2021-2022學(xué)年上海市金山區(qū)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.在等差數(shù)列S,中，田0=18,卬=2,則公差《=

【答案】2

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公式求得公差，

【詳解】依題意即>=出+8d,l8=2+8d,d=2

故答案為：2

2.若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)之的2倍，它的一個(gè)焦點(diǎn)是片（°'一3）,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

/x2

-----1-----=1

【答案】123

->2

VX~

~r—=1（〃〉b>0）r、、）’.

【分析】由題意設(shè)橢圓方程為。b-,貝！］有2”也c=3,再結(jié)合礦=/+廠求出。力,

從而可求出橢圓的方程

v2X2

、+三=1（?！?〉0）

【詳解】由題意設(shè)橢圓方程為?！?則

a=2y/3

2a=4b

b=VJ

c=3

c=3

解得

+二=1

所以橢圓方程為123

Vx2,

故答案為：123

3.線段46兩端點(diǎn)44在兩坐標(biāo)軸上移動(dòng)，且|4團(tuán)=2,則線段48中點(diǎn)軌跡方程為

【答案】/+/=1

【分析】設(shè)"8中點(diǎn)為PGM,再分別表示48的坐標(biāo)，根據(jù)1/例=2求解即可.

￡+0_

2-X[a=2x

力+0^\h=2y

【詳解】設(shè)月8中點(diǎn)為P&M,不妨設(shè)"凡°），8（0,6）,則r^=y

又|曲=2,故（2琦+（2埒=22,化筒可得犬+爐=1

故答案為：一+/T

【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，需要根據(jù)題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，再求出相關(guān)點(diǎn)的表達(dá)式,

再根據(jù)線段長(zhǎng)度列式化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

4,直線/：（2加+1匕+（"?+1'=3，"+23￡2經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是

【答案】0，1）

Jx+y-2=0

【分析】將直線方程化簡(jiǎn)為（x+，-2）+〃?（2x+y-3）=°,進(jìn)而令12x+y-3=°即可解得答案

【詳解】把直線/的方程改寫成：（x+y-2）+〃?（2x+y-3）=0,

Jx+y-2=0（x=1

令12x+y-3=0,解得：［了=1,所以直線/總過定點(diǎn)0，1）.

故答案為：（1,1）.

5.過點(diǎn)（°，2）與拋物線/=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有條

【答案】3

【分析】根據(jù)點(diǎn)與拋物線在直角坐標(biāo)系中的位置關(guān)系：拋物線外，即可知過（°，2）與V=8x只有一

個(gè)公共點(diǎn)的直線條數(shù)

行的直線，故3條

故答案為：3

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，由點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系判斷過該點(diǎn)與拋物線只有

一個(gè)公共點(diǎn)的直線條數(shù)

6.與雙曲線于一正二1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程是.

---------1

【答案】94

片-J/i4x2/h]

【詳解】設(shè)916一;將1（3,2r0\）代入求得^’=一~4.雙曲線方程是94-'

7.已知數(shù)列S”｝的前〃項(xiàng)和為J，且S，，=2〃“-2,則數(shù)列｛bgz。，，｝的前項(xiàng)和

T“=;

〃(〃+1)

【答案】2

【分析】由S"=2a,,-2,推得得出數(shù)列值｝為等比數(shù)列，得到4=2",求得噫為=”，

結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】由數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和為工，且邑=26,-2,

當(dāng)"22時(shí)，S"U-2q,_]-2,

兩式相減,可得a”=S"_S"T=2a"_2a“T,即可=2%_|,nwN*,

令〃=1,可得4=2,

所以數(shù)列｛“"｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，所以%=2”，

T「("+1)

則logM=〃，所以"2.

故答案為：2.

8.已知點(diǎn)尸是拋物線V=4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)p在y軸上的射影是M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,a),則當(dāng)

|a|>4時(shí)，|/"|+1尸M|的最小值是.

【答案】"歷7

【分析】首先根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化內(nèi)+附4=回+間J再根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析四十冏的

最小值.

