線性代數(shù)輔導(dǎo)第一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三行列式的概念第一部分行列式主要內(nèi)容二階行列式：三階行列式:第二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三(2)對角線法則注意紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號．說明對角線法則只適用于二階與三階行列式．第三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三由個(gè)數(shù)構(gòu)成的，記作階行列式第四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三行列式的性質(zhì)與計(jì)算性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式變號.推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零.推論行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面.性質(zhì)3行列式的某一行（列）中的所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.第六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)4行列式如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零.性質(zhì)6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變.性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則等于兩個(gè)行列式之和.第七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三定義在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作.叫做元素的代數(shù)余子式.第八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三定理2行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

推論

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即或,,第九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三4.

克萊姆法則

如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，即第十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三那么，方程組(1)有唯一解

,…,,其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即第十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三定理3如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式，則(1)一定有解，且解是唯一的.定理3′如果線性方程組（1）無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.定義5線性方程組（1）右端的常數(shù)項(xiàng)不全為零時(shí)，線性方程組（1）叫做非齊次線性方程組，當(dāng)全為零時(shí)，線性方程組（1）叫做齊次線性方程組.第十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三對于齊次線性方程組(2)一定是它的解，這個(gè)解叫做齊次線性方程組（2）的零解.如果一組不全為零的數(shù)是（2）的解，則它叫做齊次線性方程組(2)的非零解.第十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三定理4如果線性方程組（2）的系數(shù)行列式，則齊次線性方程組（2）沒有非零解.定理4′如果線性方程組（2）有非零解，則系數(shù)行列式必為零.

第十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第二部分矩陣叫做m行n列矩陣（簡稱m×n矩陣），記為．其中叫做矩陣A的第i行第j列元素．1．矩陣的定義由m×n個(gè)數(shù)排成m行n列的數(shù)表第十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三當(dāng)m=n時(shí)，矩陣A稱為n階矩陣或n階方陣．n階矩陣與n階行列式是兩個(gè)截然不同的概念．只有一行的矩陣稱為行矩陣或行向量;只有一列的矩陣稱為列矩陣或列向量．行數(shù)、列數(shù)均相等的矩陣稱為同型矩陣．設(shè)與是同型矩陣，且（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n），則稱它們相等，記作A=B．第十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三2．特殊矩陣設(shè)中每個(gè)元素都是零，則稱它為零矩陣，記作或O．

時(shí)，稱為n階單位矩陣，記作En或E．設(shè)方陣中，（），則稱A為對角矩陣，記為；特別地，當(dāng)時(shí)，即第十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三形如的n階方陣A稱為上三角形矩陣．形如的n階方陣稱為下三角形矩陣．第十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三矩陣的運(yùn)算1.矩陣相加2.數(shù)乘矩陣3.矩陣相乘第十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三特別注意矩陣乘法的下列特性(1)矩陣乘法無交換律，即AB≠BA；特別地，EA=AE=A，即單位矩陣在矩陣乘法中相當(dāng)于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用，注意這里的兩個(gè)單位矩陣可能不同階。(2)若AB=O，絕不能認(rèn)為必然有A=O或B=O．例如,,(3)矩陣乘法無消去律，即若

AB=AC，絕不能認(rèn)為必然有

B=C．

第二十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三4.矩陣A的行列式，記作|A|或detA．特別注意｜A±B｜≠｜A｜±｜B｜A≠｜A｜|AT|=|A|，|A|=

|A||AB|=|A||B|=|B||A|矩陣的行列式滿足（設(shè)A、B為n階方陣，為數(shù)）第二十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三5.矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)，

稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT．則矩陣矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算律（設(shè)運(yùn)算均可行）(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT;(kA)T=kAT滿足條件AT=A的矩陣A稱為對稱矩陣（其元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等）．滿足條件AT=-A的矩陣A稱為反對稱矩陣．第二十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三6．逆矩陣定義:設(shè)A為n階方陣，若存在同階方陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣A可逆，稱B為A的逆矩陣，記為A－1=B．若A是可逆的，則它的逆矩陣A－1存在且唯一．方陣A可逆的充分必要條件是|A|≠0．運(yùn)算律:設(shè)A、B均是同階可逆矩陣，則(A－1)－1=A；(AB)－1=B－1A－1AT

