優(yōu)選哈密頓正則方程現(xiàn)在是1頁\一共有17頁\編輯于星期一25.5.1勒讓德變換廣義動(dòng)量拉氏函數(shù)(1)(2)由(2)解得(3)定義另外一個(gè)函數(shù)，稱為哈密頓函數(shù)其中的要用(3)代換。哈密頓函數(shù)的定義式現(xiàn)在是2頁\一共有17頁\編輯于星期一35.5.1勒讓德變換哈密頓函數(shù)的物理含義若L不顯含t,則對(duì)于穩(wěn)定約束系統(tǒng)，H即系統(tǒng)總能量對(duì)于不穩(wěn)定約束系統(tǒng)，H是廣義能量現(xiàn)在是3頁\一共有17頁\編輯于星期一45.5.1勒讓德變換勒讓德變換的規(guī)則以上從到的變換稱為勒讓德變換。規(guī)則：把要消去的變量()乘以原函數(shù)(L)對(duì)該變量的偏導(dǎo)()后，再減去原函數(shù)。現(xiàn)在是4頁\一共有17頁\編輯于星期一55.5.2正則方程正則方程的推導(dǎo)(1)(2)(2)代入(1)可得(3)現(xiàn)在是5頁\一共有17頁\編輯于星期一65.5.2正則方程正則方程的推導(dǎo)(3)另一方面(4)(3)(4)比較可得哈密頓正則方程以及若L不顯含t,則H也不顯含t.現(xiàn)在是6頁\一共有17頁\編輯于星期一75.5.2正則方程相空間s個(gè)廣義坐標(biāo)，和s個(gè)廣義動(dòng)量，統(tǒng)稱為正則變量，它們作為相互獨(dú)立的變量，張開一個(gè)2s維空間，稱為相空間。相空間的一點(diǎn)，代表系統(tǒng)可能存在的一個(gè)狀態(tài)，稱為相點(diǎn)。隨時(shí)間變化，相點(diǎn)在相空間移動(dòng)，劃出一條曲線，代表系統(tǒng)狀態(tài)的演化路徑?，F(xiàn)在是7頁\一共有17頁\編輯于星期一85.5.3能量積分與循環(huán)積分能量積分正則方程若H不顯含t,則H守恒。現(xiàn)在是8頁\一共有17頁\編輯于星期一95.5.3能量積分與循環(huán)積分循環(huán)積分若H不顯含某個(gè)廣義坐標(biāo)，則根據(jù)正則方程可得：即相應(yīng)的廣義動(dòng)量守恒。注：這里的能量積分與循環(huán)積分，與從拉氏函數(shù)得到的能量積分和循環(huán)積分，結(jié)果是一樣的?，F(xiàn)在是9頁\一共有17頁\編輯于星期一10例題15.5哈密頓正則方程解：以平衡位置(即彈簧原長(zhǎng)位置)為原點(diǎn)，建立一維x軸。動(dòng)能勢(shì)能拉氏函數(shù)例1

試用哈密頓正則方程建立圖示一維彈簧振子的運(yùn)動(dòng)微分方程。平衡位置光滑水平面彈簧勁度系數(shù)為k廣義動(dòng)量現(xiàn)在是10頁\一共有17頁\編輯于星期一11例題15.5哈密頓正則方程哈密頓函數(shù)正則方程(1)(2)(1)(2)聯(lián)立可得即一維彈簧振子的運(yùn)動(dòng)微分方程現(xiàn)在是11頁\一共有17頁\編輯于星期一12例題25.5哈密頓正則方程例2

用哈密頓正則方程建立質(zhì)點(diǎn)在有心力勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)微分方程.解：采用球坐標(biāo)描述質(zhì)點(diǎn)的速度拉氏函數(shù)廣義動(dòng)量(1)位矢現(xiàn)在是12頁\一共有17頁\編輯于星期一13例題25.5哈密頓正則方程哈密頓量(2)(1)代入(2)可得(3)正則方程(4)(5)(6)(7)(8)(9)現(xiàn)在是13頁\一共有17頁\編輯于星期一14例題25.5哈密頓正則方程另一方面計(jì)算可得可見(10)代表沿z方向的動(dòng)量矩守恒。由(6)(9)可得(10)但是z軸的方向是任意選擇的，故沿任何方向都有動(dòng)量矩守恒，從而系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒，即分析：一、動(dòng)量矩守恒現(xiàn)在是14頁\一共有17頁\編輯于星期一15例題25.5哈密頓正則方程分析：二、平面運(yùn)動(dòng)現(xiàn)在選擇一個(gè)特殊的z軸方向：使初速度v0躺在z軸和初位矢r0所確定的平面內(nèi)。(10)則根據(jù)(10)式，可得初始時(shí)刻，以及后面任意時(shí)刻，都有這意味著質(zhì)點(diǎn)將始終保持在z軸和初位矢r0所確定的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。z軸就是平面極坐標(biāo)的極軸?，F(xiàn)在是15頁\一共有17頁\編輯于星期一16例題25.5哈密頓正則方程分析：三、簡(jiǎn)化正則方程(4)(5)(6)(7)(8)(9)(4')(5')(7')(8')現(xiàn)在是16頁\一共有17頁\編輯于星期一17例題25.5哈密頓正則方程分析：四、最終的運(yùn)動(dòng)微分方程即在垂直于運(yùn)動(dòng)平面方向上的動(dòng)量矩守恒。