學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標1.掌握與直線有關(guān)的對稱問題.2.通過解決最值問題體會數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用。知識點一對稱問題1.點關(guān)于直線對稱設(shè)點P(x0,y0），l：Ax＋By＋C＝0（AB≠0），若點P關(guān)于l的對稱點為點Q（x，y),則l是線段PQ的垂直平分線,故PQ⊥l且PQ的中點在l上，解方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0）·\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(A，B））)＝－1，A·\f（x＋x0，2)＋B·\f(y＋y0，2)＋C＝0，))即可得點Q的坐標。常用的結(jié)論(1)A(a,b）關(guān)于x軸的對稱點為A′(a，－b）.（2）B（a，b）關(guān)于y軸的對稱點為B′（－a，b)。(3)C(a，b）關(guān)于原點的對稱點為C′（－a，－b）.（4）D(a,b)關(guān)于直線y＝x的對稱點為D′(b，a）。(5）E（a,b)關(guān)于直線y＝－x的對稱點為E′(－b，－a)。(6)P（a，b)關(guān)于直線x＝m的對稱點為P′(2m－a，b）。(7）Q(a，b）關(guān)于直線y＝n的對稱點為Q′(a,2n－b).2.直線關(guān)于點對稱已知直線l的方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0）和點P(x0，y0）,求l關(guān)于點P的對稱直線l′的方程。設(shè)P′（x′,y′)是對稱直線l′上的任意一點，它關(guān)于點P（x0，y0）的對稱點（2x0－x′，2y0－y′）在直線l上,則A(2x0－x′）＋B(2y0－y′)＋C＝0，即Ax′＋By′＋C′＝0為所求的對稱直線l′的方程.3.直線關(guān)于直線對稱一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱的問題.在已知直線上任取一點，求此點關(guān)于對稱軸的對稱點，對稱點必在對稱直線上。常用的結(jié)論設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，則：(1)l關(guān)于x軸對稱的直線是Ax＋B(－y）＋C＝0。（2)l關(guān)于y軸對稱的直線是A(－x）＋By＋C＝0.(3）l關(guān)于原點對稱的直線是A（－x）＋B(－y)＋C＝0.（4）l關(guān)于直線y＝x對稱的直線是Bx＋Ay＋C＝0。(5)l關(guān)于直線y＝－x對稱的直線是A(－y)＋B（－x）＋C＝0.知識點二最值問題1。利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題。2。利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.3.利用距離公式將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，通過配方求最值.類型一對稱問題命題角度1關(guān)于點對稱問題例1（1)求點P(x0，y0)關(guān)于點A（a，b）的對稱點P′的坐標；(2）求直線3x－y－4＝0關(guān)于點（2，－1）的對稱直線l的方程.反思與感悟（1）點關(guān)于點的對稱問題若兩點A(x1，y1），B(x2,y2)關(guān)于點P(x0,y0)對稱,則點P是線段AB的中點，并且eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x0＝\f(x1＋x2，2），y0＝\f(y1＋y2,2)。））(2）直線關(guān)于點的對稱問題若兩條直線l1，l2關(guān)于點P對稱，則①l1上任意一點關(guān)于點P的對稱點必在l2上，反過來，l2上任意一點關(guān)于點P的對稱點必在l1上.②若l1∥l2，則點P到直線l1，l2的距離相等.③過點P作一直線與l1，l2分別交于A，B兩點,則點P是線段AB的中點.跟蹤訓(xùn)練1已知點A(x，5）關(guān)于點(1，y）的對稱點為(－2，－3），則點P(x,y)到原點的距離是________.命題角度2關(guān)于直線對稱問題例2點P(－3,4)關(guān)于直線x＋y－2＝0的對稱點Q的坐標是__________.反思與感悟（1)點關(guān)于直線的對稱問題求點P(x0，y0)關(guān)于Ax＋By＋C＝0的對稱點P′(x，y)時，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0）·－\f(A，B)＝－1，A·\f（x0＋x,2）＋B·\f（y0＋y，2)＋C＝0))可以求出點P′的坐標。(2)直線關(guān)于直線的對稱問題若兩條直線l1,l2關(guān)于直線l對稱,則①l1上任意一點關(guān)于直線l的對稱點必在l2上，反過來，l2上任意一點關(guān)于直線l的對稱點必在l1上。②過直線l上的一點P且垂直于直線l作一直線與l1,l2分別交于點A，B,則點P是線段AB的中點.跟蹤訓(xùn)練2求直線x－2y－1＝0關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱的直線l的方程。類型二最值問題例3在直線y＝x＋2上求一點P,使得點P到直線l1:3x－4y＋8＝0和直線l2：3x－y－1＝0的距離的平方和最小。反思與感悟解決此類問題通常有兩種途徑:一是利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點到直線的距離；二是利用距離公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題.跟蹤訓(xùn)練3已知實數(shù)x，y滿足6x＋8y－1＝0,則eq\r(x2＋y2－2y＋1)的最小值為________。類型三對稱與最值的綜合應(yīng)用例4在直線l：3x－y－1＝0上求一點P，使得：(1)點P到點A（4,1）和點B（0,4)的距離之差最大；（2）點P到點A（4，1)和點C（3,4)的距離之和最小。反思與感悟利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點間的距離是求解最值的一種常用方法.跟蹤訓(xùn)練4已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A(2，0),B(－2，－4）。（1）在直線l上求一點P，使PA＋PB最小；(2）在直線l上求一點P，使｜PB－PA|最大.1。過點A（1,2)且與原點距離最大的直線方程為____________________。2.設(shè)兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0,x＋y＋b＝0.已知a，b是方程x2＋x＋c＝0（0≤c≤eq\f(1，8））的兩實根，則這兩直線間距離的最大值為________.3.若點P（3,4）和點Q（a，b）關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則a＝________，b＝________。4。已知點A（3,－1)，B（5,－2)，點P在直線x＋y＝0上，若使PA＋PB取最小值，則點P坐標是__________.5.x，y滿足x＋y＋1＝0，求x2＋y2－2x－2y＋2的最小值。1。對稱問題在解析幾何中,對稱問題主要分為兩類：一是中心對稱，二是軸對稱。在本章中，對稱主要有以下四種：點點對稱、點線對稱、線點對稱、線線對稱，其中后兩種可以化歸為前兩種類型,所以“點關(guān)于直線對稱”是最重要的類型.轉(zhuǎn)化思想是解決對稱問題的主要思想方法,其他問題如角的平分線、光線反射等也可轉(zhuǎn)化成對稱問題.2。最值問題數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想常體現(xiàn)在求最值問題中。