也可逆，且(AT)－1=(A－1)T

第二十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三７．伴隨矩陣設(shè)A為n階矩陣，稱為A的伴隨矩陣對于任何一個(gè)n階矩陣A與其伴隨矩陣A*都有AA*=A*A=|A|E由此可見，A*可逆的充要條件是A可逆．第二十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三８．矩陣的秩(1)矩陣的階子式在矩陣中,任取行列,位于這些行列交叉處的個(gè)元素,按原來它們在A中所處的位置而得到的階行列式,稱為的階子式.（2)矩陣的秩設(shè)在矩陣中有一個(gè)不等于0的r階子式D,且所有r+1階子式(如果有的話)都等于0,則稱D為矩陣A

的最高階非零子式,數(shù)r稱為矩陣A的秩,記作R(A).9.矩陣的初等變換(1)交換矩陣的兩行或兩列;(2)用一個(gè)非零數(shù)k乘以矩陣的某一行或某一列;(3)把矩陣某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第二十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三10.初等方陣單位矩陣施行一次初等變換而得到的矩陣稱為初等方陣.11.等價(jià)矩陣矩陣A經(jīng)過初等變換而得到矩陣B,稱矩陣A與矩陣B等價(jià),記作A~B.重要結(jié)論存在階可逆矩陣和階可逆矩陣,使得.設(shè)是矩陣,秩,則第二十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三典型例題解第二十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第二十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第三部分向量組的線性相關(guān)性

1.

維向量及其運(yùn)算

2.線性組合與線性表示(1)線性組合設(shè)是一維向量組，是一組實(shí)數(shù)，稱是A的一個(gè)線性組合．第二十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三3線性相關(guān)性的概念及結(jié)論(1)線性相關(guān)、線性無關(guān):設(shè)為個(gè)維向量,若存在個(gè)不全為零的數(shù),使，則稱線性相關(guān)．若由可推出全為零，則稱線性無關(guān).第三十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三(2)維向量組線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示；含有零向量的向量組一定線性相關(guān)．

(4)n維向量組線性相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組有非零解．其中.特別地時(shí),線性相關(guān)的充要條件是．

(3)線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則可由唯一線性表示．第三十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三例設(shè)向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)．令則有由向量組線性無關(guān)得，由第三十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第四部分線性方程組1．基本概念稱為n個(gè)未知量m個(gè)方程的線性方程組，第三十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三不全為0時(shí)，稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)全為0時(shí)，稱(1)為齊次線性方程組．稱

(2)為（1）對應(yīng)的齊次線性方程組或?qū)С鼋M

第三十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三若記或，第三十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三則（1）可寫成矩陣形式

（3）或

（4）A稱為方程組（1）的系數(shù)矩陣，為方程組（1）的增廣矩陣.齊次線性方程組可表示為

或．注齊次線性方程組總有解；第三十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三2．解的性質(zhì)性質(zhì)1

若是的解則也是的解；性質(zhì)2

若是的解則也是的解；性質(zhì)3

的解的任一線性組合，還是的解；性質(zhì)4

若為的解，則為其導(dǎo)出組的解；性質(zhì)5

若為的解為其導(dǎo)出組的解，則為的解．第三十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三求非齊次方程組的通解方法(1)

對增廣矩陣作初等行變換，化為階梯形矩陣；(2)

求出導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(3)

求的一個(gè)特解（為簡便，可令自由變量全為0）；(4)寫出通解；其中為任意常數(shù)3．基本方法第三十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三例求解方程組解:施行初等行變換對增廣矩陣B第三十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第四十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第四十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第四十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第五部分相似矩陣及二次型1．正交向量組與正交矩陣（1）向量的內(nèi)積設(shè)維向量稱為向量與的內(nèi)積.特別地，當(dāng)時(shí)，稱向量與正交.第四十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三（2）向量的長度稱為維向量的長度（范數(shù)）.（3）正交向量組設(shè)為一組非零維向量，若它們兩兩正交，則稱為一正交向量組.第四十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三2．矩陣的特征值和特征向量（1）特征值與特征向量的概念設(shè)A是階方陣，如果數(shù)和維非零列向量使成立，則稱是方陣A的一個(gè)特征值，非零列向量是A的屬于特征值的特征向量.對可寫成如下形式這是個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式第四十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三此式是以為未知數(shù)的次方程，稱為方陣A的特征方程，其左端是的次多項(xiàng)式，記作,稱為方陣A的特征多項(xiàng)式，易見A的特征值就是特征方程的根.第四十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三（２）特征值和特征向量的求法①求特征方程的全部根,便得到A的全部特征值.②對于特征值，求它所對應(yīng)的齊次線性方程組的全部非零解,得到A的屬于的全部特征向量.第四十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三３．二次型及其矩陣表示（1）二次型的定義含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)稱為二次型.第四十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三取