想要探索自然界的奧秘就得解微分方程第二篇數(shù)學(xué)物理方程參考書：R.Haberman著，郇中丹等譯，《實(shí)用偏微分方程》（原書第四版），機(jī)械工業(yè)出版社，20072023/7/21第七章數(shù)學(xué)物理方程的定解問題在數(shù)學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和模擬。———拉普拉斯2023/7/22一、數(shù)學(xué)物理方程(泛定方程):物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示

物理現(xiàn)象物理量u

在空間和時(shí)間中的變化規(guī)律，即物理量u在各個(gè)地點(diǎn)和各個(gè)時(shí)刻所取的值之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)語言描述泛定方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無關(guān)。數(shù)學(xué)物理方程：從物理問題中導(dǎo)出的函數(shù)方程，特別是偏微分方程和積分方程。重點(diǎn)討論：二階線性偏微分方程。例：牛頓第二定律反映的是力學(xué)現(xiàn)象的普遍規(guī)律，跟具體條件無關(guān)。2023/7/23三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程擴(kuò)散方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程2023/7/2451邊界問題---邊界條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為邊界條件2歷史問題----初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為初始條件例：一個(gè)物體做豎直上拋，一個(gè)物體斜拋。不同的初始條件→不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。三、定解問題

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個(gè)物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的特殊性，即個(gè)性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問題的共性。二、定解條件2023/7/26具體問題求解的一般過程：1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律．2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和初始條件——求解所必須的已知條件．3、求解方法——行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數(shù)法和變分法2023/7/27.1數(shù)學(xué)模型（泛定方程）的建立建模步驟：（1）明確要研究的物理量是什么？從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用。（2）研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？（3）按物理定律寫出數(shù)理方程（泛定方程）。2023/7/27

(一）均勻弦橫振動(dòng)方程

現(xiàn)象描述（如圖）

：沿x軸繃緊的均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置(x軸)附近產(chǎn)生振幅極小的橫向振動(dòng)

目的：建立與細(xì)弦上各點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律相應(yīng)的方程

設(shè)定:

(1)弦不振動(dòng)時(shí)靜止于x軸;

(2)用u(x,t)表示t時(shí)刻弦上任一點(diǎn)x在垂直于x軸方向上的橫向位移（偏離）情況弦的橫振動(dòng)2023/7/28

選取不包括端點(diǎn)的一微元[x,x+dx]弧B段作為研究對(duì)象.研究對(duì)象:(4)設(shè)單位長度上弦受力F(x,t)，線力密度為：假設(shè)與近似：(1)弦是柔軟的(不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向(2)振幅極小,

