的取值范圍；=2\*GB3②根據題意，由，得出，解不等式即可求實數的取值范圍．【詳解】=1\*GB3①解：由題可知，，，若，則，即；若，則，解得：；綜上，得實數的取值范圍是．=2\*GB3②解：已知，，，則，解得：，所以實數的取值范圍是．跟蹤訓練4(1)已知集合，，若，則實數a＝（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【分析】對于集合，元素對應的是一元二次方程的解，根據判別式得出必有兩個不相等的實數根，又根據韋達定理以及，可確定出其中的元素，進而求解.【詳解】對于集合N，因為，所以N中有兩個元素，且乘積為-2，又因為，所以，所以．即a＝1．故選：B.(2)設a，b是實數，集合，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解絕對值不等式得到集合，再利用集合的包含關系得到不等式，解不等式即可得解.【詳解】集合，或又，所以或即或，即所以的取值范圍為故選：D三、相等關系例5(1)設所示有理數集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；與相同的集合有（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】根據集合相等的含義，逐一分析①②③④，即可得答案【詳解】對于①：集合，則，解得，即，是一一對于，所以與集合相同.對于②：集合，則，也是一一對應，所以與集合相同.對于③：集合，，一一對應，，所以與集合相同.對于④：，但方程無解，則，與不相同．故選：D(2)已知，，若，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】由兩集合相等，其元素完全一樣，則可求出或或，再利用集合中元素的互異性可知，則可求出答案.【詳解】若，則或，解得或或，由集合中元素的互異性，得，則，故選：C．跟蹤訓練5(1)已知，若集合，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據兩集合相等，對應元素相等，然后列出方程求出即可得到結果.【詳解】因為所以有，解得或當時，不滿足集合中元素的互異性，故則故選:B.(2)已知集合====，則集合的關系為__________．【答案】【詳解】，為偶數，為奇數，為奇數，，故答案為.四、空集例6(1)下列四個命題：①空集沒有子集；②空集是任何一個集合的真子集；③?＝{0}；④任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集．其中正確命題的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據空集的定義和性質判斷即可.【詳解】因為空集是其本身的子集，故①錯誤；空集只有本身一個子集，故②④錯誤；空集沒有元素，而集合{0}含有一個元素0，故③錯誤．故正確命題個數為0.答案：A.(2)設集合，若A為空集，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分兩種情況分類討論，時符合題意，時只需滿足即可求解.【詳解】當時，原不等式為，A為空集；當時，因為A為空集所以無解，只需滿足，解得，綜上實數的取值范圍是.故選D【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的解為空集，分類討論的思想，屬于中檔題.跟蹤訓練6(1)(多選)給出下列選項，其中正確的是（

）A． B． C． D．?【答案】BCD【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合與集合之間的關系逐項判斷【詳解】對于，不是的元素，故不正確；對于，是任何集合的子集，所以是的子集，故正確；對于，是的元素，故正確；對于，是任何非空集合的真子集，有一個元素，是非空集合，故正確.故答案為：.(2)若是的真子集，則實數的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據題意以及真子集定義分析得出有實數解即可得出答案.【詳解】若是的真子集，則不是空集，即有實數解，故，即實數的取值范圍是.故答案為:【課堂鞏固】1．集合的真子集個數是__________.【答案】【分析】先化簡集合，再利用公式即可求得集合的真子集個數【詳解】則集合的真子集的個數是.故答案為：2．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據相等集合的概念，元素與集合、集合與集合之間的關系，空集的性質判斷各項的正誤.【詳解】①集合之間只有包含、被包含關系，故錯誤；②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患?，則，正確；③空集是任意集合的子集，故，正確；④空集沒有任何元素，故，錯誤；⑤兩個集合所研究的對象不同，故為不同集合，錯誤；⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關系，故錯誤；∴②③正確.故選：B.3．若集合，，則集合，之間的關系表示最準確的為（

