2021年全國高考理科數(shù)學試題（全國乙卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。（共12題；共60分）

1.(5分)設(shè)2（z+

A.1-2i

）+3(z-

)=4+6i，則z=（）.

B.1+2i

C.1+i

D.1-i

2.(5分)已知集合S=｛s|s=2n+1，nZ｝，T=｛t|t=4n+1，nZ｝，則ST=（）

A.

B.S

C.T

D.Z

3.(5分)已知命題p：

A.p

xR，sinx＜1；命題q：

B.

p

q

xR，e|x|1，則下列命題中為真命題的是（）

q

C.p

q

D.

(pVq)

4.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=

，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A.f(x-1)-1

B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1

D.f(x+1)+1

5.(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為（）

A.

B.

C.

D.

6.(5分)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志

愿者只分到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種

B.120種

C.240種

D.480種

7.(5分)把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的

倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移

個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x-

)的圖像，則f(x)=（）

A.sin(

)

B.sin(

)

C.sin(

)

D.sin(

)

8.(5分)在區(qū)間（0，1）與（1，2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于

的概率為（）

A.

B.

C.

D.

9.(5分)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海盜的高。如圖，

點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為"表高"，EG稱

為"表距"，GC和EH都稱為"表目距"，GC與EH的差稱為"表目距的差"。則海島的高AB=（）.

A.

B.

C.

D.

10.(5分)設(shè)a0，若x=a為函數(shù)

的極大值點，則（）

C.ab＜a2

D.ab＞a2

A.a＜b

11.(5分)設(shè)B是橢圓C：

B.a＞b

（a＞b＞0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足

，

則C的離心率的取值范圍是（）

A.

B.

C.

D.

12.(5分)設(shè)

A.a＜b＜c

，

，

，則（）

B.b＜c＜a

C.b＜a＜c

D.c＜a＜b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。（共4題；共20分）

13.(5分)已知雙曲線C：

（m>0）的一條漸近線為

+my=0，則C的焦距為________.

14.(5分)已知向量

=（1，3），b=（3，4），若（

-

）⊥

，則=________。

，B=60°，a2+c2=3ac，則b=________.

15.(5分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為

16.(5分)以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三

視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為________（寫出符合要求的一組答案即可）.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（共5題；共60分）

17.(12分)某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺

舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為

（1）求

，

，s12，s22；

和

，樣本方差分別記為s12和s22

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果

-

，則認為

新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.

18.(12分)如圖，

四棱錐P-ABCD的底面是矩形，⊥底面ABCD，PD=DC=1，為BC的中點，PB⊥AM，

PD

M

且

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

19.(12分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項和，已知

=2.

（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（2）求{an}的通項公式.

20.(12分)設(shè)函數(shù)f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點。

（1）求a；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=

，證明：g（x）＜1.

21.(12分)己知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的zui小

值為4.

（1）求p；

（2）若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求

PAB的zui大值.

四、［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］（共1題；共10分）

22.(10分)在直角坐標系xOy中，

（1）寫出

C的圓心為C（2，1），半徑為1.

C的一個參數(shù)方程；

C的兩條切線，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩

（2）過點F（4，1）作

條直線的極坐標方程.

五、[選修4一5：不等式選講]（共1題；共10分）

23.(10分)已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+3|.

（1）當a=1時，求不等式f（x）6的解集；

（2）若f（x）-a，求a的取值范圍.

答案解析部分

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試題上無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.【答案】C

【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算

【解析】

【解答】設(shè)

所以a=b=1，所以z＝1+i。

故答案為：C

【分析】先設(shè)z的代數(shù)式，代入運算后由復數(shù)相等的條件，即可求得結(jié)果。

2.【答案】C

【考點】交集及其運算

【解析】【解答】當n=2k

當n=2k+1

所以

S,所以

時，S={s|s=4k+1,

}

},

時,S={s|s=4k+3,

,

故答案為：C.