張力與水平方向的夾角1和2

很小，僅考慮1和2的一階小量，略去二階小量(3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略質(zhì)量線密度，u(x)u+duu012T2T1xx+dxFB2023/7/29B段弦的玻原長禁近似愿為dx.振動(dòng)丈拉伸振后：u(x)u+duu012T2T1xx+dxBFB段的質(zhì)紀(jì)量：弦長dx，質(zhì)量漁線密菜度，則B段質(zhì)量m=dx物理領(lǐng)規(guī)律夏：用牛攪頓運(yùn)捐動(dòng)定追律分法析B段弦的散受力立及運(yùn)公動(dòng)狀掃態(tài)：牛頓路運(yùn)動(dòng)騰定律宏：20押23炭/6仆/2紛710①沿x-方向：弦橫剃向振鍛動(dòng)不丘出現(xiàn)x方向壁平移偷，得力平臣衡方星程②沿嗽垂直貴于x-軸方廊向：由牛過頓運(yùn)級(jí)動(dòng)定脆律得運(yùn)動(dòng)?jì)D方程在微減小振闊動(dòng)近委似下孝：由（1）式，琴弦中爬各點(diǎn)倦的張躬力相協(xié)等u(x)u+duu012T2T1xx+dxBF（1）（2）20囑23泡/6艷/2臥711波動(dòng)肚方程咸：波速a受迫狡振動(dòng)卸方程單位朝質(zhì)量謊弦所戲受外悲力，漆線力奧密度令……件…一維悅波動(dòng)傷方程20撇23摔/6畜/2熊712……緣瑞…一維眾波動(dòng)壘方程--悼--島--非齊絞次方久程--猴--身--齊次零方程忽略疏重力瓣和外麗力作塊用：如考亦慮弦貨的重倍量：u(x)u+uu012T2T1xx+xBF沿x-方向鬼，不厭出現(xiàn)埋平移沿垂妹直于x-軸方嗽向（1）（2）因?yàn)楹Y：所以亡有：討論薦：20腥23甲/6寒/2凍713（二冷）輸栽動(dòng)問陸題--擴(kuò)散舅問題擴(kuò)散享現(xiàn)象：系統(tǒng)義的濃爬度不均霧勻時(shí)租，將粱出現(xiàn)突物質(zhì)掏從高川濃度柱處向城低濃閣度處點(diǎn)轉(zhuǎn)移我的現(xiàn)大象，刃稱之梅為擴(kuò)散。①擴(kuò)散鑰定律最即裴隔克定婚律：這是臘一條溝實(shí)驗(yàn)剝定律數(shù)學(xué)蠅建模畜：建立孝空間允各點(diǎn)濃度u(x,腎y,知z,剪t)的方通程物理歸規(guī)律持：以擴(kuò)社散定筐律和禮粒子脆數(shù)守蛋恒定嘴律為室研究卻基礎(chǔ)②粒弦子數(shù)拌守恒定律善：單位下時(shí)間襯內(nèi)流佛入某室一體拼積的粒子燭數(shù)與攪流出太這一描體積線的粒職子數(shù)簽之差傳等于袍此體打積內(nèi)的并單位昨時(shí)間盾內(nèi)粒聞子數(shù)究的增退加量處理宜方法婆：在濃度辱不均臨勻的聲無源撓空間仿，劃出任一塔小立腳方體V為研橫究對(duì)姜象，坐分析坑濃度館變化僵規(guī)律。20攜23狹/6播/2拐714濃度不均勻:用濃度梯度

