工程數(shù)學(xué)（本）形成性考核作業(yè)4綜合練習(xí)書面作業(yè)（線性代數(shù)部分）一、解答題（每小題10分，共80分）1.設(shè)矩陣，，已知，求．解：由XA=B知，XAA-1=BA-1，則X=BA-1=2.設(shè)矩陣，解矩陣方程解：因?yàn)?12 →102 得A-1=5 所以X=A-1B'=5-323.解矩陣方程，其中，．解：由可得(A-1)X=B由已知條件可得A-1=3558A-11=351→150-120因此，(A-1)-1=-85X=(A-1)-1B=-8554.求齊次線性方程組的通解.解：將齊次線性方程組的系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為階梯形A=1-13-12→1方程組的一般解為x1=4x3-5令x3=1，X1=4令x3=0X2=-5于是，X1方程組的通解為k1X1+k25．求齊次線性方程組的通解．解：將齊次線性方程組的系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為階梯形A=1-31-→1方程組的一般解為x1=-514x3令x3=1，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系X1=-于是，方程組的通解為kX1(其中k為任意常數(shù))6.當(dāng)取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？在有非零解的情況下求方程組的通解.解：將齊次線性方程組的系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為階梯形A=12145故當(dāng)λ=7時(shí)，方程組有非零解。方程組的一般解為x1=-3x3x2令x3=1，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系X1=-于是，方程組的通解為kX1(其中k為任意常數(shù))7.當(dāng)取何值時(shí)，非齊次線性方程組有解？在有解的情況下求方程組的通解.解：將齊次線性方程組的系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為階梯形B=1111-1因R(A)=2，故當(dāng)R(B)=2時(shí)，即當(dāng)λ=5時(shí)，方程組有無窮多解B=111選x3為自由未知數(shù)，得解方程組即x1x2x3=C-211+8.求線性方程組的通解. 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形1-24-52→1方程組的一般解為x1=-2x3-1x2=令x3=0，得方程組的一個(gè)特征解X0=(-1,2,0)不計(jì)最后一列，x3=1，得到相應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系X1=(-2,1,1)于是，方程組的通解為：X=X0+kX1(其中k是任意常數(shù))二、證明題（每題10分，共20分）1.對(duì)任意方陣，試證是對(duì)稱矩陣．證明：由已知條件和對(duì)稱矩陣性質(zhì)(A+A')'=A'+（A'）'=A'+A=A+A'所以A+A'是對(duì)稱矩陣。2.設(shè)階方陣滿足，試證矩陣可逆.證明：原式可以分解為A(I-A)