信號檢測與估計第二章：信號檢測與估計理論的基礎知識隨機過程及其統(tǒng)計描述2.3.1隨機過程的概念和定義隨機過程的背景概率論中的隨機現(xiàn)象可以由有限個隨機變量來描述，然而在自然科學、工程技術等領域的應用中，人們需要研究動態(tài)系統(tǒng)的隨機現(xiàn)象，需要考慮隨時間變化的無窮不可數(shù)的一族隨機變量，稱為隨機過程。例1：假設x(t,)表示某電話在[0,t)時間內收到用戶的呼叫次數(shù)，對于每個特定的時間t，x(t,)是一個隨機變量，隨著時間t的變化，就得到一族隨機變量x(t,)，0t<，即一個隨機過程。2.3.1隨機過程的概念和定義隨機過程的定義設(,F,P)是一個概率空間，T是一個參數(shù)集（TR），定義在T上的二元函數(shù)x(t,)，如果對于任意tkT，x(tk,)是樣本空間上的一個隨機變量；對于任意固定k，x(t,k)是定義在時間參數(shù)T上的隨機過程對應k的一個樣本函數(shù)，{x(t,),tT，}為一個隨機過程，無窮多個樣本函數(shù)的總體構成隨機過程。2.3.1隨機過程的概念和定義隨機過程的定義x(t,1)一個樣本函數(shù)tx(t,2)tx(t,3)0tt1tN一個隨機變量樣本函數(shù)的集合叫做隨機過程2.3.2隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的背景一維累積分布函數(shù)：FxtPxtx(;)(,)一維概率密度函數(shù)：Fxt(;)pxt(;)x二維累積分布函數(shù)：FxxttPxtxxtx(,;,)(,),(,)12121122二維聯(lián)合概率密度函數(shù)：2Fxxtt(,;,)1212pxxtt(,;,)1212xx122.3.3隨機過程的統(tǒng)計平均量分布函數(shù)或概率密度函數(shù)在數(shù)學上能夠全面地描述隨機過程的統(tǒng)計特性，然而這些信息在實際中很難全部得到；隨機過程的很多主要特性可以由一階和二階統(tǒng)計平均量確定，更簡單直觀。簡記隨機變量xx隨機矢量，其第個分量xxkxxkk隨機過程，，，xttTxt()txtxtxtkkkk時刻隨機變量，，()k由，，，構成的維隨機矢量xtkNNkk(12,)xtxxxttt，，，，；，，，，11112N2.3.3隨機過程的統(tǒng)計平均量隨機過程的均值x():[()](;)tExtxpxtdx隨機過程的均方值222x():()(;)dtExtxpxtx均值和均方值是時間的函數(shù)2.3.3隨機過程的統(tǒng)計平均量隨機過程的方差2xx2():()()tExtt方差是時間的2xtpxtxx()(;)d函數(shù)方差等于均方值與數(shù)學期望平方之差。它表示隨機過程在t時刻對于均值x(t)的偏離程度。xxx222()()()ttt2.3.3隨機過程的統(tǒng)計平均量隨機過程的自相關函數(shù)rttExtxtxjkjk(,)()()：=,;,--xxpxxttdxdxjkjkjkjk表征了兩個隨機變量x(tj)和x(tk)之間的含有均值時的相關程度隨機過程的自協(xié)方差函數(shù)cttExttxttxjkjxjkxk(,)(()())(()())(())(())(,,)ddxtxtpxxttxxjxjkxkjkjkjk；表征了兩個隨機變量x(tj)和x(tk)之間的交流分量的相關程度2.3.4隨機過程的平穩(wěn)性嚴格平穩(wěn)隨機過程一維pxtpxttpxpx(;)(;)(;0)()jjt=tj說明嚴格平穩(wěn)隨機過程的一維概率密度函數(shù)與時間無關。=tktjpxxttpxxtttt(,,)(,,)jkjkjkjk；；二維pxxpxx(,0,)(,;)jkjk；說明嚴格平穩(wěn)隨機過程的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)僅與時間間隔有關，而與起始時刻無關。2.3.4隨機過程的平穩(wěn)性廣義平穩(wěn)隨機過程也稱為二階平穩(wěn)、寬平穩(wěn)過程。若隨機過程滿足xt()均值與時間無關自相關函數(shù)只與時間間隔有關均值Ext()x自相關函數(shù)ExtxtExtxtr()()()()()jkjjx則稱隨機過程為廣義平穩(wěn)過程。xt()既不滿足嚴格平穩(wěn)、也不滿足廣義平穩(wěn)的隨機過程，稱為非平穩(wěn)隨機過程。2.3.4隨機過程的平穩(wěn)性二階矩過程的定義：如果隨機過程的一、二階矩存在。嚴格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)隨機過程的關系對二階矩過程，嚴格平穩(wěn)一定廣義平穩(wěn)；廣義平穩(wěn)不一定嚴格平穩(wěn)，除非是高斯隨機過程。統(tǒng)計平均量：xxxxx，，，，22rc()()2.3.4隨機過程的平穩(wěn)性平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計平均量間的關系xxx222rrxx()()crxxx()()2ccxx()()xx2r(0)xx2c(0)rrxx(0)()0，ccxx(0)()0，2.3.4隨機過程的平穩(wěn)性聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程及其統(tǒng)計特性設x(t)和y(t)分別是兩個平穩(wěn)的隨機過程，如果對任意的t，其互相關函數(shù)rttrttttrttxyjkxyjkxykj(,)(,)()，則x(t)和y(t)為聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程，互相關函數(shù)僅與時間間隔有關。主要特性互協(xié)方差函數(shù)cttcrttxyjkxyxyxykj(,)()()，cxy()xy互相關系數(shù)xy()2.3.5隨機過程的遍歷性若隨機過程x(t)的的一個樣本函數(shù)求得的時間平均統(tǒng)計特性以概率1等于其總體平均統(tǒng)計特性，則x(t)是具有遍歷性的隨機過程(各態(tài)歷經隨機過程)。