答案精析題型探究例1解（1）根據(jù)題意可知點A（a，b）為PP′的中點，設(shè)點P′的坐標為(x，y），則根據(jù)中點坐標公式，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f(x＋x0,2），,b＝\f（y＋y0，2)，))所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2a－x0，，y＝2b－y0。）)所以點P′的坐標為（2a－x0,2b－y0）．（2）設(shè)直線l上任意一點M的坐標為(x,y）,則此點關(guān)于點(2,－1）的對稱點為M1(4－x，－2－y)，且M1在直線3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0。所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.跟蹤訓(xùn)練1eq\r(17）例2(－2，5)跟蹤訓(xùn)練2解由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y－1＝0,,x＋y－1＝0,))得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝0。))∴兩直線的交點為A（1,0)．在直線x－2y－1＝0上取點Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,－\f(1,2）)），設(shè)點B關(guān)于直線x＋y－1＝0的對稱點為C(x0，y0）,則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（0＋x0,2)＋\f（－\f（1，2)＋y0,2)－1＝0，，\f(y0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2))),x0－0）·－1＝－1，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝\f(3，2),,y0＝1，)）即點C的坐標為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，2），1)）.由所求直線經(jīng)過A、C兩點，得eq\f(y－0,1－0）＝eq\f（x－1,\f(3,2）－1）,即2x－y－2＝0，∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0。例3解設(shè)直線y＝x＋2上一點(x0，x0＋2）到兩直線的距離分別為d1和d2。∵d1＝eq\f(｜3x0－4x0＋2＋8｜，5)＝eq\f（｜－x0｜,5）,d2＝eq\f(|3x0－x0＋2－1|，\r(10))＝eq\f（｜2x0－3|,\r（10）),設(shè)S＝deq\o\al(2，1)＋deq\o\al（2,2），∴S＝eq\f(x\o\al(2,0），25)＋eq\f(4x\o\al(2,0)－12x0＋9,10）＝eq\f(22，50）［（x0－eq\f（15,11)）2＋eq\f（45，242)］,∴當x0＝eq\f(15，11）時，S有最小值，這時，x0＋2＝eq\f(37，11）.∴所求點的坐標為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(15,11），\f（37，11）))。跟蹤訓(xùn)練3eq\f(7,10)例4解（1)如圖，點B關(guān)于l的對稱點為B′(3，3)．直線AB′的方程為2x＋y－9＝0,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋y－9＝0，，3x－y－1＝0,）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝5，）)即P(2,5)．(2）如圖，點C關(guān)于l的對稱點為C′（eq\f（3，5)，eq\f(24，5）），由圖象可知PA＋PC≥AC′.當點P是AC′與l的交點P（eq\f（11,7),eq\f（26，7））時“＝”成立,∴P（eq\f（11,7)，eq\f（26，7)）．跟蹤訓(xùn)練4解(1)設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點為A′（m，n)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(n－0，m－2）＝－2，，\f(m＋2，2)－2·\f（n＋0，2）＋8＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝－2,，n＝8，）)故A′（－2，8）．因為P為直線l上的一點，則PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，當且僅當B，P，A′三點共線時，PA＋PB取得最小值A(chǔ)′B，點P即為直線A′B與直線l的交點，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2,，x－2y＋8＝0，)）得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2，,y＝3，))故所求的點P的坐標為（－2，3）．（2）A，B兩點在直線l的同側(cè),點P是直線l上的一點，則｜PB－PA｜≤AB,當且僅當A,B,P三點共線時,|PB－PA｜取得最大值A(chǔ)B，點P即為直線AB與直線l的交點．又直線AB的方程為y＝x－2，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x－2，，x－2y＋8＝0，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12，，y＝10，))故所求的點P的坐標為(12,10）．當堂訓(xùn)練1．x＋2y－5＝02.eq\f（\r(2)，2)3。524。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（13,5）,－\f(13，5）))5．解原式可化為（x－