線性代數(shù)幾何背景及應(yīng)用第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三一、方程及方程組的幾何意義二元一次方程在幾何上表示的是一根直線，則兩個(gè)二元一次方程組在幾何上則表示兩根直線的位置關(guān)系：

相交====〉有惟一解平行====〉無解重合====〉無窮多解

例1

求解下列三個(gè)線性方程組

（a）

（b）（c）第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三用ezplot(s1),holdon,ezplot(s2),命令可以解出結(jié)果如下圖其中s1和s2分別為方程的字符串表達(dá)式第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

若有三個(gè)二元一次方程或更多個(gè)數(shù)的二元一次方程，代數(shù)上稱之為“超定方程”，一般是不相容的和無解的，幾何中平面上三根或更多根直線很難交于一點(diǎn)。

例2求解方程組用圖解法解例2

第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

三元一次方程在幾何上表示平面，從而兩個(gè)三元一次方程構(gòu)成的方程組表示兩個(gè)平面的交線，三個(gè)三元一次方程構(gòu)成的方程組兩兩聯(lián)立求交線，得到兩個(gè)二元一次方程，對(duì)于求得兩根交線在xoy面上的投影。求得兩根交線的交點(diǎn)即為方程組的解。若三個(gè)平面不重合且沒有交線或交點(diǎn)，則表示該方程組無解。如下例。

第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三例3求解下列線性方程組，并畫出三維圖形來表示解的情況。（1）；（2）；（3）；（4）第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三利用MATLAB的M文件編輯器繪圖可得：

圖3三元非齊次線性方程組解的幾何意義第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

從圖3中可以看出：方程組（1）的解為三個(gè)平面的交點(diǎn)，故該方程組有唯一解；方程組（2）的三個(gè)平面剛好相交于同一條直線，這個(gè)齊次線性方程組有無窮多解，即解空間是一維的。方程組（3）的三個(gè)平面沒有共同的交點(diǎn)。即方程組無解。方程組（4）也無解。

第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

推廣之后，更多元的線性代數(shù)方程組，則表示更高維空間內(nèi)的方程組，雖然很難想象直觀的幾何圖形，但關(guān)于方程的基本概念是一脈相承的，涉及到計(jì)算就是從幾何概念過渡到代數(shù)概念。如：階數(shù)、維數(shù)等概念。第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三二、行列式的幾何意義二維已知向量由向量和所構(gòu)成的平行四邊形的面積為行列式的絕對(duì)值第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三三維已知三個(gè)向量

由這三個(gè)向量所構(gòu)成的平行六面體的體積即為

三階行列式的絕對(duì)值

如圖

第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三三、平面上線性變換的幾何意義例3

已知向量，

矩陣，，，

，。請(qǐng)分析經(jīng)過線性變換后，向量與原向量的幾何關(guān)系。第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三繪制圖形如下圖所示：

圖4線性變換的幾何意義第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

從圖4中可以看出：矩陣對(duì)進(jìn)行線性變換的結(jié)果為向量的豎直軸對(duì)稱向量；矩陣對(duì)進(jìn)行線性變換的結(jié)果為向量的水平軸對(duì)稱向量；矩陣對(duì)進(jìn)行線性變換的結(jié)果為把向量的橫坐標(biāo)乘以0.5，把的縱坐標(biāo)乘以2得到的向量；矩陣對(duì)進(jìn)行線性變換的結(jié)果為把向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所得到的向量。第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

例4：設(shè)x為二維平面上第一象限中的一個(gè)單位方塊，其四個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)據(jù)可寫成把不同的A矩陣作用于此組數(shù)據(jù)，可以得到多種多樣的結(jié)果yi=Ai*x。用程序ag911進(jìn)行變換計(jì)算，并畫出x及yi圖形：

x[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1),

fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r') A1[1,0;0,1],y1A1*x subplot(2,3,2),

fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g')第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三繪制幾何圖形可得：第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

使用MATLAB時(shí)，行列式用Di=det(Ai)求得，特征值和特征向量則用[pi,lamdai]=eig(Ai)計(jì)算，算得的結(jié)果如下：第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三關(guān)于筆算與機(jī)算的結(jié)合