【分析】分n的奇偶討論集合S。

3.【答案】A

【考點】全稱量詞命題，存在量詞命題，命題的否定，命題的真假判斷與應用

【解析】【解答】因為命題P是真命題，命題q也是真命題，

故答案為：A

【分析】先判斷命題p，q的真假，然后判斷選項的真假。

4.【答案】B

【考點】函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】

【解答】因為f(x)=

，所以函數(shù)的對稱中心是(-1,-1)，所以函數(shù)f(x)向右平移1個

單位，再向上平移1個單位后關(guān)于（0，0）中心對稱，而四個選項中只有B滿足條件，

故答案為：B。

【分析】將函數(shù)變形為f(x)=

后，判斷。

5.【答案】D

【考點】直線與平面所成的角

【解析】【解答】如圖，連接AC，設(shè)AC與BD交于O，連接OD1,AD1,BP,設(shè)正方體的棱長為x，

因為D1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四邊形OD1PB是平行四邊形，所以BP||OD1,所以

即為所求的角，易證

平面BDD1B1,故

OD1,又

,所以

＝.

故答案為：D

【分析】在正方體中，作輔助線，通過平移線，作出所要求的角。

6.【答案】C

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【解析】

【解答】由題意知，必須有2個人一組，其他各組只有1個人，所以分配方法是：

故答案為：C.

【分析】利用排列與組合來求解。

7.【答案】B

【考點】由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式

，

【解析】【解答】根據(jù)圖象平移的規(guī)律可知，將y=y=sin(x-

)的圖像上所有的點向左平移平移個單位，

縱坐標不變，得到

再把所得到的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，即函數(shù)的周期

變原來的2倍，就得到函數(shù)y=

，故答案為：B。

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的相位，周期變化規(guī)律來解題。

8.【答案】B

【考點】幾何概型

【解析】【解答】不妨設(shè)這兩個數(shù)為a,b且0<a<1,1<b<2,在平面直角坐標系內(nèi)，a,b的取值，

表示為一個正方四個頂點：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括邊界在內(nèi)的正方形區(qū)域。作直線a+b=

，

滿足a+b>的a,b取值的可行域如圖中陰影部分表示，

直線a+b＝與正方形的兩個交點分別為

,則可計算事件(a+b

R人svyf概率為P＝

,

故選B。

【分析】利用幾何概型解答。

9.【答案】A

【考點】解三角形的實際應用

【解析】【解答】如圖，連接DF,直線DF交AB于M，

則AB＝AM+BM,設(shè)

則

因為

,所以

所以

故答案為：A.

【分析】通過作輔助線，(如圖)，然后利用解直角形的知識來解答。

10.【答案】D

【考點】二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】當a>0時，若a為極大值點，則(如圖1)，必有a<b,ab<a2.故B,C項錯；

當a<0時，若a為極大值點，則(如圖2)，必有a>b>a2,故A錯。

故答案為：D.

【分析】對a的正負進行討論，根據(jù)極值點的意義，作圖分析，得到正確選項。

11.【答案】C

【考點】橢圓的定義，橢圓的簡單性質(zhì)

【解析】

【解答】依題意，點B(0,b),設(shè)P(x0,y0),則有

移項并用十字相乘法得到：

因為

恒成立，即

恒成立，

據(jù)此解得

，

故答案為：C。

【分析】由兩點間的距離公式，表示出|PB|2，再根據(jù)橢圓上任意點的縱坐標y0的取值范圍，解相關(guān)不

等式得到結(jié)果。

12.【答案】B

【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】

【解答】構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-

，則b-c=f(0.02)，則

當x>0時，

所以f/(x)<0,所以f(x)在

,

單調(diào)遞減，所以f(0.02)<f(0),即b-c<0,所以b<c;

再構(gòu)造函數(shù)

則

而

,

當

所以

所以g(x)在（0，2）上單調(diào)遞增，所以

所以b<c<a,

故答案為：B

【分析】本題就在于構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而解題。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.【答案】4