用途：用時間平均統(tǒng)計特性代替總體平均統(tǒng)計特性。時間平均量定義為如：隨機過程x(t)的時間自相關函數(shù)為2.3.5隨機過程的遍歷性隨機過程的遍歷性關系：遍歷性的隨機過程一定是平穩(wěn)的隨機過程；理論上平穩(wěn)的隨機過程不一定是遍歷性的隨機過程；但是，實際上平穩(wěn)的隨機過程一般具有遍歷性。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經條件。2.3.5隨機過程的遍歷性判斷各態(tài)歷經性首先判斷是否滿足寬平穩(wěn)條件。例2：設有一個隨機相位余弦波xtAt()cos()0幅度A和角頻率0均為常數(shù)，相位是在(0,2)內均勻分布的隨機變量。討論x(t)是否具有各態(tài)歷經性。解:(1)驗證平穩(wěn)性先求x(t)的統(tǒng)計平均值。數(shù)學期望21x()[()]cos()dtExtAt002A220(coscossinsin)d00tt2[coscosdsinsind00tt00A2202.3.5隨機過程的遍歷性自相關函數(shù)RttExtxtEAtAt(,)[()()][cos()cos()]12120102A2Etttt{cos()cos[()2]}021021222cos()cos[()2]d021021tttt02AA2221A2cos()0021tt2A2cos()()0R2由均值和自相關函數(shù)與時間t無關性，可見x(t)是一個廣義隨機過程。2.3.5隨機過程的遍歷性（2）驗證遍歷性，求時間平均量1T/2xtAtt()limcos()d0TTT/20xtxt()(+)1T/2Tlimcos()cos[()]TT/2AtAtdt00Tlim[coscos(22)]2TTT/2/2000dttdtA2TT/2/2A2cos02隨機過程x(t)的統(tǒng)計平均值和時間平均值與時間t無關且相等，所以x(t)是各態(tài)歷經的，具有遍歷性2.3.6隨機過程正交性、不相關性和統(tǒng)計獨立性定義(1)相互正交性rttjkxjk(,)0，(2)互不相關性cttjkxjk(,)0，或者rttttjkxjkxjxk(,)()()，(3)相互統(tǒng)計獨立性pxxxttt(,,,,,,)1212NN；pxtpxtpxt(,)(,)(,)1122NN2.3.6隨機過程正交性、不相關性和統(tǒng)計獨立性關系(1)()0(1,2,)若xktkN，則cttrttxjkxjk(,)(,)(2)()()若與相互統(tǒng)計獨立，則二者必互不相關。xtxtjk(3)()()若與互不相關，不一定相互統(tǒng)計獨立，xtxtjk除非它們是聯(lián)合高斯分布。2.3.7平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度由于平穩(wěn)隨機過程不滿足絕對可積條件，因而其頻譜函數(shù)不存在；但其平均功率P通常是有限的，從而引出功率譜密度函數(shù)P()。2.3.7平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如果平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)絕對可積xtr()()x()rdx則有：jPrexx()()d，rPexx()()d，1j2功率譜密度函數(shù)與自相關函數(shù)構成傅立葉變換對2.5線性是不變系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機信號的影響假設線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應為h(t)，頻率響應為H()，輸入信號為x(t)，響應為y(t)xt()yt()ht()ythuxtudu()()()線性時不變系統(tǒng)問題：輸入信號x(t)為平穩(wěn)隨機，系統(tǒng)輸出隨機信號y(t)是否平穩(wěn)y(t)的統(tǒng)計平均量與x(t)、h(t)、H()的關系假設：x(t)均值為x，方差x2，自相關函數(shù)rx()，功率譜密度Px()2.5線性是不變系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機信號的影響均值：y()()()()tEytEhuxtuduhuExtudu()()xhudu()H(0):xy自相關函數(shù)：rttEytyty(,)()()Ehuxtuduhvxtvdv()()()()huhvExtuxtvdvdu()()()()huhvruvdvdu()()()x:()ry2.5線性是不變系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機信號的影響自相關函數(shù)：rhuhvruvdvduyx()()()()tvurthuhtuutx()()()ddgthuhtuuhtht()()()d()()rrtgttyx()()()drhhx()()()功率譜密度：PHHP()()()()yxHP()()2x2.5線性是不變系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機信號的影響互相關函數(shù)：rExtytxy()()()Exthuxtuu()()()dhuruu()()dxrhx()()功率譜密度：PHPxyx()()()rrhyxy()()()PHPyxy()()()2.6高斯噪聲、白噪聲在電子信息系統(tǒng)中，描述噪聲統(tǒng)計特性最常用的數(shù)學模型是時域的高斯噪聲和頻域的白噪聲：高斯噪聲一維概率密度函數(shù)：1/221()nknkpnt(;)expkk2222nnkknnkknnkkkk,,22分別為隨機變量的均值和方差?！ǎ﹏nN高斯噪聲N維聯(lián)合概率密度函數(shù)：(;)(),(),...,()ntntntnt12N2.6高斯噪聲、白噪聲高斯噪聲N維聯(lián)合概率密度函數(shù)：ppnnnttt(;),,...,;,,...,nt1212NN11exp()()nCnT121/2C1/22nnnn其中：Tnnnn