①矩陣的賦值和其加、減、乘、除（求逆）命令；②矩陣化為最簡行階梯型的計(jì)算命令；[U0,ip]=rref(A)③多元線性方程組MATLAB求解的幾種方法；x=inv(A)*b,U=rref(A)④行列式的幾種計(jì)算機(jī)求解方法；D=det(A),[L,U]=lu(A);D=prod(diag(U))⑤n個(gè)m維向量組的相關(guān)性及其秩的計(jì)算方法和命令;r=rank(A),U=rref(A)⑥求線性方程組的基礎(chǔ)解系及方程解的MATLAB命令；xb=null(A)⑦矩陣的特征方程、特征根和特征向量的計(jì)算命令；f=poly(A);[P,D]=eig(A)⑧化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的MATLAB命令；yTDy=xTAx;其中y=P-1x,第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三解高階線性方程組的方法解右列方程組AX=b可有多種方法,如(1)X=A\b(2)化為行最簡型A=[3,-4,2,2,-1;0,-6,0,-3,-3;4,-3,4,3,-2;1,2,1,0,-5;-2,6,-2,1,3]b=[2;-3;2;-2;1];X=inv(A)*b,pauseC=[A,b],[Uc,ip]=rref(C)第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三應(yīng)用一：線性方程組與矩陣1.1插值多項(xiàng)式例1給定t-y平面上的三個(gè)點(diǎn)(1,2),(2,3)和(3,6)，求過這三點(diǎn)的二次多項(xiàng)式函數(shù)：解：本題歸結(jié)為求a,b,c三個(gè)系數(shù)，使它們滿足下列各方程第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

這是典型的三元線性方程組，用Matlab時(shí)，鍵入：>>B=[1,1,1,2;1,2,4,3;1,3,9,6];x=rref(B)得到x=1003010-2 0011第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

x矩陣的最后一列即為a，b，c的值，則待求二次多項(xiàng)式為：例2下表給出函數(shù)上4個(gè)點(diǎn)的值，試求三次插值多項(xiàng)式 ，并求的近似值。ti0123f(ti)30-16第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三解：令三次多項(xiàng)式函數(shù)過表中已知的4點(diǎn)，可以得到四元線性方程組：應(yīng)該用計(jì)算機(jī)求解，鍵入：>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27],b=[3;0;-1;6],s=rref([A,b])第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三得到x=100030100-20010-200011得到，三次多項(xiàng)函數(shù)為,故近似等于第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三1.2平板穩(wěn)態(tài)溫度的計(jì)算

在鋼板熱傳導(dǎo)的研究中，常常用節(jié)點(diǎn)溫度來描述鋼板溫度的分布。例3

假設(shè)圖1中鋼板已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度分布，上下、左右四個(gè)邊界的溫度值如圖所示，而表示鋼板內(nèi)部四個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度。若忽略垂直于該截面方向的熱交換，那么內(nèi)部某節(jié)點(diǎn)的溫度值可以近似地等于與它相鄰四個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度的算術(shù)平均值，如。請(qǐng)計(jì)算該鋼板的溫度分布。第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三圖1平板的溫度分布解：根據(jù)已知條件可以得到以下線性方程組：化簡為標(biāo)準(zhǔn)的矩陣形式如下：第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

在MATLAB命令窗口輸入：

A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4];b=[30;50;60;80];U=rref([A,b])第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三結(jié)果為：U=1.000000021.250001.00000026.2500001.0000028.75000001.000033.7500得到方程組的解為：℃，℃，℃，℃。在例3中，把鋼板內(nèi)部分成了2×2個(gè)節(jié)點(diǎn)，本例把鋼板內(nèi)部分為5×5個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖2所示。求鋼板的穩(wěn)態(tài)溫度分布，并繪制溫度分布圖形。第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

鋼板的溫度分布如圖3所示。其中x、y坐標(biāo)分別表示鋼板橫、縱方向的節(jié)點(diǎn)數(shù)，高度表示節(jié)點(diǎn)的溫度值，該三維圖形形象地反映了鋼板的溫度分布。圖3鋼板的溫度分布第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

1.3交通流量的分析例4某城市有兩組單行道，構(gòu)成了一個(gè)包含四個(gè)節(jié)點(diǎn)A,B,C,D的十字路口，如圖2所示。汽車進(jìn)出十字路口的流量（每小時(shí)的車流數(shù)）標(biāo)于圖上?，F(xiàn)要求計(jì)算每兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間路段上的交通流量。（假設(shè)，針對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，進(jìn)入和離開的車數(shù)相等）圖2單行道4節(jié)點(diǎn)交通流圖第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三解：根據(jù)已知條件可以得到，四個(gè)節(jié)點(diǎn)的流通方程為節(jié)點(diǎn)A：節(jié)點(diǎn)B：節(jié)點(diǎn)C：節(jié)點(diǎn)D：將以上方程組進(jìn)行整理，得第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三Matlab程序ea110為

>>A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1]>>b=[160;-40;210;-330]>>U0=rref([A,b])

可以得出其最簡行階梯形矩陣

由于U0的最后一行為全零，也就是說，四個(gè)方程中實(shí)際上只有三個(gè)獨(dú)立方程，所以該方程組為欠定方程，存在無窮多組解。第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三若以