【詳解】拋物線的焦點(diǎn)是廠a°),且當(dāng)i“i>4時(shí)，點(diǎn)A在拋物線外.

根據(jù)拋物線的定義可知即閆四一1

.?.|PJ|+|PA/|=|P/4|+|PF|-I

---\PA\+\PF\>\AF\

當(dāng)4P，/三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

呻河的最小值是網(wǎng)T,

\AF\=^/(4-1)2+(0-0)2=y/a2+9

?,?戶⑷+戶蛆的最小值是百歷-1.

故答案為：行石-1

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和拋物線內(nèi)距離的最值問題，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問

題的能力，本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化戶叫=P口-1.屬于基礎(chǔ)題.

9.已知數(shù)列M/滿足q=33，°e-勺=2n,則〃的最小值為

21

【答案】萬

a?3333

—=Fn-1=Fn-1

【分析】先利用累加法求出?！?33+/-〃，所以〃n,設(shè)/(〃)n,由此能導(dǎo)出

〃=5或6時(shí)/(〃)有最小值.借此能得到〃的最小值.

【詳解】解:Van+/~an=2n,，當(dāng)〃22時(shí)，an=Can-an-j)+(.an-i-an-2^

+…+(〃2一。/)+田=2[1+2+…+(〃-1)]+33=*-〃+33

且對(duì)n=1也適合，所以an=n2+33.

?！?31

—=—十〃-1

從而〃〃

331-33、八

=\-n—\=-z-+1>0

設(shè)/(〃)〃,令，(〃)〃,

則/(〃)在(而'+8)上是單調(diào)遞增,在IOd)上是遞減的，

因?yàn)椤?N+，所以當(dāng)〃=5或6時(shí)/(〃)有最小值.

a553&_63_21

又因?yàn)榱艘欢。?一了_2,

?

所以〃的最小值為6-2

21

故答案為了

【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法.還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函

數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性.

10.關(guān)于曲線V,則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有個(gè).

①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

②曲線C中xi[-2,2],蚱卜2,2]；

22o

③曲線C是不封閉圖形，且它與圓廠+>=8無公共點(diǎn)；

④曲線C與曲線°：兇+帆=4有4個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形.

【答案】2

【分析】根據(jù)曲線的方程，以及曲線的對(duì)稱性、范圍，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷.

-1+4=1

【詳解】①將方程//中的蒼丁分別換為-XL',方程不變，故該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故正

確；

±=1_±>0

②因?yàn)楱D/,解得^>2或》<-2,故”（內(nèi)>,-2）。（2,必），

同理可得：'"一一?）"2,”），故錯(cuò)誤；

③根據(jù)②可知，該曲線不是封閉圖形；

441

~~-----2=]12Q

聯(lián)立Xy與廠+）廣=8,可得：X4-8X2+32=0,將其視作關(guān)于一的一元二次方程，

故?=64-4X32<0,所以方程無根，故曲線C與犬+丁=8沒有交點(diǎn)；

綜上所述，③正確；

④假設(shè)曲線C與曲線。洶+3=4有4個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)構(gòu)成正方形，

根據(jù)對(duì)稱性，第一象限的交點(diǎn)必在夕=苫上，

聯(lián)立與/+/_可得：*='=2四，故交點(diǎn)為

而此點(diǎn)坐標(biāo)不滿足n：W+3=4,所以這樣的正方形不存在，故錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的是①③.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是把握由曲線方程如

何研究對(duì)稱性以及范圍問題，屬困難題.

二、單選題

ii.已知無窮等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為i,公比為前〃項(xiàng)和為S”，貝3巴,為（）

2343

A.3B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】求出￡的表達(dá)式，利用常見數(shù)列的極限計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由于無窮等比數(shù)列｛"”｝的首項(xiàng)為1,公比為3

limS=lim—

“一?8tirt->007=

因此，L1

故選：D.

