求代數(shù)方程的近似根解第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六1解方程（代數(shù)方程）是最常見的數(shù)學(xué)問題之一，也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免的問題之一目前還沒有一般的解析方法來求解非線性方程，但如果在任意給定的精度下，能夠解出方程的近似解，則可以認(rèn)為求解問題已基本解決，至少可以滿足實(shí)際需要本實(shí)驗主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法：對分法，不動點(diǎn)迭代法和牛頓法。同時要求大家學(xué)會如何利用Matlab來求方程的近似解

問題背景和實(shí)驗?zāi)康拇鷶?shù)方程近似求解第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六2相關(guān)概念

如果f(x)

是一次多項式，稱上面的方程為線性方程；否則稱之為非線性方程

線性方程與非線性方程本實(shí)驗主要討論非線性方程的數(shù)值求解第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六3主要內(nèi)容對分法

本實(shí)驗討論的數(shù)值算法

牛頓迭代法不動點(diǎn)迭代一般形式松弛加速迭代法不動點(diǎn)迭代法第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六4基本思想對分法將有根區(qū)間進(jìn)行對分，判斷出解在某個分段內(nèi)，然后再對該段對分，依次類推，直到滿足給定的精度為止

適用范圍求有根區(qū)間內(nèi)的單重實(shí)根或奇重實(shí)根

數(shù)學(xué)原理：介值定理設(shè)

f(x)

在[a,b]

上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則由介值定理可得，在(a,b)

內(nèi)至少存在一點(diǎn)

使得f()=0第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六5具體步驟對分法設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]

內(nèi)連續(xù)，且f(a)f(b)<0。對于給定的精度要求，若有|f(z)|<，則z

就是我們所需要的f(x)=0

在區(qū)間[a,b]

內(nèi)的近似根例：用對分法求x3-3x+1=0在[0,1]中的解。（fuluA.m）(1)令x

=(a+b)/2,計算f(x)

(2)若|f(x)|<

，則停止計算，輸出近似解x(3)若f(a)·f(x)<0，則令b

=

x;否則令a

=

x(4)返回第一步第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六6收斂性分析對分法收斂性設(shè)方程的根為x*(ak,bk

)，又，所以0(k

)對分法總是收斂的對分法的收斂速度通常較慢對分法通常用來試探實(shí)根的分布區(qū)間，或給出根的一個較為粗糙的近似根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個每次縮小一半的區(qū)間序列

{[ak,bk

]}

，在(ak,bk

)中含有方程的根。第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六7主要內(nèi)容對分法

本實(shí)驗討論的數(shù)值算法

牛頓迭代法不動點(diǎn)迭代一般形式松弛加速迭代法不動點(diǎn)迭代法第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六8不動點(diǎn)迭代法基本思想構(gòu)造

f(x)=0

的一個等價方程：從某個近似根x0

出發(fā)，計算得到一個迭代序列k=0,1,2,......

(x)

的不動點(diǎn)f(x)=0x=(x)等價變換f(x)

的零點(diǎn)第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六9若收斂，即，假設(shè)(x)

連續(xù)，則收斂性分析迭代法的收斂性即注：若得到的點(diǎn)列發(fā)散，則迭代法失效！第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六10定義：迭代法收斂性判斷如果存在

x*的某個

鄰域

=(x*-,x*+),

使得對

x0

開始的迭代

xk+1

=

(xk)都收斂,則稱該迭代法在

x*

附近局部收斂。定理：已知方程

x=(x)，且(1)對

x[a,b]，有(x)[a,b]；(2)對

x[a,b]，有|’(x)|q<1；則對

x0[a,b]

，由迭代

xk+1

=

(xk)得到的點(diǎn)列都收斂，且第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六11迭代法收斂性判斷以上所給出的收斂性定理中的條件的驗證都比較困難，在實(shí)際應(yīng)用中，我們常用下面不嚴(yán)格的判別方法：當(dāng)有根區(qū)間[a,b]

較小，且對某一

x0[a,b]，|’(x0)|明顯小于1時，則我們就認(rèn)為迭代收斂例：用不動點(diǎn)迭代法求x3-3x+1=0在[0,1]中的解。

（fuluB.m）q越小，迭代收斂越快’(x*)

越小，迭代收斂越快第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六12迭代法的加速設(shè)迭代xk+1

=

(xk)

，第k

步和第k+1

步得到的近似根分別為xk

和(xk)，令其中wk

稱為加權(quán)系數(shù)或權(quán)重。得新迭代xk+1

=

(xk)

加權(quán)系數(shù)wk

的確定：令’(x)=0得第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六13松弛迭代法松弛法迭代公式：松弛法具有較好的加速效果甚至有些不收斂的迭代，加速后也能收斂缺點(diǎn)：每次迭代需計算導(dǎo)數(shù)例：用松弛迭代法求x3-3x+1=0在[0,1]中的解。

（fuluD.m）第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六14主要內(nèi)容對分法

本實(shí)驗討論的數(shù)值算法

牛頓迭代法不動點(diǎn)迭代一般形式松弛迭代法不動點(diǎn)迭代法第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六15牛頓迭代法令：

