共47頁第47頁高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編課堂教學(xué)改革的目的，一是要打破傳統(tǒng)教學(xué)束縛學(xué)生手腳的陳舊做法；二是要遵循現(xiàn)代教育以人為本的的觀念，給學(xué)生發(fā)展以最大的空間；三是能根據(jù)教材提供的基本知識，把培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力作為教學(xué)的重點。數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)是以學(xué)生探究為基本牲的一種教學(xué)活動形式。具體是指在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，以學(xué)生獨立自主學(xué)習(xí)和合作討論為前提，以學(xué)生已有知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以現(xiàn)行教材為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑嘗試活動，自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的一種教學(xué)活動形式。它可使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和掌握科學(xué)方法，為學(xué)生終身學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。探究性試題有助于數(shù)學(xué)思維的提高。1．已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在，使得成立。（Ⅰ）函數(shù)是否屬于集合？說明理由；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點，證明：函數(shù)。解：（Ⅰ）若，在定義域內(nèi)存在，則，∵方程無解，∴。（Ⅱ），時，；時，由，得?！唷＃á螅撸帧吆瘮?shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點，設(shè)交點的橫坐標為，則，其中?！?，即。2．已知是定義在上的恒不為零的函數(shù)，且對于任意的、都滿足：（1）求的值，并證明對任意的，都有；（2）設(shè)當(dāng)時，都有，證明在上是減函數(shù)；（3）在（2）的條件下，求集合中的最大元素和最小元素。解：（1）（2）∵當(dāng)時，都有…………6分∴當(dāng)，即時，有，即∴在上是減函數(shù)。（3）∵在上是減函數(shù)，{}是遞增數(shù)列∴數(shù)列是遞減數(shù)列?！嗉现械淖畲笤貫椋钚≡貫?。3．已知等差數(shù)列中，公差，其前項和為，且滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）通過構(gòu)造一個新的數(shù)列，是否存在一個非零常數(shù)，使也為等差數(shù)列；（3）求的最大值。解：（1）∵等差數(shù)列中，公差，∴。（2），，令，即得，數(shù)列為等差數(shù)列，∴存在一個非零常數(shù)，使也為等差數(shù)列。（3），∵，即，∴時，有最大值。4．已知數(shù)列中，且點在直線上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若函數(shù)求函數(shù)的最小值；（3）設(shè)表示數(shù)列的前項和。試問：是否存在關(guān)于的整式，使得對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由。5．設(shè)函數(shù)，函數(shù)，其中為常數(shù)且，令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù)。（1）求函數(shù)的表達式，并求其定義域；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（3）是否存在自然數(shù)，使得函數(shù)的值域恰為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)所構(gòu)成的集合；若不存在，試說明理由。解：（1），。（2）∵，∴函數(shù)的定義域為，令，則，，∴，∵時，，又時，遞減，∴單調(diào)遞增，∴，即函數(shù)的值域為。（3）假設(shè)存在這樣的自然數(shù)滿足條件，令，則，∵，則，要滿足值域為，則要滿足，由于當(dāng)且僅當(dāng)時，有中的等號成立，且此時恰為最大值，∴，又在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴，綜上，得。6、已知二次函數(shù)同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立。