2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市軸承高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對實(shí)數(shù)、，定義運(yùn)算“”：=，設(shè)函數(shù).若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.

B.C.

D.參考答案：D2.參考答案：B3.命題p：?x＜0，2x＞x，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，則下列命題正確的是（）A．（￢p）∨q為真 B．p∨q為真 C．p∧（￢q）為假 D．（￢p）∧（￢q）為真參考答案：B【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題的真假．【分析】分別判斷出p，q的真假，從而判斷出復(fù)合命題的真假即可．【解答】解：命題p：?x＜0，2x＞0＞x，恒成立，故命題p是真命題；命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，不成立，故命題q是假命題；故p∨q為真，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合命題的判斷，是一道基礎(chǔ)題．4.下列關(guān)于不等式的說法正確的是

（

）A.若，則

B.若，則 C.若，則

D.若，則參考答案：C略5.如圖所示，圓O為單位圓，M、P、Q、R、T分別表示的復(fù)數(shù)為、、、、，則只可能是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】設(shè)出，，求出，再分析確定【詳解】由題意設(shè)，，，則，顯然有，，且，只可能是對應(yīng)的．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握模的概念是解題關(guān)鍵．6.已知點(diǎn)A（﹣1，2），B（3，1），若直線ax﹣y﹣2=0與線段AB相交，則a的范圍是（）A．[﹣4，1] B．[1，4] C．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】直線的斜率．【分析】由直線ax﹣y﹣2=0過定點(diǎn)P（0，﹣2），求出PA、PB所在直線的斜率得答案．【解答】解：∵直線ax﹣y﹣2=0過定點(diǎn)P（0，﹣2），如圖：又kPA=﹣4，kPB=1，∴a的范圍是（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查直線的斜率，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．7.復(fù)數(shù)z＝的共軛復(fù)數(shù)是()A．2＋i

B．2－i

C．－1＋i

D．－1－i參考答案：D8.若，則的取值范圍是

A.B.C.D.參考答案：C9.右圖是邊長相等的兩個(gè)正方形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正視圖、側(cè)視圖如右圖；②存在四棱柱，其正視圖、側(cè)視圖如右圖；③存在圓柱，其正視圖、側(cè)視圖如右圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是A.3

B.2

C.1

D.0 參考答案：A略10.用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)正確的是（

）A.假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B.假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C.假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)D.假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù)參考答案：B【分析】根據(jù)反證法的概念，可知假設(shè)應(yīng)是所證命題的否定，即可求解，得到答案?！驹斀狻扛鶕?jù)反證法的概念，假設(shè)應(yīng)是所證命題的否定，所以用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為“假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)”，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了反證法的概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記反證法的概念，準(zhǔn)確作出所證命題的否定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_______.參考答案：略12.一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩，則兩個(gè)小孩都是女孩的概率為

。參考答案：13.已知函數(shù)，則參考答案：2略14.已知橢圓C:的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，若，則=（

）A.1

B.

C.