基本思想：用線性方程來近似非線性方程，即采用線性化方法設(shè)非線性方程f(x)=0

,f(x)在x0

處的Taylor展開為第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六16牛頓法迭代公式牛頓迭代公式k=0,1,2,......牛頓法的收斂速度令牛頓法至少二階局部收斂當(dāng)f’(x*)0時’(x*)=0(x)即為牛頓法的迭代函數(shù)例：用牛頓法求x3-3x+1=0的解。(fuluF.m)第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六17牛頓法迭代公式牛頓的優(yōu)點(diǎn)牛頓法是目前求解非線性方程(組)的主要方法至少二階局部收斂，收斂速度較快，特別是當(dāng)?shù)c(diǎn)充分靠近精確解時。牛頓的缺點(diǎn)

對重根收斂速度較慢（線性收斂）對初值的選取很敏感，要求初值相當(dāng)接近真解在實(shí)際計算中，可以先用其它方法獲得真解的一個粗糙近似，然后再用牛頓法求解。第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六18Matlab解方程函數(shù)roots(p)：多項式的所有零點(diǎn)，p

是多項式系數(shù)向量。fzero(f,x0)：求f=0

在x0

附近的根，f

可以使用inline、字符串、或@，但不能是方程或符號表達(dá)式！solve(f,v)：求方程關(guān)于指定自變量的解，f

可以是用字符串表示的方程、符號表達(dá)式或符號方程；solve也可解方程組(包含非線性)；得不到解析解時，給出數(shù)值解。linsolve(A,b)：解線性方程組。

第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六19多項式的零點(diǎn)x=roots(p)：若

p

是

n

次多項式，則輸出是p=0

的

n

個根組成的

n

維向量若已知多項式的全部零點(diǎn)，則可用poly函數(shù)給出該多項式p=poly(x)>>

p=[2,-1,0,3];>>

x=roots(p)例：已知p

=2x3-

x2+3，求p(x)的零點(diǎn)多項式的零點(diǎn)第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六20線性方程組求解

線性方程組求解linsolve(A,b)：解線性方程組Ax=b

例：解方程組>>

A=[12-1;101;130];>>

b=[2;3;8];>>

x=linsolve(A,b)b

是列向量！第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六21非線性方程的根

非線性方程的數(shù)值求解fzero(f,x0)：求方程

f=0

在

x0

附近的根方程可能有多個根，但fzero

只給出x0

附近的一個

fzero

先找出一個包含x0

的區(qū)間，使得f

在這個區(qū)間兩個端點(diǎn)上的函數(shù)值異號，然后再在這個區(qū)間內(nèi)尋找方程f=0

的根；如果找不到這樣的區(qū)間，則返回NaN

x0

是一個標(biāo)量，為參考點(diǎn)，不能缺省由于fzero

是根據(jù)函數(shù)是否穿越橫軸來決定零點(diǎn)，因此它無法確定函數(shù)曲線僅觸及橫軸但不穿越的零點(diǎn)，如|sin(x)|

的所有零點(diǎn)第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六22非線性方程的根

fzero

的另外一種調(diào)用方式fzero(f,[a,b])方程在[a,b]

內(nèi)可能有多個根，但fzero

只能求一個求方程f=0在[a,b]

區(qū)間內(nèi)的根。

參數(shù)

f

可通過以下方式給出：

字符串：

內(nèi)聯(lián)函數(shù)：

f

不是方程，即不含等號！f=inline('x^3-3*x+1');fzero(f,2)fzero('x^3-3*x+1',2)第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六23>>

fzero('sin(x)',10)>>

fzero(@sin,10)>>

fzero('x^3-3*x+1',1)>>

fzero('x^3-3*x+1',[1,2])>>

fzero('x^3-3*x+1=0',1)X>>

fzero('x^3-3*x+1',[-2,0])>>

f=inline('x^3-3*x+1');>>

fzero(f,[-2,0])用

fzero

求零點(diǎn)時可以先通過作圖確定零點(diǎn)的大致范圍例：fzero舉例第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六24符號求解s=solve(f,v)：求方程關(guān)于指定自變量的解s=solve(f)：求方程關(guān)于默認(rèn)自變量的解

f

可以是用字符串表示的方程，或符號表達(dá)式若f

是字符串，可以不含等號，表示解方程f=0若f

是符號表達(dá)式，不能含等號例：解方程x^3-3*x+1=0>>

symsx;f=x^3-3*x+1;s=solve(f,x)>>

s=solve('x^3-3*x+1','x')>>

s=solve('x^3-3*x+1=0','x')

非線性方程的符號求解第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六25符號求解

solve

也可以用來解方程組solve(

f1,f2,...,fN,v1

,v2

,...,vN)求解由f1,f2,...,fN

確定的方程組關(guān)于v1

,v2

,...,vN

的解例：解方程組>>

[x,y,z]=solve('x+2*y-z=27','x+z=3',...