.1_方陣的特征值與特征向量第五章相似矩陣

第五章相似矩陣5.1方陣的特征值與特征向量5.2矩陣相似對角化*5.3Jordan標準形介紹

5.1方陣的特征值與特征向量第5.1方陣的特征值與特征向量五章一、問題的引入相似矩陣二、基本概念三、特征值與特征向量的求解方法四、特征值的性質(zhì)

五、特征向量的性質(zhì)

5.1方陣的特征值與特征向量第一、問題的引入五矩陣的特征值與特征向量理論有著非常廣泛的應(yīng)用，章如工程技術(shù)領(lǐng)域中的振動問題和穩(wěn)定性問題，數(shù)學(xué)領(lǐng)域

相似矩陣

中方陣的對角化、微分方程組的求解、線性方程組的迭

代法求解等問題都會用到該理論。

5.1方陣的特征值與特征向量第一、問題的引入五引例種群增長模型(工業(yè)增長模型)章設(shè)x代表某種群C的數(shù)量，(某國的工業(yè)增長水平)相似矩陣y代表某種群D的數(shù)量，(該國的環(huán)境污染程度)

初態(tài)為(x0,y0)T,x1x02y0,y12x0y0,

一年后的狀態(tài)為：x0x112x0A,即y121y0y0k

xxk12x0k0則第k年后的狀態(tài)為：y21yAy.0k0

問題如何計算Ak?4

5.1方陣的特征值與特征向量第一、問題的引入五1.初步設(shè)想章若存在一個可逆矩陣P,使得相似矩陣1PAPΛ01

0,2

則APΛP1,進一步有AkPΛP1PΛP1PΛP1PΛPk1

k1P0

01P.k2

5.1方陣的特征值與特征向量第一、問題的引入五2.簡單分析章尋找一個可逆矩陣P,使得相似矩陣P1APΛ,

即APPΛ,

對二階方陣A尋找兩個向量它們被A左乘后正好等于自己的某個倍數(shù)且這兩個向量必須線性無關(guān)6

p11記Pp11

則AX1

p12X1X2,p1110,X2X1X202

AX1AX21X12X2,AX11X1,AX22X2.

5.1方陣的特征值與特征向量第一、問題的引入五3.一般性問題的提出章對于方陣A,求向量X和(實)數(shù),使得相似矩陣

AXX.

1121比如，對于矩陣A,令X1,X2,1211

則有AX13X1,AX2(1)X2.111從而有P,Λ011030.201

5.1

方陣的特征值與特征向量第二、基本概念五1.特征值與特征向量章定義設(shè)A為n階方陣，如果存在數(shù)和n維非零向量X相似矩陣使得AX=X,則稱數(shù)為方陣A的特征值，非零向量X稱為A的屬于特征值的特征向量。注意(1)特征值可以為零；(2)屬于同一個特征值的特征向量不是惟一的。比如，若X是矩陣A的屬于特征值0的特征向量，則kX(k0)也是A的屬于特征值0的特征向量。

5.1方陣的特征值與特征向量第二、基本概念五1.特征值與特征向量章2.特征多項式相似矩陣分析由AXX,有

(IA)X0,該方程組有非零解的充要條件是|IA|0.定義記f()|IA|,則稱f()為方陣A的特征多項式；稱f()0為方陣A的特征方程。

5.1方陣的特征值與特征向量第五章相似矩陣特征多項式“具體”形式特征多項式f()是的n次多項式，即

f()|IA|

nb1n1b2n2bn1bn(aii)n1b2n2bn1(1)n|A|.ni1n

其中，aiia11a22ann稱為A的跡，記為tr(A).i1

n

5.1方陣的特征值與特征向量第三、特征值與特征向量的求解方法五步驟(1)求解特征方程|IA|0得到特征值。章相似矩陣值(重根按重數(shù)計算)。(2)設(shè)=i是方陣A的一個特征值，求解齊次線性方程組(AiI)X0得到非零解X,則X就是A的對應(yīng)于特征值i的特征向量。

由于特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，且其解的

個數(shù)為特征方程的次數(shù)，因此n階方陣有n個特征

5.1方陣的特征值與特征向量第五章相似矩陣12例求矩陣A的特征值與特征向量。21

解(1)A的特征多項式為|IA|

12

2

1

(1)(3),

故A的特征值為11,23.(單根)(單根)

5.1方陣的特征值與特征向量第五章相似矩陣(2)當11時，由(IA)x0有22x10,22x201求解得基礎(chǔ)解系為.1

故A的屬于特征值的11所有特征向量為1Xkk,(k0).1

5.1方陣的特征值與特征向量第五章相似矩陣(3)當23時，由(3IA)x0有22x10,22x201求解得基

礎(chǔ)解系為.1

故A的屬于特征值的23所有特征向量為1Xkk,(k0).1

5.1方陣的特征值與特征向量第五章相似矩陣解(1)A的特征多項式為

31|IA|263

11(1)(1)2,2

故A的特征值為11,231.(單根)(重根)

5.1方陣的特征值與特征向量第五章相似矩陣(2)當11時，由(IA)x0有

411x10211x20,6x031