12.已知拋物線C：「=4x,過焦點(diǎn)F且傾斜角為3的直線交C于A,8兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)到

準(zhǔn)線的距離為（）

58

A.5B.3C.3D.8

【答案】C

【分析】先求得N8的方程為耳-y-力=°,聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得

10

x,+x=—

2-3,進(jìn)而求得弦力8的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，得到答案.

【詳解】由題意，拋物線C：/=4x,可得焦點(diǎn)尸（L0）,準(zhǔn)線方程為產(chǎn)-1,

設(shè)“G，必），8。2，%）,直線的方程為Kx-y-K=o,

fV3x-^-x/3=0

聯(lián)立方程組l「=4x,整理得3/-心+3=0,

105

%+X）=——

則-3,所以弦Z3的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,

5?8

—卜1=一

則弦48的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為33.

故選：C.

X2y2_

13.以過橢圓靛+F一”>>的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦P。為直徑的圓與點(diǎn)43°）的位置關(guān)系

是（）.

A.點(diǎn)A在圓內(nèi)B.點(diǎn)A在圓外C.A在圓上D.點(diǎn)A與圓的關(guān)系不確定

【答案】A

"尸。l=/

【分析】根據(jù)題意計(jì)算'-2一了，判斷M用與半徑的大小關(guān)系得到答案.

片-1解得小土故同心=9,,

【詳解】當(dāng)時(shí),

a2,-c2b2b2

圓心為瑪3°）,“"一"--------=------<—=r

a+ca,故點(diǎn)A在圓內(nèi).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的弦長(zhǎng)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

c=_____f1.999

14.數(shù)列匕｝滿足“(2聞-2)(2向-1),其前〃項(xiàng)和為北，若/麗成立，則〃的最大值是

()

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

_2一__J________1___

【分析】由c"(2"'-2)(2"“-1)可化簡(jiǎn)得‘"(2"-1)(2時(shí)-1),再利用裂項(xiàng)相消可求出利用

1,999

條件"(麗即可求解

_2-2"_1_______1_

［詳解］，”=(21,+l-2)(2,I+1-l)=(21,-1)(2,,+1-1)=(2"-1)~(2H+t-l)

TZ11、/11、/I1、

〃1"2'-122-122-123-12〃-12,,+1-1

11?1?11111

2'-12n+l-12”"-1.由2向-110002"+'-11000,

2"+,-1<1000(〃eN*)n〃+1S9n〃W8

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列裂項(xiàng)相消.這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.是將數(shù)列中的每項(xiàng)

（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.

常見的裂項(xiàng)相消的公式：

------1-----——IIf—1—----1---

〃(〃+〃)k\nn+k

/\

1_11_______1

(2?7-1)(277+1)-2^(2w-I)-(2〃+1),

1_1+k-?)

4++)k

三、解答題

15.在等比數(shù)列｛""｝中，己知《=2,且生、％+%、％依次是等差數(shù)列也，｝的第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第

8項(xiàng).

⑴求數(shù)列國(guó)｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列化一勺｝的前〃項(xiàng)和為S",求.

【答案】⑴"，，=2","=2〃

4向-3-2向+2

s.=-------------

⑵3

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列㈤｝的公比為力根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得出關(guān)于q的等式，可求得“的

值，進(jìn)而可求得等比數(shù)列㈤｝的通項(xiàng)公式，求出打、”的值，可求出等差數(shù)列也｝的公差，進(jìn)而可

求得數(shù)列｛"”｝的通項(xiàng)公式；

（2）利用等比數(shù)列的求和公式以及分組求和法可求得

【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列｛“”｝的公比為以

而等差數(shù)列｛4｝的第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第8項(xiàng)成等差數(shù)列，

則2（q+“3）=4+〃4即2Gl+"囚）=a\（l+a\（l

即2%（1+如）=《4（1+4）解得g=2,

又因?yàn)閝=2,所以％=q/i=2",顯然有.=9=4,4=&=16,

g8-g2

則等差數(shù)列也｝公差-8-2一,所以“=4+（"-2）"=2",

所以數(shù)列｛%｝和也，｝的通項(xiàng)公式分別是=2",b"=2n.

