2021屆河北省唐山市高三上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解一元二次不等式可得集合，再求交集即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，涉及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足，利用復(fù)數(shù)的除法得到，再利用求模公式求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.3．特崗教師是中央實(shí)施的一項(xiàng)對中西部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教育的特殊政策.某教育行政部門為本地兩所農(nóng)村小學(xué)招聘了6名特崗教師，其中體育教師2名，數(shù)學(xué)教師4名.按每所學(xué)校1名體育教師，2名數(shù)學(xué)教師進(jìn)行分配，則不同的分配方案有（）A．24 B．14 C．12 D．8【答案】C【解析】先把4名數(shù)學(xué)教師平分為2組，再把2名體育教師分別放入這兩組，最后把這兩組教師分配到兩所農(nóng)村小學(xué)，即可計算出結(jié)果.【詳解】先把4名數(shù)學(xué)教師平分為2組，有種方法，再把2名體育教師分別放入這兩組，有種方法，最后把這兩組教師分配到兩所農(nóng)村小學(xué)，共有種方法.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查計數(shù)原理和排列組合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．居民消費(fèi)價格指數(shù)是反映一定時期內(nèi)城鄉(xiāng)居民所購買的生活消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目價格變動趨勢和程度的相對數(shù)，是對城市居民消費(fèi)價格指數(shù)和農(nóng)村居民消費(fèi)價格指數(shù)進(jìn)行綜合匯總計算的結(jié)果.通過該指數(shù)可以觀察和分析消費(fèi)品的零售價格和服務(wù)項(xiàng)目價格變動對城鄉(xiāng)居民實(shí)際生活費(fèi)支出的影響程度.如圖，是疫情期間我國的居民消費(fèi)價格指數(shù)與食品類居民消費(fèi)價格指數(shù)折線圖，據(jù)此圖，下列分析中不合理的是（）A．居民消費(fèi)價格指數(shù)變化幅度相對不大B．食品類居民消費(fèi)價格指數(shù)變化幅度相對較大C．食品類居民消費(fèi)價格指數(shù)高于居民消費(fèi)價格指數(shù)D．食品類居民消費(fèi)價格指數(shù)與居民消費(fèi)價格指數(shù)的變化趨勢很不一致【答案】D【解析】根據(jù)折線圖，逐個分析選項(xiàng)即可得選項(xiàng)合理，選項(xiàng)不合理.【詳解】對于選項(xiàng)：由折線圖可知，居民消費(fèi)價格指數(shù)線比較平緩，所以居民消費(fèi)價格指數(shù)變化幅度相對不大，所以選項(xiàng)合理；對于選項(xiàng)：由折線圖可知，食品類居民消費(fèi)價格指數(shù)線起伏較大，所以品類居民消費(fèi)價格指數(shù)變化幅度相對較大，所以選項(xiàng)合理；對于選項(xiàng)：由折線圖可知，食品類居民消費(fèi)價格指數(shù)線一直在居民消費(fèi)價格指數(shù)線上方，所以食品類居民消費(fèi)價格指數(shù)高于居民消費(fèi)價格指數(shù)，所以選項(xiàng)合理；對于選項(xiàng)：食品類居民消費(fèi)價格指數(shù)與居民消費(fèi)價格指數(shù)的變化趨勢大致一致，所以選項(xiàng)不合理，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了對統(tǒng)計折線圖的分析和理解能力，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.．5．下圖是一個正方體的展開圖，則在該正方體中（）A．直線與直線平行 B．直線與直線相交C．直線與直線異面垂直 D．直線與直線異面且所成的角為60°【答案】D【解析】首先畫出正方體的展開圖的立體圖，從而得到直線與直線為異面直線，再求異面直線所成角即可得到答案.【詳解】正方體的展開圖的立體圖形如圖所示：由圖知：直線與直線為異面直線，故A，B錯誤；連接，，因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成角.又因?yàn)闉榈冗吶切危?所以直線與直線異面且所成的角為60°，故C錯誤，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線成角問題，屬于簡單題.6．已知，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)是增函數(shù)和奇函數(shù)定義可知函數(shù)是增函數(shù)且是奇函數(shù)，即有，得到，即可解得.【詳解】因?yàn)榫鶠樵龊瘮?shù)，所以是增函數(shù)，又因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，化為，所以即.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，解題中需要根據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)是增函數(shù)和奇函數(shù)定義判斷，屬于基本題型，關(guān)鍵是要準(zhǔn)確掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).7．已知，都是單位向量，滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)得到，從而得到，，再計算即可.【詳解】因?yàn)椋?，得?因?yàn)?，，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的夾角公式，熟記公式為解題關(guān)鍵，屬于簡單題.8．已知，則（）A．的值域?yàn)?B．在上單調(diào)C．為的周期 D．為圖像的對稱中心【答案】D【解析】化為分段函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而逐一分析各個答案的正誤，可得結(jié)論.