秒數聯(lián)盟?2021年新高考數學模擬試卷

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）設集合A={0,-2},3={-1,0,2},則AU5=（）

A.{0}B.{-1,2}C.{-2,0}D.{-2,-1,0,

2）

2.（5分）復數z滿足（-2-i）z=|3+4i|（i為虛數單位），貝快（）

A.-2+iB.2-iC.-2-zD.2+i

3.（5分）已知〃=（￡）ib=（3c=log37r,則〃，b,c的大小關系為（）

32

A.a>b>cB.a>c>hC.c>a>hD.c>b>a

TTTTTT

4.（5分）已知向量14=1,g2,ab=3病量溝向量的夾角為（）

ITITITPrr

A.-B.-C.-D.—

6433

5.（5分）已知等比數列{“"}滿足。1+。2=6,。2+。3=12,則0的值為（）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數

歹U，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則上面第1節(jié)的容量為（）

A.芻升B.；:升C.D.1升

7.（5分）已知函數扣若費■于任意的x€R,都有/（xi）W/（x）可⑴）成

立，則陽-初的最小值為（）

A.4B.1C.-D.2

2

8.（5分）已知函數扣心物/w>0,nGR）在（3+8）上不單調，若m

>入恒成立，則實數人的取值范圍為（）

A.[3,+8）B.14,+8）C.（-8,3]D.（…，4J

二,多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）已知A,B,C三點不共線，。為平面ABC外的任一點，則“點M與點A,B,C

共面”的充分條件的是（）

A.CM^OA-OB-CCB.OM=CA-iCB-OC

TT1TLT1TLi-

CCM=<y[+^-fC-D.CM=p^jQB+新一

10.（5分）某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道，現從備選的10

題中隨機抽出3題進行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格.則下列選項正確的是（）

A.答對0題和答對3題的概率相同，都里

8

B.答對1題的概率為

8

C.答對2題的概率為三

12

D.合格的概率為」

2

11.（5分）如圖，在四面體ABCO中，截面PQWN是正方形，則在下列命題中，正確的為

（）

A.ACA.BD

B.AC〃截面PQMN

C.AC=BD

D.異面直線PM與8。所成的角為45°

12.（5分）下列四個圖形中可能是函數y=/（x）圖象的是（）

D.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行.江先生從

家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘.公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經常擁

堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N（33,42）,下車后從公交站步行到單位要

12分鐘；乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N

（44,22）,下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘.下列說法：①若8：00出門，則乘

坐公交不會遲到；②若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大；③若8：06

出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大；④若8：12出門，則乘坐地鐵幾乎不可能

上班不遲到.從統(tǒng)計的角度認為以上說法中所有合理的序號是.

參考數據：若Z?N（|i,。2）,則P（n-5<Z<n+o）=0.6826,P（n_28<Z<n+2

。）=0.9544,P（|i-38<Z<H+3。）=0.9974.

14.（5分）已知首項為3的正項數列｛斯｝滿足（斯+1+如）Ca^i-a,,）=3（??+1）（a?-1）,

記數列也得明勺前n項和為S“，則使得S?>440成立的〃的最小值為.

15.（5分）若2%<2爐+1對任意的1］成立，則正實數a的取值范圍為.

16.（5分）已知橢圓E：&+叢（a>b>0）的右焦點為F.短軸的一個端點為M,直

ab

4

線/：3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點.若|4月+|叫=4,點/到直線/的距離不小于

5

則橢圓E的離心率的取值范圍是一

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知數列｛斯｝是公差為d的等差數列，數列｛兒｝是公比為q（q>0）的等比數

列，且ai—b\—2,04+05—25,。3力3=4.

（I）求數列｛斯｝和｛瓦｝的通項公式;

（II）設Cn=a?+2,求數列｛5｝的前“項和S”.

3n

18.（12分）在銳角△ABC中，角A,B,C對應的邊分別是“，b,c,且cos2A+sin（j-rt）

+1=0.