設(shè)數(shù)列的前項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）試構(gòu)造一個數(shù)列，（寫出的一個通項公式）滿足：對任意的正整數(shù)都有，且，并說明理由；（3）設(shè)各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)。令（為正整數(shù)），求數(shù)列的變號數(shù)。解：（1）∵的解集有且只有一個元素，∴，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，故不存在，使得不等式成立。當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，故存在，使得不等式成立。綜上，得，，∴，∴（2）要使，可構(gòu)造數(shù)列，∵對任意的正整數(shù)都有，∴當(dāng)時，恒成立，即恒成立，即，又，∴，∴，等等。（3）解法一：由題設(shè)，∵時，，∴時，數(shù)列遞增，∵，由，可知，即時，有且只有個變號數(shù)；又∵，即，∴此處變號數(shù)有個。綜上得數(shù)列共有個變號數(shù)，即變號數(shù)為。解法二：由題設(shè)，時，令；又∵，∴時也有。綜上得數(shù)列共有個變號數(shù)，即變號數(shù)為。7．已知復(fù)數(shù)，（1）當(dāng)時，求的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，說明理由。解：（1）∵，∴。（2）（理）∵，∴為純虛數(shù)，∴8．已知為正常數(shù)。（1）可以證明：定理“若、，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）”推廣到三個正數(shù)時結(jié)論是正確的，試寫出推廣后的結(jié)論（無需證明）；（2）若在上恒成立，且函數(shù)的最大值大于，求實數(shù)的取值范圍，并由此猜測的單調(diào)性（無需證明）；（3）對滿足（2）的條件的一個常數(shù)，設(shè)時，取得最大值。試構(gòu)造一個定義在上的函數(shù)，使當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列。解：（1）若、、，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）。（2）在上恒成立，即在上恒成立，∵，∴，即，又∵∴，即時，，又∵，∴。綜上，得。易知，是奇函數(shù)，∵時，函數(shù)有最大值，∴時，函數(shù)有最小值。故猜測：時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增。（3）依題意，只需構(gòu)造以為周期的周期函數(shù)即可。如對，，此時，即。9．已知函數(shù)，，（Ⅰ）當(dāng)時，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實數(shù)對：當(dāng)是整數(shù)時，存在，使得是的最大值，是的最小值；（Ⅲ）對滿足（Ⅱ）的條件的一個實數(shù)對，試構(gòu)造一個定義在，且上的函數(shù)，使當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列。解：（Ⅰ）當(dāng)時，，若，，則在上單調(diào)遞減，不符題意。故，要使在上單調(diào)遞增，必須滿足，∴。（Ⅱ）若，，則無最大值，故，∴為二次函數(shù)，要使有最大值，必須滿足，即且，此時，時，有最大值。又取最小值時，，依題意，有，則，∵且，∴，得，此時或?！酀M足條件的實數(shù)對是。（Ⅲ）當(dāng)實數(shù)對是時，依題意，只需構(gòu)造以2（或2的正整數(shù)倍）為周期的周期函數(shù)即可。如對，，此時，，故。10.已知在數(shù)列中，，，(、,0)。（1）若=2，=-1，求、，并猜測；（2）若是等比數(shù)列，且是等比數(shù)列，求、滿足的條件；（3）一個質(zhì)點從原點出發(fā)，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地運動，第次運動的位移是，質(zhì)點到達點。設(shè)點的橫坐標為，若=0，若，求。解：（1）∵，(2)∴猜測:.(4)（2）（理）由，得，當(dāng)時，，顯然是等比數(shù)列，當(dāng)時，因為，只有時，才是等比數(shù)列∴，即，或由，得(n≥2),當(dāng)時，(n≥2)，顯然是等差數(shù)列，當(dāng)時，，只有時，才是等差數(shù)列，，即，或綜上，、滿足的條件是（3）∵，∴(12)∴,…,∴.∵，∴11．已知函數(shù)，，（1）若函數(shù)，求函數(shù)、的解析式；（2）若函數(shù)，函數(shù)的定義域是[1,2]，求的值；（3）設(shè)是定義在上的周期為4的奇函數(shù)，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。當(dāng)時，，求正數(shù)的最小值及函數(shù)在[-2,2]上的解析式。解：（1）∵，(1)∴；；.