【詳解】∵，函數(shù)的值域?yàn)?，故A錯誤；在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯誤；的周期為，故C錯誤；因?yàn)椋?，所以為圖象的對稱中心，故D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.二、多選題9．設(shè)，，則（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以由可得，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以由可得，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，由可得，故C正確；對于D，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以由可得，則，即，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，屬于基礎(chǔ)題.10．若的展開式中的系數(shù)是，則（）A． B．所有項(xiàng)系數(shù)之和為1C．二項(xiàng)式系數(shù)之和為 D．常數(shù)項(xiàng)為【答案】ABC【解析】首先根據(jù)展開式中的系數(shù)是得到，從而判斷A正確，令得到所有項(xiàng)系數(shù)之和為，從而判斷B正確，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為，從而判斷C正確，根據(jù)的常數(shù)項(xiàng)為，從而判斷D錯誤.【詳解】對選項(xiàng)A，的展開式中項(xiàng)為，所以，解得，故A正確；由A知：，令，所有項(xiàng)系數(shù)之和為，故B正確；對選項(xiàng)C，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故C正確；對選項(xiàng)D，的常數(shù)項(xiàng)為，故D錯誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式的定理的各項(xiàng)系數(shù)之和，項(xiàng)的系數(shù)之和，常數(shù)項(xiàng)，屬于中檔題.11．已知雙曲線的一條漸近線，設(shè)，是C的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在l上，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．C的虛軸長為 B．C． D．的面積為【答案】ABD【解析】求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和基本量，根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形的有關(guān)性質(zhì)逐一選擇..【詳解】由漸近線，可得，，，所以虛軸長為，A正確；由，為直角三角形，B正確；因?yàn)辄c(diǎn)P不在雙曲線上，根據(jù)雙曲線的定義，C不正確；由漸近線，知，，，D正確.故選:ABD【點(diǎn)睛】本題考查由根據(jù)漸近線方程確定雙曲線的基本量，同時考查雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.12．已知.（）A．的零點(diǎn)個數(shù)為4 B．的極值點(diǎn)個數(shù)為3C．x軸為曲線的切線 D．若，則【答案】BC【解析】首先根據(jù)得到，分別畫出和的圖像，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，令，得到.分別畫出和的圖像，如圖所示：由圖知：有三個解，即有三個解，分別為，，.所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以當(dāng)時，取得極大值為，當(dāng)時，取得極小值為，當(dāng)時，取得極大值為，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)，三個極值點(diǎn)，A錯誤，B正確.因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為，所以軸為曲線的切線，故C正確.因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，為減函數(shù)，所以存在，滿足，且，顯然，故D錯誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)和切線，屬于難題.三、填空題13．已知x，y滿足約束條件，則的最小值為_______.【答案】2【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義即可得到結(jié)論．【詳解】由，得，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由圖象可知當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線的在軸的截距最小，此時最小，由，解得，此時，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．14．已知等差數(shù)列的公差不為零，若，，成等比數(shù)列，則______.【答案】0【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，根據(jù)，，成等比數(shù)列，得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所?故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15．F是拋物線的焦點(diǎn)，P是C上且位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上的射影為Q，且，則外接圓的方程為_____.【答案】【解析】由題可判斷為直角三角形，即外接圓的圓心為中點(diǎn)，求出圓心和半徑即可寫出圓的方程.