D.2參考答案：B略15.已知方程表示雙曲線，則m的取值范圍是__________________.參考答案：略16.直線(a-1)x+(3a+2)y-5=0(a為實(shí)數(shù))一定經(jīng)過定點(diǎn)_________。參考答案：（-3，1）17.圓x2+y2﹣6x﹣2y+9=0與圓x2+y2﹣2y﹣8=0的位置關(guān)系是．參考答案：相交【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑大小，利用兩點(diǎn)的距離公式算出兩個(gè)圓心之間的距離，再比較圓心距與兩圓的半徑之和、半徑之差的大小關(guān)系，可得兩圓的位置關(guān)系．【解答】解：圓x2+y2﹣6x﹣2y+9=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，圓心是C（3，1），半徑r1=1．x2+y2﹣2y﹣8=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y﹣1）2=9，圓心是C′（0，1），半徑r2=3．∴|C′C|=3，∵|r1﹣r2|=2，r1+r2=4，∴|r1﹣r2|＜|C′C|＜r1+r2，可得兩圓相交．故答案為：相交．【點(diǎn)評】本題給出兩圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓圓與圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖1，正方形ABCD的邊長為，E、F分別是DC和BC的中點(diǎn)，H是正方形的對角線AC與EF的交點(diǎn)，N是正方形兩對角線的交點(diǎn)，現(xiàn)沿EF將折起到的位置，使得，連結(jié)PA，PB，PD（如圖2）．（1）求證：；（2）求點(diǎn)A到平面PBD的距離．參考答案：（1）見解析（2）試題分析：（1）首先由中位線定理及已知條件推出平面，然后由線面垂直的性質(zhì)定理平面，從而可使問題得證；（2）分別把和當(dāng)做底面求出棱錐的體積，由此列出方程求解即可．試題解析：（1）證明：∵分別是和的中點(diǎn)，∴．又∵，∴，故折起后有，又∵，∴平面，又∵平面，∴，∵平面，∴平面，又∵平面，∴．（2）∵正方形的邊長為，∴，∴是等腰三角形，連結(jié)，則，∴的面積．設(shè)三棱錐的高為，則三棱錐的體積為，由（1）可知是三棱錐的高，∴三棱錐的體積：，∵，即，解得，即三棱錐高為．考點(diǎn)：1、空間直線與直線的位置關(guān)系；2、線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理；3、三棱錐的體積．19.已知等差數(shù)列{an}的公差為1，其前n項(xiàng)和為Sn，且成等比數(shù)列．（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：(1)數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，∴a3=a1+2，a7=a1+6…………2分∵a1+1，a3+1，a7+1成等比數(shù)列，∴(a1+3)2=(a1+1)(a1+7)…………4分解得a1=1，所以an=n…………6分(2)證明：由(1)得an=n，Sn=…………7分∴…………9分∴┄…………12分20.如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的動點(diǎn)，且AM=λAB1，N是CC1的中點(diǎn)．（Ⅰ）若，求證：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直線MN與平面ABN所成角的大小為，試求λ的值．參考答案：考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；綜合題．分析：（I）結(jié)合幾何體中的線面關(guān)系證明線面垂直即AA1⊥面ABC，進(jìn)而可得AA1⊥CE，又MN∥CE，所以可得答案．（II）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量與直線所在的向量，利用向量的基本運(yùn)算，求出兩個(gè)向量的夾角再結(jié)合線面角的范圍求出線面角即可．解答：解（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)E，連接ME，CE，則有ME與NC平行且相等．∴四邊形MNCE為平行四邊形，MN∥CE∵AA1⊥面ABC，CE?面ABC∴AA1⊥CE，∴MN⊥AA1．（Ⅱ）以AB，AA1為x軸，z軸，在面ABC內(nèi)以過A點(diǎn)且垂直于AB的射線為y軸建系如設(shè)是平面ABN的一個(gè)法向量，則∴，令y=1∴設(shè)MN與面ABN所成角為θ則，化簡得3λ2+5λ﹣2=0，λ=﹣2或由題意知λ＞0，∴．點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，便于判斷線面的位置關(guān)系以及建立坐標(biāo)系通過向量法解決空間角、空間距離問題．21.（本題滿分15分）已知動點(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)連線的斜率的積為定值.（1）試求動點(diǎn)P的軌跡方程C；（2）設(shè)直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，求的面積．參考答案：（1）解：設(shè)點(diǎn)，則依題意有，┅┅┅3分整理得由于，所以求得的曲線C的方程為()┅┅┅7分（2）由

┅┅┅8分設(shè),則

┅┅┅10分

┅┅┅12分又原點(diǎn)到直線的距離所以

即的面積為

┅┅┅15分略22.己知圓C1的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C2的極坐標(biāo)方程為．（1）將圓C1的參數(shù)方程他為普通方程，將圓C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）圓C1，C2是否相交