軸對稱之將軍飲馬基礎(chǔ)篇1．如圖，，M，N分別是邊上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，記，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解決問題．【詳解】如圖，作M關(guān)于的對稱點(diǎn)，N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則此時(shí)的值最?。字?，．∵，，∴．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．2．如圖，△ABC是等腰三角形，底邊BC的長為4，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長的最小值是（

）A．11 B．13 C．9 D．8【答案】A【解析】【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴，解得AD=9，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴CM=AM，∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，∵AM+DM≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=9+×4=9+2=11．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的大小=__________（度）．【答案】50【解析】【分析】作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)，連接，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，連接MP，QN，可知此時(shí)最小，此時(shí)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義即可得出結(jié)論．【詳解】作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)，連接，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，連接MP，QN，如圖所示．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知此時(shí)最小，即，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．4．如圖，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”可找到周長的最小的位置，作出圖示，充分利用對稱性以及，對線段長度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)P分別作P點(diǎn)關(guān)于OB、OA邊的對稱點(diǎn)、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點(diǎn)N、M，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，此時(shí)點(diǎn)M、N的位置是使得周長的最小的位置．由對稱性可知：，，為等邊三角形的周長===3故答案為：3【點(diǎn)睛】本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利用其原理“兩點(diǎn)之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的度數(shù)為______．【答案】30°##30度【解析】【分析】連接BP，由等邊三角形的性質(zhì)可知AD為BC的垂直平分線，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周長最小，即P點(diǎn)為BE與AD的交點(diǎn)時(shí)．最后根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，即得出CP平分，從而可求出．【詳解】如圖連接BP．∵為等邊三角形，∴AD為BC的垂直平分線，∴BP=CP，∵△PCE的周長=PE+CP+CE=PE+BP+CE，∴當(dāng)PE+BP最小時(shí)，△PCE的周長最小，∵PE+BP最小時(shí)為BE的長，即此時(shí)BE與AD的交點(diǎn)為P，如圖．又∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，AD為高，為等邊三角形，∴P點(diǎn)即為等邊角平分線的交點(diǎn)，∴CP平分，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．理解要使△PCE的周長最小，即P點(diǎn)為BE與AD的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【解析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對稱點(diǎn)A1、A2，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對稱點(diǎn)A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，連接AM、AN，則此時(shí)△AMN的周長最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對稱點(diǎn)為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短問題是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖，在銳角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BMMN有最小值時(shí)，_____________°．【答案】50【解析】【分析】在AC上截取AE=AN，可證△AME≌△AMN，當(dāng)BMMN有最小值時(shí)，則BE是點(diǎn)B到直線AC的距離即BE⊥AC，代入度數(shù)即可求∠ABM的值；【詳解】如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE，∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，∴∠EAM=∠NAM，∵AM=AM，∴△AME≌△AMN，∴ME=MN，∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE⊥AC，∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱－最短路線問題，通過最短路線求出角度；解答此類問題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最短路線，代入即可求出度數(shù)．8．如圖，直線，交于點(diǎn)O，點(diǎn)P關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別為，．若，，則的周長是______．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)可知，OP1=OP=OP2=3，再根據(jù)P1P2=7即可求出△P1OP2的周長．【詳解】∵P關(guān)于l1、l2的對稱點(diǎn)分別為P1、P2，∴OP1=OP=OP2=4，∵P1P2=7，∴△P1OP2的周長=OP1+OP2+P1P2=4+4+7=15．故答案為15【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．9．如圖，等腰三角形的面積是18，底邊長為4，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．若D為的中點(diǎn)，G為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為___________．【答案】11【解析】【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，△ABC是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，∴S△ABC=，解得，EF是線段的垂直平分線，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，，，AM+DM≥AD，的長為的最小值，的周長最短．故答案為11．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題10．問題：如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹?，向l同側(cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓嚧_定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短．（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A'，線段A'B與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，所得路線ACB是最短的．為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點(diǎn)C'，連接AC'、BC'，證明AC＋CB＜AC'＋C'B．請完成這個(gè)證明．（2）如圖③，點(diǎn)P為∠MON內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，在OM上有一點(diǎn)A，ON上有一點(diǎn)B．請你作出點(diǎn)A和點(diǎn)B的位置，使得△PAB的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）在上述條件下，若∠MON＝40°，則∠APB＝°．【答案】（1）證明見解析；（2）作圖見解析，100【解析】【分析】（1）如圖②，連接，由軸對稱的性質(zhì)可得再證明：再利用三角形的三邊關(guān)系可得結(jié)論；（2）分別作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)連接交于交于則的周長最短，再由軸對稱的性質(zhì)可得：證明再求解從而可得答案．【詳解】證明：（1）如圖②，連接，∵點(diǎn)A，點(diǎn)關(guān)于l對稱，點(diǎn)C在l上，∴，∴，同理可得：，∵＜，∴AC＋BC＜；（2）如圖所示，點(diǎn)A、B即為所求，由軸對稱的性質(zhì)可得：故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱的作圖，利用軸對稱的性質(zhì)求解線段和或周長的最小值，同時(shí)考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．(1)畫出關(guān)于軸對稱的；(2)在軸上找一點(diǎn)，使的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡），并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析；(2)見解析，的坐標(biāo)為．【解析】【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)結(jié)合坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1、B1、C1，即可作出；（2）作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B2，連接B2C，交x軸于P，點(diǎn)P即為所求做的點(diǎn)．(1)解：解：（1）如圖所示，即為關(guān)于軸對稱的三角形．(2)解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求做的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中的軸對稱圖形，將軍飲馬問題，熟知軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，注意坐標(biāo)系中兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，則橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．12．如圖，在銳角∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，試在∠AOB的兩邊上各取一點(diǎn)M，N，使得△PMN的周長最小．（保留作圖痕跡）【答案】見詳解【解析】【分析】作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，N，△PMN即為所求求作三角形．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，PN，△PMN即為所求作三角形．理由：由軸對稱的性質(zhì)得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)△PP1P2的周長最短．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃虇栴}、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得出答案．【詳解】證明：（1）在中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，是等邊三角形；（2）如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，故的最小值為4．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．(1)在圖中作出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)在y軸上求作一點(diǎn)P，使得最短（保留作圖痕跡，不需寫出作圖過程）．(3)求的面積．【答案】(1)畫圖見解析；(2)畫圖見解析(3)6【解析】【分析】（1）利用網(wǎng)格，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1、B1，C1，再連接A1B1，A1C1，B1C1即可；（2）連接A1C交y軸于點(diǎn)P，即可；（3）利用網(wǎng)格，用矩形面積減去三個(gè)直角三角形面積求解即可．(1)解：如圖所示，就是所要求畫的．．(2)解：如圖所