（2）∵，∴,,，∴.由題設(shè)，得.（3）∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴①∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴②在②式中以替換，得③由①式和③式，得④在④式中以替換，得⑤由④式和⑤式，得(14)∵是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，∴正數(shù)的最小值是1.∴當(dāng)[0,1]時，，∴當(dāng)[-1,0]時，[0,1]，，即.∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴當(dāng)(1,2]時，2-[0,1)，當(dāng)[-2,-1)當(dāng)，(1,2]，，即.A1OB3A1OB3B2B1A3xyA212.已知等差數(shù)列的首項為，公差為.對于不同的自然數(shù)n，直線與x軸和指數(shù)函數(shù)的圖像分別交于點（如圖所示），記的坐標為，直角梯形、的面積分別為和，一般地記直角梯形的面積為.求證數(shù)列是公比絕對值小于1的等比數(shù)列；設(shè)的公差，是否存在這樣的正整數(shù)n，構(gòu)成以為邊長的三角形？并請說明理由；（理）設(shè)的公差為已知常數(shù)，是否存在這樣的實數(shù)p使得（1）中無窮等比數(shù)列各項的和S>2010？并請說明理由.（文）設(shè)的公差，是否存在這樣的實數(shù)p使得（1）中無窮等比數(shù)列各項的和S>2010？如果存在，給出一個符合條件的p值；如果不存在，請說明理由.解．（1），，對于任意自然數(shù)n，=，所以數(shù)列是等比數(shù)列且公比，因為，所以（寫成，得公比也可）（2），，對每個正整數(shù)n，……6分若以為邊長能構(gòu)成一個三角形，則，即，1+2>4，這是不可能的……9分所以對每一個正整數(shù)n，以為邊長不能構(gòu)成三角形（3）（理）由（1）知，，所以若兩邊取對數(shù)，知只要取值為小于的實數(shù)，就有S>2010說明：如果分別給出與d的具體值，說明清楚問題，也參照前面的評分標準酌情給分，但不得超過該部分分值的一半。（文），所以如果存在p使得，即兩邊取對數(shù)得：，因此符合條件的p值存在，，可取p=11等說明：通過具體的p值，驗證也可。13．函數(shù)f(x)=(a，b是非零實常數(shù))，滿足f(2)=1，且方程f(x)=x有且僅有一個解。(1)求a、b的值；(2)是否存在實常數(shù)m，使得對定義域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？為什么？(3)在直角坐標系中，求定點A(–3,1)到此函數(shù)圖象上任意一點P的距離|AP|的最小值。解：(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，所以=1無解或有解為0，若無解，則ax+b=1無解，得a=0，矛盾，若有解為0，則b=1，所以a=。(2)f(x)=，設(shè)存在常數(shù)m，使得對定義域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，取x=0，則f(0)+f(m–0)=4，即=4，m=–4(必要性)又m=–4時，f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性)所以存在常數(shù)m=–4，使得對定義域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，(3)|AP|2=(x+3)2+()2，設(shè)x+2=t，t≠0，則|AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2–+=(t2+)+2(t–)+2=(t–)2+2(t–)+10=(t–+1)2+9，所以當(dāng)t–+1=0時即t=，也就是x=時，|AP|min=314.已知元素為實數(shù)的集合滿足下列條件：=1\*GB3①1、0；=2\*GB3②若，則若，求使元素個數(shù)最少的集合； 在上一小題求得的集合中，任取3個不同元素，求使的概率。（本小題選理科的學(xué)生做，選文科的學(xué)生不做）若非空集合為有限集，則你對集合的元素個數(shù)有何猜測？并請證明你的猜測正確。解；使的元素個數(shù)最少的集合為設(shè)是中三個不同元素，且使，由于中僅有2個負數(shù)，故只有如下兩種可能：所相對的概率為非空有限集的元素個數(shù)是3的倍數(shù)證明如下：設(shè)則且由于，但無實數(shù)根故 同理若存在，而，則且（若中有元素，則利用前述的式可知）于是上述推理還可繼續(xù)，由于為有限集，故上述推理有限步可中止的元素個數(shù)為的倍數(shù)。15.已知二次函數(shù)滿足條件：=，且方程=有等根。(1)求的解析式；(2)是否存在實數(shù)m、n(m<n)，使的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求出m、n的值；若不存在，說明理由。.