（1）求角A的大小；

（2）若AABC的面積5=詆h=3.求sinC的值.

19.（12分）已知圓C：（x+1）2+9=8,定點4（1,0）,M為圓上一動點，線段的垂

直平分線交MC于點N,設點N的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E方程；

(2)若經過尸(0,2)的直線/交曲線E于不同的兩點G,H(點G在點凡H之間),

一3一

且滿足FG=刊，求直線/的方程.

20.(12分)如圖，長方體ABC。-的底面ABCZ)是正方形，點E在棱441上,

BElECi.

(1)證明：BE_L平面EBiCi；

(2)若AE^A\E,求二面角3-EC-G的正弦值.

21.(12分)從編號為1,2,3,4,10的10個大小、形狀相同的小球中，任取5個球.如

果某兩個球的編號相鄰，則稱這兩個球為一組“好球”.

(1)求任取的5個球中至少有一組“好球”的概率；

(2)在任取的5個球中，記“好球”的組數為X,求隨機變量X的概率分布列和均值E

(X).

22.(12分)已知函數84+46-2x

(I)當〃=2時，求曲線y=/(x)在點(1,7(D)處的切線方程:

(II)若/(尤)在區(qū)間［1,2］上單調遞增，求a的取值范圍；

(III)求f(x)在［1,e］上的最小值.

2021年新高考數學模擬試卷

參考答案與試題解析

--選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）設集合A={0,-2},B={-1,0,2},則4UB=（）

A.{0}B.{-1,2}C.{-2,0}D.{-2,-1,0,

2）

【解答】解：；4={0，-2},B={-1,0,2）,

：.AUB=（-2,-1,0,

2）.故選：D.

2.（5分）復數z滿足（-2-i）z=|3+4i|（i為虛數單位），則石（）

A.-2+iB.2-iC.-2-zD.2+i

【解答】解：由（-2-i）z=|3+4i|=5,得z=—=臥=_2修

:?Z=-2T.

故選：C.

3.（5分）已知a=（￡）孑b=（532c=log3n，則mb,c的大小關系為（

）

32

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

lo

【解答】解：債砂中=1^h^iog33=1；

：.c>h>

a,故選：

D.

TTTT—T

4.（5分）己知向量14=1,g2,db=3贏量內向量獨夾角為（

）

TT_71_IT2rr

A.-B.-C.-

D-T

643

->1T-

【解答】解：|=1,\b\=2,ab=￡

-

COSTT=j0<TT<7T,

<ab>2，且<ab>

TTTT

向量a悌j夾角為.一

6

故選：A.

5.（5分）已知等比數列｛〃〃｝滿足m+〃2=6,〃2+〃3=12,則〃1的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由題意，設等比數列｛m｝的公比為q,則

"--二"■—?-刃=—=2.

狷泄6

?'.q=2.

將<7=2ItA〃I+〃2=6,即〃1+。q=6,

解得0=2.

故選：B.

6.（5分）《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數

歹U，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則上面第1節(jié)的容量為（）

A.；：升B.3升C.D.1升

【解答】解：設竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：4”。2,…，“9,且為等差數列，

根據題意得：。1+。2+。3+。4=3,。7+。8+的=4,

即4m+64=3①，3ai+21”=4②，②X4-①X3得：66d=7,解得右4

把左3弋入①得：⑴工才

故選：A.

7.（5分）已知函數8=jfx+2若尹于任意的x€R,都有/（xi）守（x）〈/（M）成

立，則團的最小值為（）

A.4B.1C.-D.2

29

【解答】解：函數f（x）=3sin（?x+2）,所以函數的周期7=空=4.

7E

2

對于任意的xGR,都有/（加）勺（x）勺（及）成立，-3勺（工）W3.

則bi-也1的最小值為1_

2=2?

故選：D.