表示；擴(kuò)散流強(qiáng)弱（強(qiáng)度）：用單位時(shí)間通過單位面積的物質(zhì)的量表示；擴(kuò)散搬（裴遺克）咳實(shí)驗(yàn)摸定律童：擴(kuò)散雹系數(shù)設(shè)定患：處理飼方法注：在濃度想不均餐勻的生無源半空間翻，劃出任一孤小立橋方體V為研躁究對(duì)缺象，汗分析凝濃度災(zāi)變化印規(guī)律。擴(kuò)散隆流強(qiáng)丑度與晝濃度終梯度籃間關(guān)押系：采用盜裴克斬實(shí)驗(yàn)紐奉定律換確定體元Ｖ內(nèi)粒潔子數(shù)餐：20本23毅/6伯/2愈715考察欄沿x-方向貴擴(kuò)散逃流情吹況：單位贏時(shí)間紛沿x-方向之凈流朝入量同理暢沿y和沿z方向諷凈流構(gòu)入量由粒掉子數(shù)響守恒鉤定律欠，有負(fù)號(hào)萄表示絕擴(kuò)散仗方向騰與濃孤度梯苦度方托向相宣反單位理時(shí)間棒內(nèi)向V的凈先流入物量下面豈由粒督子數(shù)經(jīng)守恒易定律杜建立V內(nèi)粒壩子數(shù)胃變化絞規(guī)律鼓。單位晚時(shí)間春內(nèi)V內(nèi)粒壯子數(shù)躬的增醋加量20譜23查/6腎/2漲716如果擴(kuò)散脂是均傘勻的,即D是一唇常數(shù)甚，則仰可以碗令D=a2，則有代入鄉(xiāng)豐擴(kuò)散鑄定律三維幫擴(kuò)散辜方程如果米所研究抓的空齡間存走在擴(kuò)中散源跳，源乎強(qiáng)度珠與u(x,茂y,蹦z,擠t)無關(guān)剩，且為F(x,淺y,拜z),這時(shí)坡擴(kuò)散傳方程歪修改始為如果趁所研究對(duì)的空頸間存孕在源脆，源蠅強(qiáng)度侮與u(x,桃y,犁z,狗t)成正禽比，即F(x,酸y,役z)=b2u(x,坡y,繼z)這時(shí)悄擴(kuò)散壞方程惰修改綢為討論歌：20統(tǒng)23匹/6拋/2欄717密度誤場：攻密度圖在空架間的低分布襯構(gòu)成工一個(gè)館標(biāo)量橡場。有擴(kuò)洽散源蝴時(shí)系促統(tǒng)的季密度魚場滿榨足非齊感次擴(kuò)譜散方律程穩(wěn)定靜狀態(tài)涌：密皆度u不隨仆時(shí)間企變化換，則泊松航方程無擴(kuò)忘散源謝：F=0拉普幻玉拉斯統(tǒng)方程（三擱）泊擦松方襲程或栗拉普估拉斯淡方程:穩(wěn)定省場問跨題20庫23螞/6躍/2南718例1熱傳湖導(dǎo)所要辯研究陣的物府理量文：溫度物理純規(guī)律：采粱用傅玻里葉敬實(shí)驗(yàn)極定律熱傳耍導(dǎo)現(xiàn)類象：當(dāng)襲導(dǎo)熱斬介質(zhì)品中各俗點(diǎn)的兩溫度曾分布語不均烏勻時(shí)司，有熱量罷從高汽溫處榴流向銳低溫勝處。數(shù)學(xué)崖建模：傅里斑葉定諷律：溫度不均勻:用溫度梯度表示；傳熱的強(qiáng)弱即熱流強(qiáng)度：用單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的熱量表示；設(shè)定灘：沿曲遣面法峰向流遵出熱檔量：熱傳甲導(dǎo)系榮數(shù)20窄23礎(chǔ)/6腹/2種719②有滴限時(shí)然間內(nèi)即時(shí)呢刻t1到t2通過智閉曲趁面S流入V的熱乒量為高斯軍公式莫（矢進(jìn)量散賭度的議體積波分等燒于該呢矢量搏對(duì)包沫圍該驅(qū)體積挪的面腳積分隸）熱場處理嫩方法插：在溫度不煎均勻段的無餐源空懇間，尖劃出破任一刃封閉煙曲面S包圍執(zhí)的體積需元V（如唯圖）。①在S上選扇取任允一足驕夠小果的微肚面元dS，在此山面元遇范圍蓋內(nèi)熱貫流強(qiáng)蹈度近泥似為扮常量扁。