解:(1)由條件易得,∴……7分(2)假設(shè)存在這樣的m、n滿足條件,由于所以3n≤eq\f(1,2)即n≤eq\f(1,6)<1,故二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數(shù),從而有16．已知函數(shù)的最大值為正實數(shù)，集合，集合。（1）求和；（2）定義與的差集：且。設(shè)，，均為整數(shù)，且。為取自的概率，為取自的概率，寫出與的二組值，使，。（3）若函數(shù)中，，是（2）中較大的一組，試寫出在區(qū)間[,n]上的最大值函數(shù)的表達式。（1）∵，配方得，由得最大值。∴，。（2）要使，。可以使①中有3個元素，中有2個元素，中有1個元素。則。②中有6個元素，中有4個元素，中有2個元素。則（3）由（2）知17．給出函數(shù)封閉的定義：若對于定義域D內(nèi)的任一個自變量x0，都有函數(shù)值f(x0)，則稱函數(shù)y=f(x)在D上封閉。（1）若定義域D1=（0，1），判斷下列函數(shù)中哪些在D1上封閉，且給出推理過程f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=cosx.；（2）若定義域D2=（1，2），是否存在實數(shù)a使函數(shù)f(x)=在D2上封閉，若存在，求出a的值，并給出證明，若不存在，說明理由。解：（1）∵f1()=0(0,1)，∴f(x)在D1上不封閉；(2)∵f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是減函數(shù)，∴0＜f2(1)＜f2(x)＜f2(0)=1，∴f2(x)(0,1)f2(x)在D1上封閉；(4)∵f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函數(shù)，∴0=f3(0)＜f3(x)＜f3(1)=1，∴f3(x)(0,1)f3(x)在D1上封閉；(6)∵f4(x)=cosx在(0,1)上是減函數(shù)，∴cos1=f4(1)＜f4(x)＜f4(0)=1，∴f4(x)(cos1,1)(0,1)f4(x)在D1上封閉；(8)（2）f(x)=5-，假設(shè)f(x)在D2上封閉，對a+10討論如下：若a+10＞0,則f(x)在(1,2)上為增函數(shù)，故應(yīng)有a=2(10)若a+10＝0，則f(x)=5，此與f(x)(1,2)不合，(12)若a+10＜0，則f(x)在(1,2)上為減函數(shù)，故應(yīng)有,無解,(14)綜上可得，a=2時f(x)在D2上封閉.18．（1）已知數(shù)列的通項公式：，試求最大項的值；（2）記，且滿足（1），若成等比數(shù)列，求的值；（3）（理）如果，且是滿足（2）的正常數(shù)，試證：對于任意自然數(shù)，或者都滿足；或者都滿足。（文）若是滿足（2）的數(shù)列，且成等比數(shù)列，試求滿足不等式：的自然數(shù)的最小值。解（1），∴，則。即的最大項的值為4。（2）欲使成等比數(shù)列，只需成等比數(shù)列?！撸嘀恍杌蚣纯?。解得或。（3）（理），，∵，∴。又，∴?！?，∴；或。（文）∵不合題意，∴，據(jù)題意，，。19、已知數(shù)列中，（）(1)若，求；(2)若，求q,d滿足得條件；(3)一個質(zhì)點從原點出發(fā)，依次安向右，向上，向左，向下的方向交替運動，第次運動的位移是，質(zhì)點到達點，設(shè)點的橫坐標為，若，求。解：(1)(2),當(dāng)＝0，顯然成立；當(dāng)0，，則；當(dāng)，顯然成立；當(dāng)，(3)20、已知函數(shù)(1)，求的解析式；(2)若函數(shù)，函數(shù)是，求；(3)是定義在上的函數(shù)，且其為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱當(dāng)，求最小正數(shù)及函數(shù)在上的解析式解：(1)(2)＝4（可知）(3)＝1（略）；；；。21．若函數(shù)對定義域中任一均滿足，則函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱。（1）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，求實數(shù)的值；（2）已知函數(shù)在上的圖像關(guān)于點對稱，且當(dāng)時，，求函數(shù)在上的解析式；（3）在（1）、（2）的條件下，若對實數(shù)及，恒有，求實數(shù)的取值范圍。解：（1）由題設(shè)可得，解得；（2）當(dāng)時，；（3）由（1）得，其最小值為，，當(dāng)，即時，，得，②當(dāng)，即時，，得，由①、②得。22.已知函數(shù)，當(dāng)點在的圖像上移動時，點在函數(shù)的圖像上移動．（1）若點P坐標為（），點Q也在的圖像上，求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）當(dāng)時，試探求一個函數(shù)使得在限定定義域為時有最小值而沒有最大值．解：（1）當(dāng)點坐標為（），點的坐標為，…………2分