8.（5分）已知函數@=心物x+I（'">3"CR）在（0,+8）上不單調，若m-n

>入恒成立，則實數人的取值范圍為（）

A.[3,+8）B.（4,+8）C.（-8,3]D.（-8,4]

【解答】解：f（x）工一型邂=曬曬

X娜

?.?函數階/呵〃>0,，￡R)在(0,+8)上不單調,

X+1(

...函數f(x)在(0,+8)上存在極值點.

(mn-m+2)x+1=0有不相等的正的實數根.

'.m-mn-2>0.△=(zw-2-mn)2-4>0,

由△>0彳"9：(m-mn-4)(1-n)>0,

m-mn-4>0-m-mn-4<0

或｛,

l-n>0l-n<0

424

,,m-mn-4>0m>>>'.m-n>~n=g(〃),

由｛，可得:

l-n>01-n1-n1-n

q㈤子RW〃=-1時，函數g（n）取得極小值即最小值，g（-1）

,可得:

=3..?.入W3.

^m-mn-4<0>4<2

,可得:m-至---萬-舍去?

l-n<01-n

綜上可得:

入W3.故選：C.

--多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）已知4,B,C三點不共線，。為平面ABC外的任一點，則“點M與點A,B,C

共面”的充分條件的是（）

ACM=2^r（B-a：B.CM=O4+CB-CC

-一1rLfL：1fL

CCH=O4+/B+-jX-D.四四-

【解答】解：.A2-1-1=OW1,因此點M與點A,B,C不共面；

B.等式化為：AM=CB,因此點M與點A,B,C共面.

C.\+-+-*\,因此點M與點4,B,C不共面；

23

-L=L因此點M與點A,B,C共面.

236

故選：BD.

10.（5分）某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道，現從備選的10

題中隨機抽出3題進行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格.則下列選項正確的是（）

A.答對0題和答對3題的概率相同，都W

8

B.答對1題的概率為2

8

5

C.答對2題的概率為一

12

D.合格的概率為工

2

【解答】解：某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道，

現從備選的10題中隨機抽出3題進行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格.

在A中，答對0題的概率為：Po=_f=工，答對3題的概率為：尸3=3=J_，

C3行C312

1010

...對0題和答對3題的概率相同，都為2_,故A錯誤；

12

在B中，答對1題概率為p尸至耍5,故8錯誤.

JCo312

在C中，答對2題的概率為〃=至@5,故c正確.

C3T2，

在。中，合格的概率為P=^+l=,思。正確.

C3C32

1010

故選：CD.

II.（5分）如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，正確的為

（）

A.AC1BD

B.AC〃截面PQMN

C.AC=BD

D.異面直線PM與BZ）所成的角為45°

【解答】解：因為截面PQWN是正方形，所以PQ//MN,QM//PN,

則PQ〃平面ACD.QM〃平面BDA,

所以PQ//AC,QM//BD,

由PQ_LQM可得ACLBD,故A正確；

由「?！ˋC可得AC〃截面PQMN,故B正確；

異面直線PM與BD所成的角等于PM與所成的角，故D正確;

綜上C是錯誤的.

故選：ABD.

12.（5分）下列四個圖形中可能是函數y=/（x）圖象的是（）

【解答】解：A.D.

在B中，當x=0時有兩個函數值與之對應，不滿足函數對應的唯一性，

在C中，存在一個x有兩個y與x對應，不滿足函數對應的唯一性，

故選：AD.

三,填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行.江先生從

家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘.公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經常擁

堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N（33,42）,下車后從公交站步行到單位要

12分鐘；乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N

（44,22）,下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘.下列說法：①若8：00出門，則乘

坐公交不會遲到；②若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大：③若8：06

出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大；④若8：12出門，則乘坐地鐵幾乎不可能

上班不遲到.從統(tǒng)計的角度認為以上說法中所有合理的序號是③④.

參考數據：若Z?N(u，。2),則P(u-5<Z<n+o)=0.6826,P(|i-28<Z<p+2

o)=0.9544,P卬-36<Z<H+3。)=0.9974.