【考點】雙曲線的定義，雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】因為又曲線方程C：

,一條漸近線是

，

所以雙曲線方程是

,

故答案為：4

【分析】由雙曲線漸近線的斜率可得到m的值，再進一步求得焦距的值。

14.【答案】

【考點】平面向量的坐標運算，平面向量數(shù)量積的運算，數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】因為

，所以

，

所以

，

故答案為：

【分析】先計算出

的坐標式，再根據(jù)兩向量垂直，列式求解。

15.【答案】

【考點】余弦定理，三角形中的幾何計算

【解析】【解答】

于是

【分析】根據(jù)面積的值，計算出ac，再由余弦定理求解。

16.【答案】②⑤或③④

【考點】由三視圖還原實物圖

【解析】【解答】當俯視圖為④時，右側(cè)棱在左側(cè)，不可觀測到，所以為虛線，故選擇③為側(cè)視圖；

當俯視圖為⑤時，左側(cè)棱在左側(cè)可觀測到，所以為實線，故選擇②為側(cè)視圖，

故答案為：②⑤或③④

【分析】分情況討論各種視圖的位置關(guān)系。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

17.【答案】（1）解：各項所求值如下所示

=

(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

=

(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

=

x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，

=

x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

（2）由(1)中數(shù)據(jù)得

-

=0.3，2

0.34

顯然

-

＜2

，所以不認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高。

【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標準差

【解析】【分析】（1）先計算新舊樣本平均數(shù)

(2)由(1)中的數(shù)據(jù)，計算得：

-

，再直接用公式計算s12，s22；

=0.3，2

0.34，顯然

-

＜2

，可得到答案。

18.【答案】（1）解：因為PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以

別為x，y，z軸正方向，D為原點建立空間直角坐標系D-xyz。

，

，

分

設(shè)BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（

，1，0），P(0，0，1)，所以

=（t，1，-1），

=

（

，1，0），

因為PB⊥AM，所以

?

=-

+1=0，所以t=

，所以BC=

。

（2）設(shè)平面APM的一個法向量為

=（x，y，z），由于

=（-

，0，1），則

令x=

，得

=（

，1，2）。

=（xt，yt，zt），則

設(shè)平面PMB的一個法向量為

令

=1，得

，

=(0，1，1).

）=

=

=

，所以二面角A-PM-B的正弦值為

所以cos（

.

【考點】向量方法證明線、面的位置關(guān)系定理，用空間向量求直線與平面的夾角

【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，定義相關(guān)點的坐標，通過計算求解；

（2）呈上，分別求二面角的兩個平面的法向量，用法向量的夾角計算。

19.【答案】（1）由已知

+

=2，則

=Sn(n2)

+

=2

2bn-1+2=2bn

bn-bn-1=

(n2)，b1=

故｛bn｝是以

為首項，

為公差的等差數(shù)列。

（2）由（1）知bn=

+（n-1）

=

，則

+

=2

Sn=

n=1時，a1=S1=

n2時，an=Sn-Sn-1=

-

=

故an=

【考點】等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前n項和，數(shù)列遞推式

【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列及前n項和的定義，由遞推關(guān)系，求證。

（2）呈上，先寫出bn,再求{bn}前n磺的和Sn，再由an與Sn的關(guān)系，進一步求得結(jié)果。

20.【答案】（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)

當x=0時，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1

（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1

當0＜x＜1時，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；當x＜0時，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0

故即證x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0

令1-x=t(t＞0且t1)，x=1-t，即證1-t+lnt-(1-t)lnt＞0

令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，

則f′(t)=-1-

-[(-1)lnt+

]=-1+

+lnt-

=lnt

所以f(t)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增，故f(t)＞f（1）=0，得證。

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，導數(shù)在zui大值、zui小值問題中的應用

【解析】【分析】（1）先對函數(shù)y=xf（x）求導：[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因為x=0是方程的根，代入求得a

值。

（2）首先由（1）寫出函數(shù)f(x),并求其定義域，將問題轉(zhuǎn)化為證明x+f(x)＞xf(x)，即證：x+ln(1-x)-xln(1-x)

＞0，然后通過換元，構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)研究相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，從而證明命題成立。

21.【答案】（1）解：焦點

到

的zui短距離為

，所以p=2.