∵點也在的圖像上，∴，即．……5分（根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得，請相應(yīng)給分）

（2）設(shè)在的圖像上

則，即……8分

而在的圖像上，∴

代入得，為所求．…………………11分（3）；或等．…15分

如：當(dāng)時，∵在單調(diào)遞減，∴故，

即有最小值，但沒有最大值．………18分（其他答案請相應(yīng)給分）（參考思路）在探求時，要考慮以下因素：①在上必須有意義（否則不能參加與的和運算）；②由于和都是以為底的對數(shù)，所以構(gòu)造的函數(shù)可以是以為底的對數(shù)，這樣與和進行的運算轉(zhuǎn)化為真數(shù)的乘積運算；③以為底的對數(shù)是減函數(shù)，只有當(dāng)真數(shù)取到最大值時，對數(shù)值才能取到最小值；④為方便起見，可以考慮通過乘積消去；⑤乘積的結(jié)果可以是的二次函數(shù)，該二次函數(shù)的圖像的對稱軸應(yīng)在直線的左側(cè)（否則真數(shù)會有最小值，對數(shù)就有最大值了），考慮到該二次函數(shù)的圖像與軸已有了一個公共點，故對稱軸又應(yīng)該是軸或在軸的右側(cè)（否則該二次函數(shù)的值在上的值不能恒為正數(shù)），即若拋物線與軸的另一個公共點是，則，且拋物線開口向下．23．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，（為常數(shù)）。（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，求在上的最小值，及取得最小值時的，并猜想在上的單調(diào)遞增區(qū)間（不必證明）；（3）當(dāng)時，證明：函數(shù)的圖象上至少有一個點落在直線上。解：（1）時，，則∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，即∴，即，又可知∴函數(shù)的解析式為，（2），∵，，∴∵∴，即時，。猜想在上的單調(diào)遞增區(qū)間為。（3）時，任取，∵∴在上單調(diào)遞增，即，即∵，∴，∴∴當(dāng)時，函數(shù)的圖象上至少有一個點落在直線上。24．對數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中。對自然數(shù)，規(guī)定為的階差分數(shù)列，其中。（1）已知數(shù)列的通項公式，試判斷，是否為等差或等比數(shù)列，為什么？（2）若數(shù)列首項，且滿足，求數(shù)列的通項公式。（3）對（2）中數(shù)列，是否存在等差數(shù)列，使得對一切自然都成立？若存在，求數(shù)列的通項公式；若不存在，則請說明理由。解：（1），∴是首項為4，公差為2的等差數(shù)列?！嗍鞘醉棡?，公差為0的等差數(shù)列；也是首項為2，公比為1的等比數(shù)列。（2），即，即，∴∵，∴，，，猜想：證明：ⅰ）當(dāng)時，；ⅱ）假設(shè)時，時，結(jié)論也成立∴由?。?、ⅱ）可知，（3），即∵∴存在等差數(shù)列，，使得對一切自然都成立。ABMFOyx25．如圖，過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．

(1)求橢圓的“ABMFOyx(2)試根據(jù)(1)中的結(jié)論猜測：橢圓的“左特征點”M是一個怎樣的點？并證明你的結(jié)論．解：設(shè)M(m，0)為橢圓的左特征點，橢圓的左焦點為，