【解答】解：設乘公交車所需時間為x,乘地鐵所需實際為y.

對于①，8：oo出門-還是有可能會遲到，只是概率較小，故①錯；

—J.

對于②，P(XW41)-2=0.9772.P(VW48)=

1-------------2-----------=0.9772.乘坐兩種交通工具不遲到的概率一樣，故②錯；

對于③，若8：06出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性為P(XW37)=

I-----------2---------=0.8413,乘坐地鐵不遲到的概率為尸(yW44)=0.5<0.8413.故

③對；

對于④，若8：12出門，則乘坐地鐵上班遲到的概率為P(38)

=-----------2-----------=0.0013,故④正確.

故填：③④.

14.(5分)已知首項為3的正項數列｛〃“｝滿足(a^\+a?)(a?+i-a?)=3(a?+l)(an-1),

記數列也好獷勺前n項和為S”則使得S?>440成立的〃的最小值為21.

【解答】解：依題意，由(%+1+a”)(%+1-m)=3(6/?+1)(an-1),可得

3=4-3

rwln

故WT*3-1=JYR-力

rwlnnn

令b"=a[-I,則b“+i=4b〃，

亍8

數列伯“｝是以8為首項，4為公比的等比數列.

."=6￥=8X22"-2=22"+I,〃wN*.

；.3-/=珈=靖=2〃+1,

...數列假詼以3為首項，2為公差的等差數列.

令層+2〃-440>0,即(n+22)(n-20)>0,

解得〃>20或〃<-22(舍去)，

使得S?>440成立的n的最小值為

21.故答案為：21.

15.(5分)若戶V2/+I對任意的在[0,1]成立，則正實數”的取值范圍

為_￡4,+8).

【解答】解：；221<2"+|對任意的x€[0,1]成立，

:.(2x7)/g2V(x+l)Iga,

用~^<a

引入函數f(x)=xl若-lg(2a),

討論：當成=0時，a=4,此時/(x)=-/g8,滿足題設；

fW廠

當g>Oii,0<?<4,且給蛤KQ.'.20^1

此-

當時，a>4,且Ox與也㈤<0,

綜上，所求實數a的取值范圍是幅，+8).

16.(5分)已知橢圓氏￡+&(a>b>0)的右焦點為F.短軸的一個端點為M,直

ab

,4

線/：3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點.若|4Q+|8Q=4,點M到直線/的距離不小于一

5

則橢圓E的離心率的取值范圍是ja3方

【解答】解：如圖所示，

設F'為橢圓的左焦點，連接AF',BF',則四邊形AFBF'是平行四邊形，

：.4^\AF]+\BF]=\AF'\+\AF\=2a,；.a=2.

4

取M(0,b),?.?點。到直線/的距離不小于一

5

''型/1,解得621.

1^<L

e——

a

二橢圓E的離心率的取值范圍是(0,笠

3

2].故答案為：附，].

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知數列｛為｝是公差為d的等差數列，數列｛兒｝是公比為q（q>0）的等比數

歹！J,且a\=b\=2,04+45=旦,內加=4.

（I）求數列｛斯｝和｛0〃｝的通項公式；

（II）設Cn=a〃+2,求數列｛Cn｝的前〃項和S〃.

【解答】解（I）,?,數列｛斯｝是公差為）的等差數列,“1=2,04+45=25,

.,?〃i+3d+Q]+4d=25,得d=3.