【詳解】由拋物線方程可知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，，，即，則，，，即為直角三角形，外接圓的圓心為中點(diǎn)，即圓心為，半徑為，外接圓的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查圓的方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.16．己知四棱臺中，上、下底面都是正方形，下底面棱長為2，其余各棱長均為1，則該四棱臺的外接球的表面積為____________.【答案】【解析】畫出如圖的圖形，根據(jù)直角三角形計算出相關(guān)量，由此計算出外接球的半徑，即可求出球表面積.【詳解】如圖，在四棱臺中，連接，設(shè)，，連接并延長到點(diǎn)O，設(shè)O為四棱臺外接球心，連接，在平面中，作，垂足為，則，在直角三角形中，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，，解得，，該四棱臺的外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查幾何體外接球問題，屬于中檔題.四、解答題17．在中，角的對邊分別為，.有以下3個條件：①；②；③.請在以上3個條件中選擇一個，求面積的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析.【解析】若選擇①：利用正弦定理得到，再利用以及兩角和與差的正弦公式得到，最后利用三角形的面積公式求解即可；若選擇②：利用正弦定理得到，再利用以及兩角和的正弦公式得到，再利用余弦定理以及三角形的面積公式求解即可；若選擇③：先利用基本不等式得到，再利用余弦定理得到，最后利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】若選擇①：由正弦定理得：可將化為：，又，所以，所以，即，，，，所以（當(dāng)時取到等號），所以面積的最大值為2.若選擇②：由正弦定理可將化為：，又，所以，所以，即，，又，，又由余弦定理可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，所以面積的最大值為.若選擇③：因?yàn)?，所以，（?dāng)且僅當(dāng)時取等號），又由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理和余弦定理以及三角形的面積公式解三角形.屬于中檔題.18．在數(shù)列中，，，.（1）證明為等比數(shù)列；（2）求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由，構(gòu)造出的關(guān)系，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）由（1）得，利用累加法求解通項(xiàng)即可【詳解】解：（1）由得，又，所以是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，.所以時，..因此，.當(dāng)時，也滿足上式，故.【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造法和累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，屬于一般題19．在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的菱形，，E是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）直線與平面所成角為45°，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明詳見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用兩個平面的法向量求面面角即可.【詳解】（1）連接，由題意可知是等邊三角形，又E是的中點(diǎn)，所以；由底面，底面，所以，且，所以，平面，且平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，在平面上的射影為，所以直線與平面所成角為.在中，.所以，在中，，.以E為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)可得，，，所以，.設(shè)是平面的法向量，則，得，可取.由（1）知是平面的一個法向量，則.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷方法，考查了利用空間向量求面面角的問題.20．田忌賽馬的故事出自《史記》中的《孫子吳起列傳》.齊國的大將田忌很喜歡賽馬，有一回，他和齊威王約定，要進(jìn)行一場比賽.雙方各自有三匹馬，馬都可以分為上，中，下三等.上等馬都比中等馬強(qiáng)，中等馬都比下等馬強(qiáng)，但是齊威王每個等級的馬都比田忌相應(yīng)等級的馬強(qiáng)一些，比賽共三局，每局雙方分別各派一匹馬出場，且每匹馬只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利，在比賽之前，雙方都不知道對方馬的出場順序.（1）求在第一局比賽中田忌勝利的概率：（2）若第一局齊威王派出場的是上等馬，而田忌派出場的是下等馬，求本場比賽田忌勝利的概率；（3）寫出在一場比賽中田忌勝利的概率（直接寫出結(jié)果）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）首先將田忌的三匹馬按照上、中、下三等分別記為、、，齊威王的三匹馬按照上、中、下三等分別記為、、，列出第一局雙方參賽的馬匹的全部情況，再找到田忌勝利的情況，即可得到答案.（2）首先設(shè)事件“第一局齊威王派出場的是上等馬，而田忌派出場的是下等馬”，事件“田忌獲得本場比賽勝利”，列舉出事件，的個數(shù)，利用條件概率公式即可的得到答案.（3）根據(jù)題意直接寫出答案即可.【詳解】將田忌的三匹馬按照上、中、下三等分別記為、、，齊威王的三匹馬按照上、中、下三等分別記為、、，并且用馬的記號表示該馬上場比賽.（1）設(shè)事件“第一局雙方參賽的馬匹”，事件“在第一局比賽中田忌勝利”，由題意得，，則在第一局比賽中田忌勝利的概率是.（2）設(shè)事件“第一局齊威王派出場的是上等馬，而田忌派出場的是下等馬”，事件“田忌獲得本場比賽勝利”，由題意得，，則本場比賽田忌勝利的概率是.（3）.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求法，同時考查了條件概率，考查學(xué)生分析問題的能力，屬于中檔題.21．已知橢圓的離心率為，直線交于，