設(shè)直線AB的方程為

將它代入得：，即 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，

∵∠AMB被x軸平分，∴

即，

∴，

于是

∵，∴，即

∴M(，0) (2)解：對于橢圓，，b=1，c=2，∴．

于是猜想：橢圓的“左特征點”是橢圓的左準線與x軸的交點． 證明：設(shè)橢圓的左準線l與x軸相交于M點，過A、B分別作l的垂線，垂足分別為C、D

據(jù)橢圓第二定義：，即

∵，∴ 于是，即

∴，又均為銳角，

∴，∴

∴MF為∠AMB的平分線，故M為橢圓的“左特征點”． 26．?dāng)?shù)列{an}中，a7=,當(dāng)n≥2時，an=. 求a8,a9,a10的值；是否存在自然數(shù)m,當(dāng)n>m時，an<2;當(dāng)n≤m時，an>2?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。當(dāng)n≥10時，證明＜an.解（1）a8=,a9=,a10=.(2)an-2=,∴當(dāng)an-2＜2時，an＜2,又a9=-8＜2,故當(dāng)n＞8時an＜2。由an=得an-1=,an-1-2=.∴當(dāng)an＞2時，an-1＞2。又a8=12＞2，∴當(dāng)n≤8時，an＞2。綜上所述，滿足條件的m存在，且m=8.(3)an-1+an+1-2an=(-an)+()=.a10=-∈（-3，2）。下面證明，當(dāng)n≥10時，-3＜an＜2，其中當(dāng)n≥10時，an＜2已證，只需證當(dāng)n≥10時，an＞-3。an+3=+3=當(dāng)an-1∈（-3，2）時，＞0，即an＞-3.∴當(dāng)n≥10時，-3＜an＜2。因此，當(dāng)n≥10時，an-1+an+1-2an＜0，即＜an.27．設(shè)數(shù)列｛an｝的首項為1，前n項和為Sn，且對任意大于或等于2的自然數(shù)n，等式3tSn－(2t+3)Sn-1=3t成立。(1）若t為正常數(shù)，證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列，并求數(shù)列的公比q及前n項和；（2）對（1）中求得的q，若t為變量，令f(t)=q,設(shè)函數(shù)g(t)=3t3f(t),且設(shè)t∈R，求g(t)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）研究g(t)－k=0的解的個數(shù). 解：(1)由題可知，當(dāng)n＝2時，3tS2-(2t+3)S1=3ta2=EQ\F(2t+3,3t),又a1=1,所以eq\f(a2,a1)=EQ\F(2t+3,3t),當(dāng)n≥2時。由3tSn-(2t+3)Sn-1=3t與3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t兩式相減可得3tan-(2t+3)an-1=0eq\f(an,an-1)=EQ\F(2t+3,3t),由上可知，對于自然數(shù)n都有eq\f(an,an-1)=EQ\F(2t+3,3t)式子成立，故｛an｝成等比數(shù)列，且公比q=EQ\F(2t+3,3t)若t=3時，q=1,此時Sn=n若t>0,t≠3時，則Sn=EQ\F(1(1-(eq\f(2t+3,3t))eq\s\up4(n)),1-EQ\F(2t+3,3t))=EQ\F((3t)n-(2t+3)n,(3t)n-1(t-3)).(2)由題可知：q=f(t)=EQ\F(2t+3,3t),?g(t)=3t3EQ\F(2t+3,3t)?g(t)=2t3+3t2,?g'(t)=6t2+6t=6t(t+1)；所以t（-∞，1）－1（－1,0）0（0，＋∞）g(t)+-+g(t)增1減0增當(dāng)t=-1時，g(t)有極大值1當(dāng)t=0時，g(t)有極小值0(3)畫出y=g(t)及y=k的圖象可得：當(dāng)k>1或k<0時，有一解當(dāng)k=1或k=0時，有二解當(dāng)0<k<1時，有三解.28、已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且（1）求數(shù)列的通項；（2）是否存在正整數(shù)，使不等式對所有正整數(shù)均成立，并證明你的結(jié)論。解：（1）2…………eq\o\ac(○,1)2………………eq\o\ac(○,2)……（2分）………………（4分）又……………………（6分）………（8分）下面用數(shù)學(xué)歸納證明不等式該不等式顯然成立 當(dāng)n=k+1時不等式也成立綜上（1）、（2）對任意命題都成立29．已知平面上一定點C（4，0）和一定直線為該平面上一動點，作，垂足為Q，且（（1）問點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；（2）設(shè)直線與（1）中的曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.解：（1）設(shè)P的坐標為，由得（2分）∴（化簡得∴P點在雙曲線上，其方程為（2）設(shè)A、B點的坐標分別為、，由得，∵AB與雙曲線交于兩點，∴△>0，即解得（9分）∵若以AB為直徑的圓過D（0，－2），則AD⊥BD，∴，即，∴∴解得，故存在k值……，所求k值為.30．已知數(shù)列的前項和滿足 （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求； （Ⅲ）是否存在正整數(shù)使成立？若存在求出這樣的正整數(shù)；若不存在，說明理由解：（I）又………………2分（Ⅱ）由（I）知①當(dāng)時，②①－②，得………………4分又，易見于是是等比數(shù)列，公比為，所以………………6分（Ⅲ）不等式，即整理得…………8分假設(shè)存在正整數(shù)使得上面的不等式成立，由于2n為偶數(shù)，為整數(shù)，則只能是………………10分因此，存在正整數(shù)…………1231．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點、，若點滿足（），點的軌跡與拋物線：交于、兩點.（Ⅰ）求證：⊥；（Ⅱ）在軸上是否存在一點，使得過點直線交拋物線于D、E兩點，并以該弦DE為直徑的圓都過原點。若存在，請求出的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由.解：1）解：由（）知點的軌跡是、兩點所在的直線，故點的軌跡方程是：即…………….2分由∴∴∴故⊥.