那么在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為(向?yàn)檎?：20殊23蔽/6飲/2魔720③流入店的熱殃量導(dǎo)鋒致V內(nèi)的倘溫度攔發(fā)生沈變化流入覺的熱咽量：④溫度郵發(fā)生辟變化麥需要腥的熱辜量(c比熱多容，ρ質(zhì)量番密度)：熱傳筒導(dǎo)方鐵程熱場如果卵物體石內(nèi)有宜熱源績，則心溫度強(qiáng)滿足非齊蘆次熱蓋傳導(dǎo)踐方程總結(jié)驢：熱哨傳導(dǎo)頌：熱虧量的棍傳遞標(biāo)；擴(kuò)婆散：仗粒子盞的運(yùn)令動(dòng)，悠兩者本陵質(zhì)不的同，乒但滿懲足同魯一微震分方避程20綠23父/6捕/2幟721例2靜電錦場電蛙勢問手題。介質(zhì)方程:其中:高斯定理:環(huán)路定理:物理餃規(guī)律：由電躺磁學(xué)獵可知亭，靜融電場倍滿足多靜電膜學(xué)高塌斯定減理、溫環(huán)路技定理堤和介早質(zhì)方局程。數(shù)學(xué)笑建模：建撐立電紐奉勢u(x,忍y,激z)與電及荷密姨度ρ(x,y,z)的關(guān)濫系。由電場的高斯定理物理換問題：在介存電常肅數(shù)為ε的介餃質(zhì)空間，存繡在電皺荷分膝布ρ(x,y,z)?激發(fā)公電場?形成擺電勢健分布u(x,喝y,特z)。20升23縣/6勇/2褲722若空間無電荷，即電荷密度，上式成為稱這弦個(gè)方霜程為拉普躲拉斯臥方程.由電頑場的炎環(huán)路懶定理走，可勤知靜禁電場輪是一扒個(gè)保葬守場.由保秤守場的介性質(zhì)滔，引入漆電勢u,且電場卷是電蠟勢梯攤度的微負(fù)值，即：進(jìn)一倡步對(duì)矛電場年取散殲度，叨有：泊松呀方程設(shè)電偽勢為:u(x,冶y,闊z)。20氧23唱/6木/2找723§7他.13.策4.本講抖作業(yè)20舅23氧/6墳/2莖7247.曬2定解電條件數(shù)學(xué)晝物理搏方程扯的定作解在給貪定的銜邊界頓條件捧和初菠始條敞件下躲，根珍據(jù)已床知的紋物理吩規(guī)律降，在品給定棕的區(qū)盟域里剃解出取某個(gè)魚物理乓量u，即求u(x,y,z,t)。1數(shù)學(xué)姜物理狹方程：不帶填有邊義界和放初始尿條件伙的方部程稱公為泛樓定方副程。它反扣映了甘問題方的共透性。2定解害條件：邊界算條件喇和初拳始條樣件的撕總體胃。它反撇映了泡問題宏的特德殊性號(hào)，即館個(gè)性歇。20陡23殖/6艘/2改725初始誰時(shí)刻錘的溫勤度分情布：B、熱決傳導(dǎo)餡方程翠的初花始條瞎件C、泊喜松方瓦程和員拉普卷拉斯匆方程陷的初寨始條醉件A、波動(dòng)托方程膊的初鋤始條輕件——描述兔系統(tǒng)擁的初藏始狀賓態(tài)系統(tǒng)路各點(diǎn)靠的初戒位移系統(tǒng)惕各點(diǎn)叨的初室速度（一許）落初始油條件波動(dòng)獲方程兼含有桿時(shí)間宿的二車階導(dǎo)爭數(shù)，裁所以質(zhì)需二糊個(gè)初裝始條色件熱傳育導(dǎo)方年程含轟有時(shí)宋間的芳一階爬導(dǎo)數(shù)濁，所用以需餓一個(gè)視初始沫條件此類嗎導(dǎo)方紐奉程不久含時(shí)揉間的鞭導(dǎo)數(shù)其，所艱以不壯需要旦有初奇始條舊件20竄23鳥/6布/2每726和是空芝間坐踐標(biāo)的誘函數(shù)注意：初功始條啞件給墊出系津統(tǒng)在音初始膊狀態(tài)氏下物兆理量及的分煮布，渾而不虛是某聞一位簽置處句的情晚況。例１：一根長為l的弦，兩端固定于0和l。在中點(diǎn)位置將弦沿著橫向拉開距離h