（2）解：T〃eN*,%

所以，數(shù)列｛“；｝為等比數(shù)列，且該等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比都為4,

S”=（。；+。；+。；+…+（。1+生+。3+…+。"）

二（4+42+4/一+4"）―（2+22+23+3+2"）=4（14）_2（12）=4〃*—3.2向+2

v7v71-41-23

x2y2

C：―-H-=1（6F>b>0）尸22

16.已知橢圓a-h2的離心率與雙曲線E：x-J=2的離心率互為倒數(shù)，且橢圓

。的焦距、雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)、雙曲線￡的焦距依次構(gòu)成等比數(shù)列.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若雙曲線￡的虛軸的上端點(diǎn)為名，問是否存在過點(diǎn)名的直線/交橢圓c于“，N兩點(diǎn)，使得

以MN為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出此時(shí)直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

［答案］（1）了+''-；（2）存在，、=缶+&或y=_應(yīng)X+0.

【分析】（1）將己知雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式求得離心率，結(jié)合橢圓中的基本量關(guān)系和已知條件,

求得橢圓的半長(zhǎng)軸和半短軸，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先排除直線/斜率不存在的情形，然后設(shè)出直線的斜率，寫出方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，

利用判別式求得％的取值范圍，利用韋達(dá)定理和向量的垂直的條件得到關(guān)于人的方程，求解并驗(yàn)證

是否滿足上面求出的范圍即可.

22《上=1警=五

【詳解】解：⑴雙曲線=2,即為22，其離心率為<2,

X2y21

C：r+J=l（Q〉b>0）e=-j=

則橢圓。卜的離心率為12

因?yàn)殡p曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為2及、焦距為4,

設(shè)橢圓。的焦距為2c,則2c，2夜,4成等比數(shù)列，

所以（2起f=8c,解得C=1.

_C_1

又ea應(yīng)，及/=〃+。2,解得"&力=L

X221

一+V=1

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2；

（2）雙曲線E的虛軸上端點(diǎn)為名（0,拒）.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，/：x=°,點(diǎn)"，N為橢圓的上、下兩頂點(diǎn)，顯然不符合題意:

故直線/的斜率存在，設(shè)斜率為晨則直線/的方程為"=依+四,

聯(lián)立方程組〔尸履+"消去y,得（1+2公產(chǎn)+4歷履+2=0

l，/,、,72,41

顯然?歷了-4（1+2%）2＞。，解得%＞彳或左＜=（*）

46k2

設(shè)點(diǎn)"GQJNH，”），貝廣+々=

2

所以+&%2+0）=kxtx2+gk（X\+Xz）+2

2k28k22/-8左2+2+4左22-2公

-1+2公―1+2/+-1+2/-1+2左2,

若以MV為直徑的圓過原點(diǎn)，則麗,麗，所以兩.麗=0,所以國(guó)々+乂％=°,

22-2k2八

-----7+-----r=0

即1+2r1+2左2,

且=0

所以1+2公，解得左=士&，符合（*）式，

所以直線/的方程為N=&x+&或y=-0x+&

17,在數(shù)列5｝中，％+3q,=6"（〃eN）

El

（1）判斷數(shù)列I9J是否為等比數(shù)列？并說明理由；

（2）若對(duì)任意正整數(shù)〃，%＞°恒成立，求首項(xiàng)6的取值范圍.

【答案】（D答案見解析.（2）。2）

6"+,（6"）

【分析】（1）轉(zhuǎn)化條件得919人由等比數(shù)列的概念即可得解：

?,=1"，，‘一訃一3尸+?

（2）易得當(dāng)3時(shí)，符合條件：當(dāng)3時(shí)，I3；9（根據(jù)〃為奇數(shù)、〃為偶數(shù)

分類討論，由恒成立問題的解決辦法即可得解.