……6分2）解：存在點，使得過點任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點由題意知：弦所在的直線的斜率不為零…………………7分故設(shè)弦所在的直線方程為：代入得∴∴故以為直徑的圓都過原點…………..10分設(shè)弦的中點為則∴弦的中點的軌跡方程為：消去得.……14分32．設(shè)函數(shù)R. （I）求函數(shù)的最值； （Ⅱ）給出定理：如果函數(shù)在區(qū)間[]上連續(xù)，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在. 運用上述定理判斷，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在零點.解：（I） 令 ……2分① ① 由①知f（x）無最大值. ……6分 （Ⅱ）函數(shù)f（x）在[m，2m]上連續(xù) 上遞增. ……8分 由 ……10分 又 根據(jù)定理，可判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m）上存在零點. ……33．已知數(shù)列{an}有a1a，a2p(常數(shù)p>0)，對任意的正整數(shù)n，Sna1a2…an，并有Sn滿足。(1)求a的值；(2)試確定數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，若是，求出其通項公式，若不是，說明理由；(3)對于數(shù)列{bn}，假如存在一個常數(shù)b使得對任意的正整數(shù)n都有bn<b，且，則稱b為數(shù)列{bn}的“上漸進值”，令，求數(shù)列{p1p2…pn2n}的“上漸進值”。解：（1），即（2）∴是一個以為首項，為公差的等差數(shù)列。（3），∴又∵，∴數(shù)列的“上漸近值”為。34．已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過點,數(shù)列為等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,設(shè)問:是否存在自然數(shù)m和M,使得不等式恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請說明理由.解:(1)由題意得即.令,則令,則令,則……(3分)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則……(5分)∴.……(6分)(2)由(1)知:.n為奇數(shù)時,……(7分)∴…………①…………②……(9分)由①－②得:∴……(10分)設(shè),∵∴隨n的增加而減小.又隨n的增大而減小,∴為n的增函數(shù).……(12分)當(dāng)時,,而∴……(13分)由此易知:使恒成立的m的最大值為0,M的最小值為2,M－m的最小值為2.……(14分)35．已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d＞0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數(shù)列的第二項、第三項、第四項．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝（n∈N*），Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整數(shù)t，使得任意的n均有Sn＞總成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由．解：（Ⅰ）由題意得（a1＋d）（a1＋13d）=（a1＋4d）2，………2分整理得2a1d＝d2∵a1＝1，解得（d＝0舍），d＝2．…………4分∴an＝2n－1（n∈N*）．……………………6分（Ⅱ）bn＝＝＝（－），∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝［（1－）＋（－）＋…＋（－）］＝（1－）＝．……10分假設(shè)存在整數(shù)t滿足Sn＞總成立.又Sn+1－Sn＝－＝＞0，∴數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞增的．………………12分∴S1＝為Sn的最小值，故＜，即t＜9．又∵t∈N*，∴適合條件的t的最大值為8．…………14分36已知數(shù)列滿足：，，≥．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）求使不等式＜成立的所有正整數(shù)、的值．解（Ⅰ）由2an+1=3an－an－1（n≥2），得2（an+1－an）=an－an－1，∴，因此數(shù)列{an－an－1}是以a2－a1=1為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，……………………4分于是an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+…+（a2－a1）+a1==．………6分（Ⅱ）由不等式，得，∴，即，………………8分所以2＜（4－m）·2n＜8．∵2n為正偶數(shù)，4－m為整數(shù)，∴（4－m）·2n=4，或（4－m）·2n=6，∴或或或解得或或或經(jīng)檢驗使不等式成立的所有正整數(shù)m、n的值為（m，n）=（1，1）或（2，1）或（3，2）．………12分說明問題（1）的歸納做法是：由已知可得，∴，，，……，于是．37．已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.（1）求點G的軌跡C的方程；（2）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設(shè)是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.解：（1）Q為PN的中點且GQ⊥PN GQ為PN的中垂線|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長，半焦距，∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是（2）因為，所以四邊形OASB為平行四邊形 若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形 若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由 矛盾，故l的斜率存在. 設(shè)l的方程為 ① ② 把①、②代入 ∴存在直線使得四邊形OASB的對角線相等.38．