，如圖所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。

l

x

l/2h解：初始挨時(shí)刻積就是座放手駱的那給一瞬體間，誦弦的事形狀旁如圖噴所示,且弦斯處于壯靜止蜓狀態(tài)億，即鼻有方應(yīng)程初始禿位移··初始奪速度20伸23劉/6肝/2燒727（二外）邊池界條信件定義翻：系統(tǒng)雙的物社理量牙在邊芬界上版具有及的情湖況。A.第一豆類（斗狄利耳克雷馳）邊沾界條傻件給出遇未知泄函數(shù)赤在邊界懲上的側(cè)函數(shù)辰值。例2：兩虹端固希定的材弦振務(wù)動(dòng)時(shí)蟻的邊彼界條篩件：和常見任的線準(zhǔn)性邊樸界條車件分啞為三引類：20肢23剩/6遙/2沫728例3：細(xì)勵(lì)桿熱艙傳導(dǎo)細(xì)桿月在x=標(biāo)l端的肉溫度隨時(shí)仁間變隔化,設(shè)溫炕度變講化規(guī)掠律為f(t),邊界泥的數(shù)繳理方百程細(xì)桿x=仍l端的悔溫度腎處于壁恒溫然狀態(tài),邊界管的數(shù)峰理方減程第一盲類邊眾界條造件的字基本排形式略：20至23衡/6共/2脾729B.第二殲類（包諾伊撕曼）伸邊界論條件例4：細(xì)桿榮熱傳科導(dǎo)我們怨用傅石里葉(熱傳蒜導(dǎo))定律所來建溫立邊痰界的丘數(shù)學(xué)坡物理喇方程.傅里抽葉實(shí)夏驗(yàn)定觸律:單位行時(shí)間更內(nèi),通過斤單位測面積四的熱死流為給出疼未知過函數(shù)揀在邊宏界上帆的法線誕方向店的導(dǎo)愉數(shù)之端值。第二咽類邊足界條章件的床基本勝形式鎖：細(xì)桿x=a端點(diǎn)模絕熱殲的邊界騎條件腳：設(shè)細(xì)蔽桿沿x軸方飾向,則一圣維傅里壺葉實(shí)古驗(yàn)定旗律改拘寫為其中u是所馬在位幟置處川物體咳的k是傳暮熱系殖數(shù)。細(xì)桿x=a端點(diǎn)揚(yáng)有熱皮流kf(t)流出魂的邊界候條件仁：20朽23其/6脊/2權(quán)730（3）.第三俱類（丑混合槽）邊股界條添件１牛頓蔬冷卻耐定律夏：單馬位時(shí)副間內(nèi)孩，通販過物掌體單跪位表哈面流向入周粉圍介欠質(zhì)的斜熱流昌（即流這出熱構(gòu)流）為式中u是物敢體表答面的蜓溫度授，是周窮圍介桶質(zhì)的強(qiáng)溫度龜，h是熱妨交換嘩系數(shù)蛛。在一己維情送況下疑，牛頓笑冷卻庸定律額簡化增為２一香維傅里痛葉實(shí)累驗(yàn)定厘律先引枕入兩維個(gè)基比本物雙理定腹律：20托23爪/6鍵/2葡731例5：寫出導(dǎo)熱悄細(xì)桿l端“掙自由籌”冷劫卻的廁邊界變條件陜。根據(jù)熱傳胡導(dǎo)定緩律，在x=l處：負(fù)x方向正x方向在x=0處：流出驗(yàn)熱流茫強(qiáng)度由牛頓槍冷卻側(cè)定律，此流出串熱量剝與細(xì)擠桿和朋外界罩的溫鎮(zhèn)度差德成正脾比，仇即即：討論遙：如蹈圖情倡況x20梁23壓/6冠/2胃732例6：細(xì)桿妨縱振脅動(dòng)：端點(diǎn)花與固撕定點(diǎn)峽彈性漿連接碌。應(yīng)留力為殊彈性訊力胡克訴定律脖：彈性育力：則在凱端點(diǎn)這些塞是最槽常見臨的線許性邊薦界條兄件，虎還有柴其它替形式秤。（三缺）銜透接條公件系統(tǒng)蓬中可陽能出芽現(xiàn)物優(yōu)理性館質(zhì)急殃劇變害化的捧點(diǎn)(躍變傻點(diǎn))。如表兩節(jié)渴具有合不同稼的楊膠氏模陣量的抬細(xì)桿爺在x=0處連寫接，停這一錯(cuò)點(diǎn)就佛是躍需變點(diǎn)貸。躍障變點(diǎn)悠兩邊垂的物屯理過販程因刻此不雪同。叔但在遠(yuǎn)躍變叔點(diǎn)，某些手物理浪量仍午然可弟以是咱連續(xù)災(zāi)的，這得就構(gòu)栽成銜接柿條件。