例1：簡單的力學系統(tǒng)如圖所示，在光滑平面上，質(zhì)量為m的鋼性球體在外力f(t)的作用下產(chǎn)生運動。設(shè)球體與平面的摩擦力及空氣阻力忽略不計。將外力f(t)看作是系統(tǒng)的激勵，球體運動速度v(t)看作是系統(tǒng)的響應(yīng)。f(t)v(t)§1-5系統(tǒng)的描述和分類

一、系統(tǒng)描述系統(tǒng)描述分為:內(nèi)部描述和外部描述

把建立系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的系統(tǒng)模型稱為輸入輸出模型（描述），相應(yīng)的方程稱為輸入輸出方程。把著眼于建立系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)變量關(guān)系的系統(tǒng)模型稱為狀態(tài)空間模型（描述），相應(yīng)的方程稱為狀態(tài)空間方程。1、線性性質(zhì)：包括齊次性和迭加性齊次性：如果f(t)系統(tǒng)y(t)

則:kf(t)系統(tǒng)ky(t)疊加性：如果f1(t)系統(tǒng)y1(t)f2(t)系統(tǒng)y2(t)

則：f1(t)+f2(t)系統(tǒng)y1(t)+y2(t)線性：如果f1(t)系統(tǒng)y1(t)f2(t)系統(tǒng)y2(t)

則：k1f1(t)+k2f2(t)系統(tǒng)k1y1(t)+k2y2(t)二、系統(tǒng)的特性及分類用線性特性定義線性系統(tǒng)問題：若y(t)=a(t)f(t)，y(t)與f(t)是否滿足線性？設(shè)y1(t)=a(t)f1(t)y2(t)=a(t)f2(t)以k1f1(t)+k2f2(t)為輸入輸出為a(t)[k1f1(t)+k2f2(t)]=k1y1(t)+k2y2(t)所以y(t)與f(t)滿足線性線性系統(tǒng)：凡能滿足線性特性的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)：

不能滿足線性特性的系統(tǒng)。對線性系統(tǒng)，全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)

分解特性線性系統(tǒng)滿足零輸入線性零狀態(tài)線性分解特性一個線性系統(tǒng)要求在所有可能的輸入條件下都必須呈線性。當輸入為零時，對不同的初始狀態(tài)，零輸入響應(yīng)必須呈線性。（零輸入線性）當初始狀態(tài)為零時，對不同的輸入，零狀態(tài)響應(yīng)必須呈線性。

（零狀態(tài)線性）線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)不滿足分解特性例1-7系統(tǒng)的輸入f(t)和響應(yīng)y(t)的關(guān)系如下(初始條件為x(t0))，試說明系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)，不是的說明原因。(1)y(t)=ax(t0)+bf(t)(a、b為常系數(shù))(2)y(t)=x(t0)sin5t+tf(t)(3)y(t)=x(t0)sint+x(t0)f(t)(4)y(t)=3x(t0)+f2(t)解：（4）判斷零狀態(tài)響應(yīng)是否線性此時yf(t)=f2(t)

設(shè)yf1(t)=f12(t)

yf2(t)=f22(t)以k1f1(t)+k2f2(t)為輸入，輸出為:[k1f1(t)+k2f2(t)]2

k1f12(t)+k2f22(t)=k1yf1(t)+k2yf2(t)所以零狀態(tài)響應(yīng)非線性。如果一個系統(tǒng)的輸入f(t)與輸出y(t)的關(guān)系，可用下面的方程描述上式中系數(shù)ai和bj可以是常數(shù)也可以是時間函數(shù)(但不是y或f的函數(shù))，則這個系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。例1-8判斷以下系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)，不是的說明原因。是是時變系統(tǒng)

—系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化的系統(tǒng)，用變參數(shù)方程描述。非時變系統(tǒng)

