差分方程課件第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)差分方程基本知識1、差分方程：差分方程反映的是關于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關系，從而建立差分方程。差分方程就是針對要解決的目標，引入系統或過程中的離散變量，根據實際背景的規(guī)律、性質、平衡關系，建立離散變量所滿足的平衡關系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特別性質（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規(guī)律，進一步再結合其他分析，得到原問題的解。第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月引例1：Fibonacci（斐波那契）數列問題13世紀意大利著名數學家Fibonacci在他的著作《算盤書》中記載著這樣一個有趣的問題：一對剛出生的幼兔經過一個月可長成成兔，成兔再經過一個月后可以繁殖出一對幼兔.若不計兔子的死亡數，問一年之后共有多少對兔子？月份01234567…幼兔10112358…成兔011235813…總數1123581321…第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月將兔群總數記為fn,n=0,1,2,…，經過觀察可以發(fā)現，數列{fn}滿足下列遞推關系：f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,…這個數列稱為Fibonacci數列.Fibonacci數列是一個十分有趣的數列，在自然科學和數學領域中都有著廣泛的應用.Fibonacci數列的一些實例.1.蜜蜂的家譜2.鋼琴音階的排列3.樹的分枝4.楊輝三角形第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月引例2：日常的經濟問題中的差分方程模型1）.銀行存款與利率假如你在銀行開設了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%.用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數列就是你每年的存款額：a0,a1,a2,a3,…,an,…設r為年利率，由于an+1=an+ran,因此存款問題的數學模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2）.家庭教育基金從1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度.為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金.若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達式.預計當子女18歲入大學時所需的費用為100000元，按年利率3%計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元?設n年后教育基金總額為an，每年向銀行存入x元，依據復利率計算公式，得到家庭教育基金的數學模型為：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3）.抵押貸款小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元.他們已經籌集10萬元，另外20萬元申請抵押貸款.若貸款月利率為0.6%，還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？設貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個月后的欠款額為an，則a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二.差分的概念與性質一般地，在連續(xù)變化的時間的范圍內，變量關于時間的變化率是用來刻畫的；對離散型的變量我們常用在規(guī)定時間區(qū)間上的差商來刻畫變量的變化率.如果取，則可以近似表示變量的變化率.由此我們給出差分的定義.第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1設函數，稱改變量為函數的差分，也稱為函數的一階差分，記為，即或一階差分的差分稱為二階差分，即類似地可定義三階差分，四階差分，等等.第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地，函數的階差分的差分稱為階差分，記為，即二階及二階以上的差分統稱為高階差分.第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例1設，求，，解第12頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例2設求解設，則.第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月差分滿足以下性質：（2）（3）（4）（1）第14頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3求解由差分的運算性質，有.的差分.第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1差分方程的概念定義2含有未知函數的差分的方程稱為差分方程.或差分方程中所含未知函數差分的最高階數稱為該差分方程的階差分方程的一般形式：第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3滿足差分方程的函數稱為該差分方程的解.例如，對于差分方程，將代入方程有故是該方程的解，易見對任意的常數都是差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互獨立的任意常數的個數恰好等于方程的階數，則稱這個解是差分方程的通解.第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月定義4若差分方程中所含未知函數及未知函數的各階差分均為一次，則稱該差分方程為線性差分方程.其一般形式為

其特點是都是一次的.第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月三.一階常系數線性差分方程一階常系數差分方程的一般方程形式為其中為非零常數，為已知函數.如果則方程變?yōu)榉Q為一階常系數線性齊次差分方程，相應地，時方程一階常系數線性非齊次差分方程.第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1．一階常系數線性齊次差分方程的通解已知，將代入方程中，得則為方程的解.容易驗證，對任意常數都是方程的解，故方程的通解為一階常系數線性齊次差分方程的通解可用迭代法求得.設第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例4求差分方程的通解.解利用公式得，題設方程的通解為第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2．一階常系數線性非齊次差分方程的通解為齊次方程的通解，為非齊次方程的一個為非齊次方程的通解.，及將這兩式相加得，即為非齊次方程的通解.定理設特解，則證明由題設，有第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）為非零常數，由，可按如下迭代法求得特解給定第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次方程的通解為于是方程通解為

時，當其中，為任意常數，且當時，為任意常數第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例5求差分方程的通解.，故原方程的通解為解由于第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）（為非零常數且）.時，設為非齊次方程的特解，其中為待定系數.將其代入方程,得解得，于是，所求特解為所以時，方程的通解為當第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月當時，設為方程的特解，代入方程得所以，當時，方程的通解為

第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例7求差分方程在初始條件時的特解.利用公式，所求通解為將初始條件代入上式，得故所求題設方程的特解為解這里第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月則被稱為n階齊次線性差分方程。若所有的ai(t)均為與t無關的常數，則稱其為常系數差分方程，即n階常系數線性差分方程可分成（7.1）

的形式，其對應的齊次方程為（7.2）

容易證明，若序列與均為方程（7.2）的解，則也是方程（7.2）的解，其中c1、c2為任意常數，這說明，齊次方程的解構成一個線性空間（解空間）。

此規(guī)律對于（7.1）也成立。第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月方程（7.1）可用如下的代數方法求其通解：（步一）先求解對應的特征方程

（7.3）

（步二）根據特征根的不同情況，求齊次方程(7.2）的通解

情況1若特征方程（7.3）有n個互不相同的實根,…,，則齊次方程（7.2）的通解為(C1,…,Cn為任意常數)，情況2若λ

是特征方程（7.3）的k重根，通解中對應于λ的項為為任意常數，i=1,…,k。情況3若特征方程（7.3）有單重復根通解中對應它們的項為為λ的模，為λ的幅角。

第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月情況4若為特征方程（7.3）的k重復根，則通解對應于它們的項為為任意常數，i=1,…,2k。

.若yt為方程(7.2)的通解,則非齊次方程(7.1)的通解為（步三）求非齊次方程(7.1)的一個特解

求非齊次方程（7.1）的特解一般要用到常數變易法，計算較繁。對特殊形式的b(t)也可使用待定系數法。第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月6.6

按年齡分組的人口模型

不同年齡組的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律.假設與建模

種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2,…,n

時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,…

以雌性個體數量為對象.

第i年齡組1雌性個體在1時段內的繁殖率為bi

第i年齡組在1時段內的死亡率為di,存活率為si=1-di第34頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月假設與建模xi(k)~時段k第i年齡組的種群數量~按年齡組的分布向量預測任意時段種群按年齡組的分布~Leslie矩陣(L矩陣)(設至少1個bi>0)第35頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定狀態(tài)分析的數學知識

L矩陣存在正單特征根1，

若L矩陣存在bi,bi+1>0,則P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)決定的常數