）A． B． C． D．與互不包含【答案】C【分析】對分奇偶進行討論，即可判斷集合，之間的關系.【詳解】對于集合，當時，，當時，，所以.故選：C.4．下列各組集合中，表示同一個集合的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據集合相等的概念，判斷選項即可求出答案.【詳解】對于A,兩個集合中的元素分別是數對，不相同，故錯誤；對于B，M中一個元素為數對，N中兩個元素實數3和2，不相同，故錯誤；對于C，M=R,N=R,故相同，正確；對于D，分別表示滿足方程的數對和，顯然不完全相同，故錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查了集合的元素，集合相等的概念，屬于中檔題.5．集合或，，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分與兩種情況討論，分別求出參數的取值范圍，最后取并集即可；【詳解】解：∵，∴①當時，即無解，此時，滿足題意.②當時，即有解，當時，可得，要使，則需要，解得.當時，可得，要使，則需要，解得，綜上，實數的取值范圍是.故選：B.6．（多選）下列關系式錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由元素和集合之間的關系以及集合和集合之間的關系判斷4個選項即可.【詳解】A選項由于符號用于元素與集合間，是任何集合的子集，所以應為，A錯誤；B選項根據子集的定義可知正確；C選項由于符號用于集合與集合間，C錯誤；D選項是整數集，所以正確.故選：AC.7．（多選）已知集合，若集合A有且僅有2個子集，則a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】BCD【分析】根據條件可知集合中僅有一個元素，由此分析方程為一元一次方程、一元二次方程的情況，從而求解出的值.【詳解】因為集合僅有個子集，所以集合中僅有一個元素，當時，，所以，所以，滿足要求；當時，因為集合中僅有一個元素，所以，所以，此時或，滿足要求，故選：BCD.8．某個含有三個實數的集合既可表示為，也可表示為{a，a＋b，1}，則a2015＋b2015的值為____．【答案】0【分析】根據所給的一個集合的兩種表達形式，看出第一種表達形式中，只有a＋b一定不等式0，重新寫出集合的兩種形式，把兩種形式進行比較，得出a，b的值，得到結果.【詳解】解：∵集合既可以表示成{b，，0}，又可表示成{a，a＋b，1}∴a＋b一定等于0在后一種表示的集合中有一個元素是1只能是b.∴b＝1，a＝－1∴a2015＋b2015＝0.【點睛】本題考查集合的元素的三個特性和集合相等.易錯點在于忽略集合中元素的互異性.9．若集合，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】根據集合，分和兩種情況討論，結合一元二次方程的性質，即可求解.【詳解】由題意，集合，若時，集合，滿足題意；若時，要使得集合，則滿足，解得，綜上可得，實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正確理解集合的表示方法，結合一元二次方程的性質求解是解答的關鍵，屬于基礎題.10．已知集合，在下列條件下分別求實數m的取值范圍：(1)；(2)恰有一個元素.【答案】(1)；(2)【分析】若，則關于x的方程沒有實數解，則，且，由此能求出實數m的取值范圍．若A恰有一個元素，所以關于x的方程恰有一個實數解，分類討論能求出實數m的取值范圍．【詳解】（1）若，則關于x的方程沒有實數解，則，且，所以，實數m的取值范圍是；（2）若A恰有一個元素，所以關于x的方程恰有一個實數解，討論：當時，，滿足題意；當時，，所以．綜上所述，m的取值范圍為．11．設集合，．(1)當時，求A的非空真子集個數；(2)當時，求m的取值范圍．【答案】(1)62；(2)【分析】（1）由條件確定集合A中元素，即可求解；（2）由，分類討論，建立不等式求解即可.【詳解】（1）∵，∴，∴A的非空真子集的個數為．（2）分兩種情況討論：①當時，，則；②當時，解得．綜上可得，m的取值范圍為．12．已知集合，集合.(1)求；(2)若，求實數的取值集合.【答案】(1)；(2)【分析】（1）解中的一元二次方程即可；（2）分和，即分和討論即可.【詳解】（1），解得或，故.（2）①當時，符合；②當即時，則，由可得或，解得或綜上的取值集合為.【課時作業(yè)】1．同時滿足：①，②，則的非空集合M有（

）A．6個B．7個C．15個D．16個【答案】B【分析】根據所給條件確定M中元素，再根據M是所給集合的子集，得到所有的M即可求解.【詳解】時，；時，；時，；時，；，，∴非空集合M為，，，，，，，共7個．故選：B2．已知集合，，，若，，則（

）A． B． C． D．以上都不對【答案】B【分析】利用奇數偶數集的性質即可求解.【詳解】由題知，是非負偶數集，是非負奇數集，是由4的倍數加1構成的非負集合；又，，是奇數；故，，與的關系不確定.故選：B.3．已知集合和集合，若，則中的運算“⊕”是（

）A．加法 B．除法 C．乘法 D．減法【答案】C【分析】用特殊值，根據四則運算檢驗．【詳解】若，則，，，因此排除ABD．故選：C．4．若集合，，，則，，之間的關系是（

