二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解

8/14/20231二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解

8/1/20231一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式8/14/20232一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根8/14/20233二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為8/14/20234有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為特反之：8/14/20235反之：8/1/20235有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為8/14/20236有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為8/1反之：8/14/20237反之：8/1/20237有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為8/14/20238有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為8/1/定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例18/14/20239定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特例1

求方程y

-2y

-3y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為r2

-2r–3=0,它有兩個(gè)不等的實(shí)根r1=-1，r2=3,

其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解為y1=e-

x與y2=e3x,所以方程的通解為8/14/202310例1求方程y-2y-3y=0的通解.

例2

求方程y

-4y

+4y=0

的滿足初始條件y(0)=1，y(0)=4的特解.

解

該方程的特征方程為r2

-4r

+4=0，求得將y(0)=1，y

(0)=4代入上兩式，得C1=1，C2=2，y=

(1+2x)e2x.其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解為y1=e2x與y2=xe2x，所以通解為因此，所求特解為它有重根r=2.8/14/202311例2求方程y-4y+4y=0的滿解特征方程為解得故所求通解為例28/14/202312解特征方程為解得故所求通解為例28/1/202312例

3

求方程2y

+2y

+3y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為2r2

+2r

+3=0，它有共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解為所以方程的通解為8/14/202313例3求方程2y+2y+3y=0的通解例4

求方程y

+4y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為r2

+4=0，它有共軛復(fù)根r1,2=2i.即a=0，b=2.對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解為8/14/202314例4求方程y+4y=0的通解.解該方8/14/2023158/1/202315三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)8/14/202316三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).8/14/202317注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解特征根為故所求通解為解特征方程為例48/14/202318特征根為故所求通解為解特征方程為例48/1/202318二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)8/14/202319二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征8/1