為自由變量，方程組的解可以表示為：

如果有一些車圍繞十字路的矩形區(qū)反時(shí)針繞行，流量。都會(huì)增加，但并不影響出入十字路的流量。這就是方程組有無窮多解的原因。第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三人口遷徙問題例5假設(shè)一個(gè)城市的總?cè)丝跀?shù)是固定不變，但人口的分布情況變化如下：每年都有5％的市區(qū)居民搬到郊區(qū)；而有15％的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。若開始有700000人口居住在市區(qū)，300000人口居住在郊區(qū)。請(qǐng)利用分析：（1）10年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（2）30年后、50年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（3）分析（2）中數(shù)據(jù)相似的原因。第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三解：這個(gè)問題可以用矩陣乘法來描述。令人口變量其中為市區(qū)人口所占比例，為郊區(qū)人口所占比例。在n+1年的人口分布狀態(tài)為：用矩陣乘法可寫成：

第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三開始市區(qū)和郊區(qū)的人口數(shù)為

可以得到n年后市區(qū)和郊區(qū)的人口分布：因此10年后的人口可用程序計(jì)算如下：A=[0.95,0.15;0.05,0.85];X0=[700000;300000];X10=A^10*X0程序運(yùn)行的結(jié)果為：市區(qū)和郊區(qū)人口數(shù)約為：744630和255370。第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三無限增加時(shí)間n，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。為了弄清為什么它趨向于一個(gè)穩(wěn)態(tài)值，可以將A對(duì)角化。令，其中Λ為對(duì)角矩陣，則有對(duì)角矩陣的冪次可以化為元素的冪次

所以，它就很容易計(jì)算。

第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三程序la24%分析n年后城市人口分布A=[0.95,0.15;0.05,0.85];X0=[700000;300000];[P,lamda]=eig(A);symsn%定義符號(hào)變量nXn=P*lamda.^n*inv(P)*X0%.^n對(duì)矩陣lamda中所有元素進(jìn)行冪運(yùn)算計(jì)算結(jié)果為：隨n增大后一項(xiàng)(4/5)^n趨近于零。第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三多項(xiàng)式插值與擬合例6下表給出了平面坐標(biāo)系中五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。（1）請(qǐng)過這五個(gè)點(diǎn)作一個(gè)四次多項(xiàng)式函數(shù)，并求x=5時(shí)的函數(shù)值。用MATLAB繪制多項(xiàng)式函數(shù)曲線、通過已知點(diǎn)及插值點(diǎn)。（2）請(qǐng)根據(jù)這五個(gè)點(diǎn)，擬合一個(gè)二次多項(xiàng)式函數(shù)，并用MATLAB繪制多項(xiàng)式函數(shù)曲線及已知的五個(gè)點(diǎn)。x01234y-270210-75第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三解：（1）根據(jù)已知條件，把五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值分別代入四次多項(xiàng)式函數(shù)，可以得到如下線性方程組：其中矩陣：第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三系數(shù)矩陣A的行列式為范德蒙(Vandermonde)行列式，且五個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相同，則該行列式不等于零，所以方程組有唯一解。寫出程序：x=[0;1;2;3;4];%輸入已知點(diǎn)坐標(biāo)y=[-27;0;21;0;-75];%構(gòu)造范德蒙矩陣，也可用內(nèi)置的vander函數(shù)A=[x.^0,x.^1,x.^2,x.^3,x.^4];a=A\y;%得到適定方程組的唯一解a，運(yùn)行程序，得到a(1)=-27,a(2)=12,a(3)=26,a(4)=-12,a(5)=1第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三多項(xiàng)式擬合要解一個(gè)超定方程把五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值分別代入二次多項(xiàng)式函數(shù)，可以得到如下線性方程組：其中，第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三該方程組有三個(gè)未知數(shù)，但有五個(gè)方程，進(jìn)一步分析可以得到該方程組無解，即不存在一個(gè)二次多項(xiàng)式曲線剛好能過已知的五個(gè)點(diǎn)。MATLAB軟件提供了一個(gè)利用最小二乘法解決超定方程組解的方法。求系數(shù)的公式也是a=A\y，以找到一條二次曲線來近似地描述已知5點(diǎn)的變化情況。對(duì)比插值和擬合的曲線如下圖第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三剛體的平面運(yùn)動(dòng)例7用平面坐標(biāo)系中的一個(gè)閉合圖形來描述剛體，用一個(gè)矩陣X來表示它。X的一列表示剛體一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。為了使圖形閉合，X的最后一列和第一列相同；為了實(shí)現(xiàn)剛體的平移運(yùn)算，給矩陣X添加元素值都為1