—系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，用常參數(shù)方程

。2、時不變性：ETtx(t)系統(tǒng)Ety(t)ET+t0tx(t-t0)t0系統(tǒng)Ety(t-t0)t0時不變特性：只要初始狀態(tài)不變，則系統(tǒng)的輸出響應(yīng)形狀不隨輸入施加的時間不同而改變。則：若：例1-9試判斷以下系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)(LTI)(1)yf(t)=2cos[f(t)](2)yf(t)=e-tf(t)解：(1)f(t)系統(tǒng)yf(t)=2cos[f(t)]f1(t)=f(t-td)系統(tǒng)2cos[f1(t)]=2cos[f(t-td)]=yf(t-td)

所以該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。

(2)f(t)系統(tǒng)yf(t)=e-tf(t)f1(t)=f(t-td)系統(tǒng)e-tf(t-td)yf(t-td)=

e-(t-td)f(t-td)所以該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)3、因果性：

因果性：激勵是響應(yīng)產(chǎn)生的原因，響應(yīng)是激勵產(chǎn)生的結(jié)果。當t>0時作用于系統(tǒng)的激勵，在t<0時不會在系統(tǒng)產(chǎn)生響應(yīng)。因果系統(tǒng)(可實現(xiàn)系統(tǒng))：響應(yīng)不出現(xiàn)于激勵之前的系統(tǒng)。例如：yf(t)=2f(t)+4f(t-1)yf(t)=f(t+1)

yf(t)=f(2t)因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)4、穩(wěn)定性

一個系統(tǒng)，如果它對任何有界的輸入所產(chǎn)生的輸出亦為有界就稱該系統(tǒng)為有界輸入/有界輸出穩(wěn)定，簡稱BIBO穩(wěn)定。例如：yf(t)=2f(t)yf(t)=tf(t+1)

yf(t)=f(2t)BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)BIBO不穩(wěn)定系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)

本書著重討論線性、時不變、因果、確定性的連續(xù)和離散系統(tǒng)?！?-6線性時不變系統(tǒng)性質(zhì)及分析線性：如果f1(t)系統(tǒng)y1(t)f2(t)系統(tǒng)y2(t)

則：k1f1(t)+k2f2(t)系統(tǒng)k1y1(t)+k2y2(t)時不變特性：如果f(t)系統(tǒng)y(t)則:f(t-td)系統(tǒng)y(t-td)微分性：如果f(t)系統(tǒng)y(t)則:系統(tǒng)

積分性：如果f(t)系統(tǒng)y(t)則:系統(tǒng)例1.6-1:一線性非時變系統(tǒng)，在零狀態(tài)條件下激勵f1(t)與響應(yīng)y1(t)的波形如圖所示。試求激勵波形為f2(t)時響應(yīng)y2(t)的波形。02t2f1(t)0123t4y1(t)-402t4f2(t)0123t4y2(t)例1-6.2:一線性時不變系統(tǒng)，在相同的初始條件下，若當激勵為f(t)時，其全響應(yīng)為y1(t)=2e-3t+sin2tt>0；若當激勵為2f(t)時，其全響應(yīng)為y2(t)=e-3t+2sin2tt>0求:(1)初始條件不變，當激勵為f(t-t0)時的全響應(yīng)y3(t)(t0>0)(2)初始條件增大1倍，當激勵為0.5f(t)時的全響應(yīng)y4(t)解:設(shè)零輸入響應(yīng)為yx(t)，零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t)，則有

yx(t)+yf(t)=y1(t)=2e-3t+sin2tyx(t)+2yf(t)=y2(t)=e-3t+2sin2t

解得：yx(t)=3e-3t

yf(t)=-e-3t+sin2t(1)y3(t)=yx(t)+yf(t-t0)=3e-3t+[-e-3(t-t0)+sin2(t-t0)]t>t0(2)y4(t)=2yx(t)+0.5yf(t)=23e-3t+0.5[-e-3t+sin2t]