第三分類邊遇界條休件的助基本迫形式案：20皇23相/6才/2稅733這兩噴個(gè)等滑式就事是構(gòu)張成兩倦段銜接棕的是銜接沖條件。②折悼點(diǎn)處，橫巡壽向力回應(yīng)與赴張力朵平衡饑：即12①折點(diǎn)處位移極限值相同。弦在折點(diǎn)x0的左右斜率不同。即斜后率有籠躍變?nèi)?，則uxx在折芒點(diǎn)x0不存濁在，目也即戴此點(diǎn)館處弦妙振動(dòng)質(zhì)方程林不成減立。肚只能絨把弦護(hù)以x0為界鍋分為懲二段搬。例7橫向網(wǎng)力F(t)集中瘦作用盤于弦艘上x0點(diǎn),使x0點(diǎn)成兔為折大點(diǎn)（須如圖中）。但二折段是鞭同一腐根弦發(fā)，它艷們間經(jīng)相互答關(guān)連雷。因爪此要臨建立榮此關(guān)冊系：20襯23廚/6饒/2包734例8長為l的弦即在x=0端固需定，塘另一蕉端x=l自由薄，且在致初始踐時(shí)刻t=0時(shí)處頓于水適平狀浪態(tài)，奶初始蛋速度渾為x(l-x)，且岡已知竹弦作氣微小稠橫振巖動(dòng)，棍試寫錘出此炸定解息問題.[解]（1）確母定泛暈定方尤程：取弦的水平位置為軸，為原點(diǎn)，弦作白自由衣（無脂外力磚）橫虛振動(dòng)酸，所垂以泛域定方剛程為蛾齊次盜波動(dòng)梳方程(2瘦)確定慚邊界酸條件對(duì)于劈燕弦的芳固定仙端，薪顯然折有u(x,t)|x=0=0跡,ux(x,t)|x=l=0另一穗端自麗由，性意味肝著弦府的張羅力為熔零．嚼則20林23鑄/6樣/2刃735(3雜)確定僻初始刊條件根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零初始橋速度綜上職討論譯，故牢定解家問題味為20金23量/6齊/2親736例9在均罰勻靜瘦電場E0中置莊入半庫徑為R0的導(dǎo)岸體球愁，若推導(dǎo)體球接滿有穩(wěn)帖恒電黑池，樓使球齊與地蛋保持球電勢識(shí)差u0。試寫今出電淺勢u滿足的薪泛定裙方程哈與定合解條肝件。解：選z軸沿喉均勻欣外電餃場E0的方倆向，弊見圖1。0z(a)0Z(b)（圖1）20已23記/6樣/2驅(qū)737設(shè)球離內(nèi)外隱電勢偉分別辮用u0、u1表示。（1）泛定勻方程。因?yàn)槠鸪蚪幻嫔?R刑=R0)有自杯由電翁荷分布茄外，球內(nèi)地外的ρf=0，故（2）定解凡條件給出煎球面忽與無津限遠(yuǎn)煌最勢暢滿足奶的規(guī)顯律。球面助處：球面紫上電貪勢連恒續(xù)，腔即有釀邊界壩條件0z(a)0Z(b)（圖1）20廳23劣/6廁/2透738現(xiàn)在肌計(jì)算粱上式屬從Ｒ＝０到∞的積艦分。吩由于乞在靜燈電場驕中，歪上式裙的積稱分與自積分目的路浸線無僚關(guān)，祖故可組取積濤分路赴線l為直乓線，薯如圖(1挺)所示急。將E０co權(quán)sθ作為銀常數(shù)細(xì)提出風(fēng)積分讀號(hào)外吊，并向?qū)(R0)=u0代入副，便減有邊替界條畜件無限浩遠(yuǎn)處愛：可以敘把導(dǎo)體霞表面耍有限繩的電童荷分脾布產(chǎn)涉生的盟電勢扇和電知?jiǎng)輚0看成放點(diǎn)電嫌荷和宅點(diǎn)電勢駁源,由于里點(diǎn)電消荷在丘無限刃遠(yuǎn)處朋的貢巾獻(xiàn)可知以忽商略不私計(jì)，雞故可拐把目映前問竄題簡星化為憂點(diǎn)電惜勢在也空間劇的分籌布問稅題。對(duì)于逐點(diǎn)電笛勢，李隨著劈燕離開遵點(diǎn)勢薄源的陰距離l的增輕加,電勢劑是減掌少的,由圖(1破)可得20隆23遠(yuǎn)/6鑒/2蔥739§7狼.21.允3.嘩5.使7本講浸作業(yè)20泳23逗/6霉/2托740(一)線性紡二階吃偏微魔分方錘程(1烤)偏微趣分方潔程含有雪未知鞏多元榆函數(shù)盤及其姨偏導(dǎo)索數(shù)的局方程獻(xiàn)，如其中是未知多元函數(shù)，而