）A． B．A?B=C C．A?B?C D．【答案】B【分析】分別將集合中的元素表示為，和即可得結果.【詳解】∵，，顯然A?B=C，故選：B.【點睛】本題主要考查集合間的包含關系的判斷，考查集合的包含關系等基礎知識，屬于基礎題.5．已知六個關系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關系表達正確的個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據空集的性質、元素與集合、集合與集合的關系判斷各關系式的正誤.【詳解】根據元素與集合、集合與集合關系：是的一個元素，故，①正確；是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；沒有元素，故，④正確；且、，⑤錯誤，⑥正確；所以①②③④⑥正確.故選：C6．下列集合中，結果是空集的是(

)A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【答案】D【分析】分析是否有元素在各選項的集合中，再作出判斷.【詳解】A選項：，不是空集；B選項：{x|x>6或x<1}，不是空集；C選項：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D選項：不存在既大于6又小于1的數，即：{x|x>6且x<1}=.故選：D7．（多選）下列說法中不正確的是（

）A．集合為無限集B．方程的解構成的集合的所有子集共4個C．D．【答案】ACD【分析】根據題設條件利用無限集的定義、集合元素的性質、子集的意義、集合相等的定義逐一判斷即可得解.【詳解】集合，不是無限集，故A中說法不正確；方程的解構成的集合為，其所有子集為，，，，共4個，故B中說法正確；集合的元素為直線上的點，，故，故C中說法不正確；因為，，所以，故D中說法不正確．故選：ACD．8．（多選）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若B?A時，則或【答案】ABC【分析】求出集合，根據集合包含關系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷．【詳解】，若，則，且，故A正確.時，，故D不正確.若，則且，解得，故B正確.當時，，解得或，故C正確.故選：ABC．9．(多選)給出下列四個集合，其中為空集的是（）A．{} B．{x∈R|x2+x+1＝0}C．{（x，y）|，x，y∈R} D．{x∈R||x|＜0}【答案】BCD【分析】利用空集的定義、一元二次方程、方程組、不等式的性質直接求解．【詳解】解：對于A，表示集合中的元素為空集，故A不是空集；對于B，集合中的元素為方程x2+x+1＝0的實根，∵Δ＝12﹣4＝﹣1＜0，∴方程x2+x+1＝0無實根，故B為空集；對于C，方程無實數解，故C為空集；對于D，不等式|x|＜0的解集是空集，故D為空集．故選：BCD．10．（多選）下列說法正確的是（

）A．由所有實數組成集合，由立德中學某班會運動的所有學生組成的集合.均不存在.B．，由5個2組成的集合.則C．，FE，則可能有4個.D．，用列舉法表示集合E為.【答案】BC【分析】根據集合之間的關系，以及集合的表示方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：由所有實數組成的集合是空集，由立德中學某班會運動的所有學生組成的集合是，都存在，故錯誤；對：，由5個2組成的集合，根據集合中元素的互異性，故，故正確；對：，因為FE，故為含有且是的子集，共有4個，故正確；對：，故錯誤.故選：.11．滿足的集合的個數為______________．【答案】7【分析】又題意可知集合中至少有2個元素，最多有4個元素.分別寫出來即可.【詳解】∵∴集合中至少有2個元素，最多有4個元素.當集合中有2個元素時，集合可為：;當集合中有3個元素時，集合可為：,,;當集合中有4個元素時，集合可為：,,;故答案為：7.12．設非空集合，當中所有元素和為偶數時（集合為單元素時和為元素本身），稱是的偶子集，若集合，則其偶子集的個數為___________.【答案】【分析】對集合中奇數和偶數的個數進行分類討論，確定每種情況下集合的個數，綜合可得結果.【詳解】集合中只有個奇數時，則集合的可能情況為：、、、、、，共種，若集合中只有個奇數時，則集合，只有一種情況，若集合中只含個偶數，共種情況；若集合中只含個偶數，則集合可能的情況為、、，共種情況；若集合中只含個偶數，則集合，只有種情況.因為是的偶子集，分以下幾種情況討論：若集合中的元素全為偶數，則滿足條件的集合的個數為；若集合中的元素全為奇數，則奇數的個數為偶數，共種；若集合中的元素是個奇數個偶數，共種；若集合中的元素為個奇數個偶數，共種；若集合中的元素為個奇數個偶數，共種；若集合中的元素為個奇數個偶數，共種；若集合中的元素為個奇數個偶數，共種；若集合中的元素為個奇數個偶數，共種.綜上所述，滿足條件的集合的個數為.故答案為：.13．集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的個數為_____【答案】14【分析】化簡集合{x|1＜x＜6，x∈N*}={2,3,4,5},根據集合的