【詳解】（1）因?yàn)椋?3%=6”,所以。向=6"-3區(qū)

6"+,,6"”.3-6"

??-7-=6=-3??+—

所以+1999

6n26"6“一,6_

a

an---?-\--鼠="，=《一§=°

所以當(dāng)9即3時(shí)，9“9

_26"

所以當(dāng)“一3時(shí)，數(shù)列-9

不是等比數(shù)列;

6〃

1=一3

2凡上。凡

a.-—^0。產(chǎn)一父

當(dāng)9,即3時(shí),9，所以"3

26"

所以當(dāng)“產(chǎn)3時(shí),~9

數(shù)列是等比數(shù)列;

「2,?=￡>0

(2)由(1)知,當(dāng)3時(shí)，‘9，所以’9恒成立:

二

%

當(dāng)是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為公比為-3,

所以

4T(-3產(chǎn)+總6〃

即9

「|『3尸+6?”>022"

當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，Q"CIA>-----------

9，所以33

2_T_2_r

又3~T單調(diào)遞減，所以〃=1時(shí),3~T取得最大值，所以q>°

'.-|)(-3r'+6”y>022”

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，生a,<—+一

9，所以33

22”22"

-4---4--

3333

又單調(diào)遞增，所以當(dāng)〃=2時(shí),的最小值為2,所以四<2

fl,€H2r(r2

所以3

綜上，首項(xiàng)外的取值范圍為(°，2).

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的判定及數(shù)列不等式恒成立問題的解決，考查了運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

18.在平面直角坐標(biāo)系中，過方程加V+沙2=l(機(jī),〃€R,〃7,〃H0)所確定的曲線c上點(diǎn)

例Go,％)的直線與曲線。相切，則此切線的方程"/x+〃%V=l.

（1）若‘"-"一^,直線/過（6，2）點(diǎn)被曲線c截得的弦長(zhǎng)為2,求直線/的方程；

（2）若m=1,“一一3,點(diǎn)n是曲線c上的任意一點(diǎn)，曲線過點(diǎn)力的切線交直線4：后一、=°于

M,交直線，2：Gx+y=°于M證明：MA+NA^O.

11

（3）若4,2,過坐標(biāo)原點(diǎn)斜率的直線與交c于p、。兩點(diǎn)，且點(diǎn)P位于第一象限，

點(diǎn)P在x軸上的投影為E,延長(zhǎng)。E交C于點(diǎn)心求「O,松的值.

瓜y==（X-G）+2

【答案】（l）x"3或12；（2）證明見解析；（3）0.

【分析】（1）利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算求解，注意先驗(yàn)證直線斜率不存在的情況；

（2）設(shè)"（/'%）,根據(jù)已知求得切線方程，聯(lián)立方程組求得以，N的坐標(biāo)，證明天+々=2%,得到

力為線段的中點(diǎn)，進(jìn)而證得結(jié)論；

（3）設(shè)3（孫山）典物以），則。（河?力）及50）,寫出E。的方程,與曲線C的方程聯(lián)立，根據(jù)。，火的

2ny^x,

々一再=--d-r

橫坐標(biāo)也花是這個(gè)方程的兩實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理求得4〃所+〃乂，進(jìn)而計(jì)算可得

PQPR=0

1

m—n=—22A

【詳解】（1）當(dāng)4時(shí)，曲線C的方程為％+>=匕這是以原點(diǎn)為圓心，-2為半徑的圓，

直線/過點(diǎn)心’2）,當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=6,代入圓的方程得V=1,

卜=±1,.?.直線/被圓所截得弦長(zhǎng)為2,符合題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k,則直線/的方程為，一2='。一"），即日-y+2-曰=o,

由弦長(zhǎng)為2,半弦長(zhǎng)為1,圓的半徑為2,所以圓心到直線/的距離為亞口=6，

"鞏石女粗石+7

77—xH

由點(diǎn)到直線的距離公式得辦[一73+1，解得k=1—2,所以直線/的方程為：.y=12—4.

（2）當(dāng)“一’〃一3時(shí)，設(shè)“（X。/。）,則過4點(diǎn)的切線方程為：叫x+〃%y=i,