是未知變量；為的偏導(dǎo)數(shù).有時(shí)辨為了廚書寫方誼便，類通常奏記7.融3數(shù)學(xué)睜物理愿方程勢的分都類*20伐23占/6葵/2很741(2夾)方程霞的階偏微活分方廚程中梢未知禽函數(shù)灘偏導(dǎo)帽數(shù)的咳最高勢階數(shù)術(shù)稱為泊方程襯的階摔．(3呀)方程敬的次策數(shù)偏微茶分方形程中演最高侮階偏禾導(dǎo)數(shù)雪的冪論次數(shù)蘇稱為顏偏微蜜分方模程的織次數(shù)烤．(4訴)線性州方程一個(gè)王偏微牢分方外程對(duì)旅未知房誠函數(shù)路和未宏知函往數(shù)的圣所有賊（組價(jià)合）壞偏導(dǎo)木數(shù)的冪次晴數(shù)都是睛一次繳的，個(gè)就稱榜為線有性方很程，令高于林一次貫以上期的方屢程稱洲為非窮線性茂方程轟．(5盡)準(zhǔn)線陜性方白程一個(gè)襪偏微餃分方械程，饑如果癢僅對(duì)抽方程臉中所供有最高階融偏導(dǎo)樂數(shù)是蔑線性掀的，足則稱帖方程告為準(zhǔn)灶線性嫂方程罷．(6辣)自由剩項(xiàng)在偏枯微分秀方程死中，脖不含叢有未閣知函丹數(shù)及真其偏臭導(dǎo)數(shù)刮的項(xiàng)稱丘為自冤由項(xiàng)勒．20鈴23債/6閑/2傷742（7）方功程的適通解如：二階線性非齊次偏微分方程的通解為其中是兩個(gè)獨(dú)立的任意函數(shù)．若函數(shù)的具體形式給定，則得到方程的特解。（8）方掛程的滔特解方程顯的解覺含有任意青元素（即梳任意計(jì)常數(shù)膊或任緞意函儲(chǔ)數(shù)）20室23蔑/6代/2興7431.二階唉線性怒偏微嘩分方熔程的綿一般鉆形式a11,a12,a22,b1,b2,c,f只是x串,高y的函驕數(shù)。f嚴(yán)0方程地為齊次的;否則,為非齊躺次的.疊加俯原理定解農(nóng)問題粥的解鄉(xiāng)豐可以損看作浪幾個(gè)孫部分希的線早性疊郵加，溜只要抵這些剪部分屢各自揉所滿漠足的魄泛定寒方程郊和定負(fù)解條到件的釋相應(yīng)思的線妻性疊奔加正凝好是懂原來教的泛撲定方排程和陽定解巡壽條件栗。泛定秀方程據(jù)、定豬解條草件都針是線從性(二)二階濱線性皂偏微吹分方貍程的眨分類20隙23蘆/6外/2哄7442.二階質(zhì)偏微捎分方聰程的錯(cuò)化簡作變旁換：為使旬變換斤非奇踢異，見其雅服克比底行列征式滿劈燕足變換櫻運(yùn)算有即20絲式23裁/6蒸/2沙745采用秋新變縫量后旱的方受程其中20旅23晶/6專/2蘆746注意A11和A22形式若相同置，ξ和η用z表示費(fèi)，如偷果則有（或）注意到二階欲線性補(bǔ)偏微印分方痛程的特征石方程特征滿方程柔的根蓬為：通過焰求解主此微繼分方輩程可豆以得渣到變詠換函垂數(shù)（特征獄線），從劈燕而線獨(dú)性偏凱微分舉方程論得以示簡化滔。20幣23再/6巾/2際747定義驕：1.當(dāng)判別式以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解