設(shè)無窮數(shù)列{an}具有以下性質(zhì)：①a1=1；②當(dāng)（Ⅰ）請給出一個具有這種性質(zhì)的無窮數(shù)列，使得不等式對于任意的都成立，并對你給出的結(jié)果進行驗證（或證明）；（Ⅱ）若，其中，且記數(shù)列{bn}的前n項和Bn，證明：解：（Ⅰ）令，則無窮數(shù)列{an}可由a1=1，給出.顯然，該數(shù)列滿足，且……6分（Ⅱ）………………8分又39.已知拋物線，過C上點M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線。⑴若C在點M的法線的斜率為，求點M的坐標（）；⑵設(shè)為C對稱軸上的一點，在C上是否存在點，使得C在該點的法線通過點P？若有，求出這些點，以及C在這些點的法線方程；若沒有，請說明理由。解（1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)上點處切線的斜率，因為過點的法線斜率為，所以，解得，故點M的坐標為。（2）設(shè)為C上一點，①若，則C上點處的切線斜率，過點的法線方程為，此法線過點；②若，則過點的法線方程為：①若法線過，則，即②若，則，從而，將上式代入①，化簡得：，若與矛盾，若，則②式無解。綜上，當(dāng)時，在C上有三點及，在這三點的法線過，其方程分別是：。當(dāng)時，在C上有一點，在這點的法線過點，其方程為：。40．已知函數(shù)（1）求函數(shù)f(x)是單調(diào)區(qū)間；（2）如果關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值集合；（3）是否存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說明理由.解：（1）函數(shù)的定義域是對求導(dǎo)得…………（2分）由由因此是函數(shù)的增區(qū)間；（－1，0）和（0，3）是函數(shù)的減區(qū)間………………（5分）（2）[解法一]：因為所以實數(shù)m的取值范圍就是函數(shù)的值域…………（6分）對令∴當(dāng)x=2時取得最大值，且又當(dāng)x無限趨近于0時，無限趨近于無限趨近于0，進而有無限趨近于－∞.因此函數(shù)的值域是即實數(shù)m的取值范圍是………………（9分）[解法二]：方程有實數(shù)根等價于直線與曲線y=lnx有公共點，并且當(dāng)直線與曲線y=lnx相切時，m取得最大值.……（6分）設(shè)直線相切，切點為求導(dǎo)得解得所以m的最大值是。而且易知當(dāng)與曲線y=lnx總有公共點。因此實數(shù)m的取值集合是………………（9分）（3）結(jié)論：這樣的正數(shù)k不存在?！?0分）下面采用反證法來證明：假設(shè)存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則…………（11分）根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域知都是正數(shù)。又由（1）可知，當(dāng)∴=再由k>0，可得由于不妨設(shè)由①和②可得利用比例性質(zhì)得即…………（13分）由于上的恒正增函數(shù)，且又由于上的恒正減函數(shù)，且∴∴這與（*）式矛盾。因此滿足條件的正數(shù)k不存在……（14分）41．?dāng)?shù)列，=1\*GB2⑴是否存在常數(shù)、，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在，求出、的值，若不存在，說明理由。=2\*GB2⑵設(shè)，證明：當(dāng)時，.=1\*GB2⑴解:設(shè)，即……………(2分)故……………(4分)∴………(5分)又……………………(6分)故存在是等比數(shù)列……………(7分)=2\*GB2⑵證明：由=1\*GB2⑴得∴，故………………(8分)∵…………(9分)∴……（11分）現(xiàn)證.當(dāng)，故時不等式成立………………（12分）當(dāng)?shù)?，且由，∴……?4分）42．已知函數(shù)（a為常數(shù)）.（1）如果對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)實數(shù)滿足：中的某一個數(shù)恰好等于a，且另兩個恰為方程的兩實根，判斷①，②，③是否為定值？若是定值請求出：若不是定值，請把不是定值的表示為函數(shù)，并求的最小值；（3）對于（2）中的，設(shè)，數(shù)列滿足，且，試判斷與的大小，并證明.解：（1）對恒成立，又恒成立，對恒成立，又，（2）由得：，不妨設(shè)，則q，r恰為方程兩根，由韋達定理得：①②③而 設(shè)，求導(dǎo)得：當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增，在上的最小值為（3）如果，則在為遞增函數(shù)，又43．設(shè)數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且對任意n∈N+，都有，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.（1）求證：=2Sn－an；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）若（為非零常數(shù)，n∈N+），問是否存在整數(shù)，使得對任意n∈N+，都有bn+1>bn.解：（1）在已知式中，當(dāng)n=1時，∵a1>0∴a1=1……1分當(dāng)n≥2時，①②①－②得，…………3分∵an>0∴=2a1+2a2+…+2an－1+an，即=2Sn－an∵a1=1適合上式∴=2Sn－an(n∈N+)……5分（2）由（1）知=2Sn－an(∈N+)③當(dāng)n≥2時，=2Sn－1－an－1④③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+an－1=an+an－1∵an+an－1>0∴an－an－1=1……8分∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，可得an=n………………9分（3）∵∴⑤……11分當(dāng)n=2k－1，k=1，2，3，……時，⑤式即為⑥依題意，⑥式對k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………12分當(dāng)n=2k，k=1，2，3，…時，⑤式即為⑦依題意，⑦式對k=1，2，3，……都成立，∴……13分∴∴存在整數(shù)λ=－1，使得對任意n∈N，都有bn+1>bn……………44設(shè)關(guān)于x的方程有兩個實根、，且.定義函數(shù)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明；（Ⅲ）