（2）拋物線

，設(shè)A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，則

，

，且

.

，

都過點P(x0，y0），則

故

，即

.

聯(lián)立

，得

，

.

所以

=

，

，所以

=

=

=

.

而

.故當y0=-5時，

達到zui大，zui大值為

.

【考點】圓的標準方程，拋物線的標準方程，拋物線的應用

【解析】【分析】（1）因為F點到圓上距離zui小的即為F到圓心的距離減去半徑1，據(jù)此得到結(jié)果；

（2）由（1）寫出拋物線的標準方程，分別設(shè)出切點A,B的坐標，及P（在圓M上）的坐標，分別寫出

兩條切線的方程，利用A,B都過P點，建立方程求解。zui后通過三角形PAB面積表達式，研究zui值。

四、［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］

22.【答案】（1）因為

C的圓心為(2，1)，半徑為1.故

C的參數(shù)方程為

（

為

參數(shù)).

（2）設(shè)切線y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.

故

=1

即|2k|=

解得k=±

，4

.

=

，

故直線方程為y=

(x-4)+1，y=

(x-4)+1

故兩條切線的極坐標方程為

sin

=

cos

-

+1或

sin

=

cos

+

+1.

【考點】點的極坐標和直角坐標的互化，參數(shù)方程化成普通方程

【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的參數(shù)方程的定義，不難得到圓的參數(shù)方程；

（2）設(shè)出過點（4，1）的圓的切線方程，利用直線與相切求出切線的斜率，進而求得兩條切線的方程，

并將它們化為極坐標方程。

五、[選修4一5：不等式選講]

23.【答案】（1）解：a=1時，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|6的解集.

當x1時，2x十26，得x2;

當-3<x<1時，46此時沒有x滿足條件；

當x-3時-2x-26.得x-4，

綜上，解集為(-，-4]U[2，-).

（2）f(x)zui小值>-a，而由絕對值的幾何意義，即求x到a和-3距離的zui小值.

當x在a和-3之間時zui小，此時f(x)zui小值為|a+3|，即|a+3|＞-a.

A-3時，2a+3>0，得a>-

；a<-3時，-a-3>-a，此時a不存在.

綜上，a>-

.

【考點】不等式的綜合

【解析】【分析】（1)當a=1，寫出f(x)=|x-1|+|x+3|，進一步分段討論去值，解不等式；

（2）只要保證f(x)zui小值，而由絕對值的幾何意義，即求x到a和-3距離的zui小值.

>-a

試題分析部分

1.試題總體分布分析

總分：160分

客觀題（占比）

分值分布

主觀題（占比）

65（40.6%）

95（59.4%）

客觀題（占比）

題量分布

主觀題（占比）

13（56.5%）

10（43.5%）

2.試題題量分布分析

大題題型

題目量（占

比）

分值（占比）

選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給

出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

12（52.2%）60（37.5%）

填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4（17.4%）

20（12.5%）

解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

5（21.7%）

60（37.5%）

［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］

1（4.3%）

10（6.3%）

[選修4一5：不等式選講]

1（4.3%）

10（6.3%）

3.試題難度結(jié)構(gòu)分析

序號

難易度

占比

1

容易

52.2%

2

普通

39.1%

3

困難

8.7%

4.試題知識點分析

序號

知識點（認知水平）

分值（占比）

對應題號

1

復數(shù)代數(shù)形式的混合運算

5（1.6%）

1

2

交集及其運算

5（1.6%）

2

3

全稱量詞命題

5（1.6%）

3

4

存在量詞命題

5（1.6%）

3

5

命題的否定

5（1.6%）

3

6