時(shí)，從特征方程可也就頸是說念，偏盜微分念方程(1睬)有兩條旨實(shí)的考特征萌線．于朽是取方程家可化敵為：作為午新的耕自變芹量，呀此時(shí)兼有：20習(xí)23芹/6咸/2葉748或者謠進(jìn)一苗步作比變換于是倦有所以又可拖以進(jìn)榜一步吧將方瓶程化自為形式．我律們前反面建賭立的巡壽波動(dòng)河方程妹就屬破于此六類型畜．這種碰類型若的方蒼程稱劣為雙曲桑型方錘程，是雙壟曲型確方程螺的標(biāo)準(zhǔn)20蜘23衡/6杯/2薯7492．當(dāng)潤判別促式時(shí)：嘩這時(shí)腥方程茫重根特征澡線為一條馳實(shí)特性征線作變?nèi)紦Q任意塑選取搭另一榜個(gè)變愚換，只要唱它和彼此行獨(dú)立掘，即惹雅可淘比式20摔23清/6聯(lián)/2僅750方程訂可化皮為：此類黨方程番稱為拋物性型方糕程．熱煤傳導(dǎo)湯（擴(kuò)芹散）拿方程甲就屬障于這種秧類型跳．20碎23情/6出/2薪7513.當(dāng)判逝別式面的承討論禾，只詳不過嘆得到皂的時(shí)：警可以砌重復(fù)景上和是一對(duì)共軛昂的復(fù)函岔數(shù)，蹲或者彼說，兩條撈特征庸線是啞一對(duì)共軛論復(fù)函篩數(shù)族:是一嗎對(duì)共躲軛的撥復(fù)變史量．估進(jìn)一寄步引搬進(jìn)兩宿個(gè)新魄的實(shí)予變量于是20優(yōu)23躁/6仍/2鈴752所以方程毒進(jìn)一膜步化督為這種潔類型亞的方戚程稱秤為橢圓蛾型方屈程．拉耍普拉演斯(L咸ap脅la或ce頭)方程服、泊偉松(P藝oi菌ss抱on宴)方程薪和He格lm納ho膊lt撓z方程偏都屬購于這益種類敬型．20由23盲/6靜/2雨753小結(jié)哄：=水a(chǎn)212－a11a22判別惠式>值0雙曲活型=這0拋物變線型<反0橢圓董型波動(dòng)永方程光（一他維）例熱傳釋導(dǎo)方揮程（茂一維震）拉普晨拉斯魂方程民（二角維）穩(wěn)定盆場方任程波動(dòng)死方程熱傳拍導(dǎo)方磨程20悄23密/6鋼/2慶754例9判斷欣下面莊方程散的類攻型解（1）因?yàn)檎Q判別苗式故方緒程為纖雙曲傅型故方敞程為楊橢圓鞏型(1保)(2珍)（2）因?yàn)槲膛袆e比式20蜘23破/6皇/2亞7557.胞4達(dá)朗蚊貝爾恭公式渣行禁波解這是亂一種娛類似茂于常反微分麗方程疼方程舉求解可的方嗎法，朗這種社方法被解波絞動(dòng)方倒程的基本首思想礦是：先求浸出偏晴微分也方程清的通稈解，頭然后溪用定拉解條傭件確晚定特準(zhǔn)解。關(guān)鍵且步驟：通坐過變漿量變慨換，庭將波雹動(dòng)方煮程化爭為便勤于積蓄分的姐齊次邊二階鉛偏微抹分方倍程。（一龍）達(dá)益朗貝熄爾公望式思路法：20拘23榨/6趕/2緣瑞756引入容新變亂量：采用荷復(fù)合向?qū)?shù)房誠求導(dǎo)濃法類似仔地即：20住23壩/6伸/2評(píng)757(1)通解對(duì)積分：積分常數(shù)依賴于再積綢分：f2(x-at)是以貝速度a沿x軸正蠅方向真運(yùn)動(dòng)挺的行透波,f1(x+at)是以綿速度a沿x軸反臣方向安運(yùn)動(dòng)狹的行堤波。20蕉23缸/6產(chǎn)/2盯758確定京待定劇函數(shù)沿的形油式無限忘長，瞎即無敏邊界繩條件設(shè)初總始條別件為和(2派)達(dá)朗銅貝爾辟公式20他23煤/6頓/2君759設(shè)初篩速度挑為零由達(dá)寧朗貝劈燕爾公學(xué)式x1x2t=0t1t2t3t4