.?.a”=2+3（〃-1）=3幾-1,

**?43=8.

丁的歷=4,J占工2

?海工2,

；加=2,q>0,r.Q=4-

.?力=2x修=仇_

22

（ID,：cn=an+2,S”是數列｛/｝的前”項和,

SM=Cl+C2+,,?+Cn=a1+2+6T2+2+'''+4Zw+2=（。|+〃2+…+?！ǎ?（2+2+…+2）

=鯉+2）=多+務

222

3TT

18.（12分）在銳角△ABC中，角A,B,。對應的邊分別是小b,c,且cos2A+sin（尹）

+1=0.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若AABC的面積S=褥，b=3.求sir

3TT「cos2A-cosA+1=0,

【解答】解（1）Vcos2/4+sin（y^）+1=02y可得：2COS2A-cosA

=0,解得：cosA=-

「△ABC為銳角三角形，

..1

??COSA=2

可得：A=y

（2）

=%鳥=3±可得:乩=12,

又b=3,可得：c=4,

在△ABC中，由余弦定理可知，a2=fe2+c2-2/?ccosA=16+9-2X3X4x^=25-12=13,

.,.a=

ac如4x芟239

在△ABC中，由正弦定理可知：—=一,可得：sinC=----=加=干

sAshCa13"

19.（12分）已知圓C：（x+1）2+y=8,定點A（1,0）,M為圓上一動點，線段M4的垂

直平分線交MC于點N,設點N的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E方程；

（2）若經過尸（0,2）的直線/交曲線E于不同的兩點G,H（點G在點F,H之間），

一3一

且滿足尸6=刊，求直線/的方程.

【解答】解（1）設點N的坐標為（x,y）,

NP是線段AM的垂直平分線，

又點N在CM上，圓C：（x+1）2+^=8,半徑是r=2電一

INCI=r-INMI,

INCI+INMI=r=2?lACI,

，點N的軌跡是以A、C為焦點的橢圓，

設橢圓的方程為：為是

ab

:?2a=2￡,即a92,

由b2—a2-(r—\,

L2

，橢圓的方程為：2+y=1,

￡

_2

???曲線E方程：一2+y=1；

(2)設G(%[>yi),H(%21y2)，

當直線GH斜率存在時，設直線GH的斜率為k

則直線G”的方程為：y=fcr+2,

y^kx+21

2，整理得：(二始)『+4日+3=0,

*勺2

由△>(),解得：廬-

>2

次3

Xl+X2=-，X1?X2=1，

23

—>

又?；4=又1，y\-2)，IH=(X2，y2-2),

T3T

36即，

-I謖i=2>l

整理得：丁—2,

5kJ鉞

解得：k=土費,

直線/的方程為：y=土方x+2,

當直線G”斜率不存在時，直線的/方程為x=0.

T1TT3T

FG=^用2=加儕盾,

故直線G"斜率不存在時，直線方程不成立,

.??直線/的方程為：y^±^2x+2.

20.(12分)如圖，長方體ABCD-AiBiCiD的底面A2CD是正方形，點E在棱AAi上,

BELEC\.

(1)證明：BE,平面EBiCi；

(2)若AE=AiE,求二面角8-EC-G的正弦值.

【解答】證明：(1)長方體A8CQ-A/iGDi中，Bi。，平面AB4B1,

：.BiCi±BE,'：BEYEC\,

...BEJL平面EB\C\.

解(2)以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設AE=AiE=l,平面E81C1，：.BE±EB\,

則E(1,1,1),A(1,1,0),Bi(0,1,2),Ci(0,0,2),C(0,0,0),

■:BC工EBi，；.￡：81_1面EBC,

T1

故取平面EBC的法向量為m=e=(-1，0,1),

設平面ECC\的法向量n=(x,y,z),

萬辦oz=0—>

由｛--,得。+娛=0取尤=1,得后(1,-1,0),

n-CE=0

mn

n>—

—>—>2

|m||n|

二面角8-EC-G的正弦值省.

21.(12分)從編號為1,2,3,4,…，10的10個大小、形狀相同的小球中，任取5個球.如

果某兩個球的編號相鄰，則稱這兩個球為一組“好球”.

(1)求任取的5個球中至少有一組“好球”的概率；

(2)在任取的5個球中，記“好球”的組數為X,求隨機變量X的概率分布列和均值E

(X).

【解答】解(1)從10個球中任取5個球共有。不種取法，設

事件A表示“至少有一組好球”，則彼宗“5個球不相鄰”，

1

Pg=_2g=

C5至'

任