中考數(shù)學(xué)專題3：函數(shù)中通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題中考數(shù)學(xué)中函數(shù)計(jì)算是必考內(nèi)容，通常有以下兩類：一是通過待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，這是函數(shù)題中的基礎(chǔ)類型；二是在函數(shù)中通過計(jì)算尋找規(guī)律，就是從特殊到一般，通常難度較大。本專題選取了2019年幾道中考?jí)狠S題，通過解題了解和掌握通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理的一般方法。（使用幾何畫板，體驗(yàn)函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)問題帶來的圖形和數(shù)值的動(dòng)態(tài)變化）1.（2019河北）(12分)如圖，若b是正數(shù)，直線l：y＝b與y軸交于點(diǎn)A；直線a：y＝x﹣b與y軸交于點(diǎn)B；拋物線L：y＝﹣x2+bx的頂點(diǎn)為C，且L與x軸右交點(diǎn)為D．（1）若AB＝8，求b的值，并求此時(shí)L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)C在l下方時(shí)，求點(diǎn)C與l距離的最大值；（3）設(shè)x0≠0，點(diǎn)（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離；（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，分別直接寫出b＝2019和b＝2019.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．【幾何畫板演示】打開文件“2019河北中考數(shù)學(xué)第26題”，拖動(dòng)點(diǎn)A或點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到ΔABD保持等腰直角三角形的形狀，直線y＝x﹣b與拋物線左側(cè)交點(diǎn)E的橫坐標(biāo)保持不變?！痉治觥浚?）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x﹣b＝﹣b，所以B（0，﹣b），而AB＝8，而A（0，b），則b﹣（﹣b）＝8，b＝4．所以L：y＝﹣x2+4x，對(duì)稱軸x＝2，當(dāng)x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，于是L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)為（2，﹣2）；（2）y＝﹣（x﹣）2+，頂點(diǎn)C（）因?yàn)辄c(diǎn)C在l下方，則C與l的距離b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，所以點(diǎn)C與1距離的最大值為1；（3）由題意得，即y1+y2＝2y3，得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0≠0，取x0＝b﹣，對(duì)于L，當(dāng)y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，右交點(diǎn)D（b，0）．因此點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離b﹣（b﹣）＝（4）①當(dāng)b＝2019時(shí)，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019x直線解析式a：y＝x﹣2019，美點(diǎn)”總計(jì)4040個(gè)點(diǎn)，②當(dāng)b＝2019.5時(shí)，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y＝x﹣2019.5，“美點(diǎn)”共有1010個(gè)．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x﹣b＝﹣b，∴B（0，﹣b），∵AB＝8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）＝8，∴b＝4．∴L：y＝﹣x2+4x，∴L的對(duì)稱軸x＝2，當(dāng)x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，∴L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)為（2，﹣2）；（2）y＝﹣（x﹣）2+，∴L的頂點(diǎn)C（）∵點(diǎn)C在l下方，∴C與l的距離b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，∴點(diǎn)C與1距離的最大值為1；（3）由題意得，即y1+y2＝2y3，得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0≠0，取x0＝b﹣，對(duì)于L，當(dāng)y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交點(diǎn)D（b，0）．∴點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離b﹣（b﹣）＝（4）①當(dāng)b＝2019時(shí)，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019x直線解析式a：y＝x﹣2019聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一個(gè)整數(shù)x的值都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019）共有2021個(gè)整數(shù)；∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2021個(gè)整數(shù)點(diǎn)∴總計(jì)4042個(gè)點(diǎn)，∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)，∴美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：4042﹣2＝4040（個(gè)）；②當(dāng)b＝2019.5時(shí)，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y＝x﹣2019.5，聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，在一次函數(shù)y＝x﹣2019.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0，在二次函數(shù)y＝x2+2019.5x圖象上，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知﹣1到2019.5之間有1010個(gè)偶數(shù)，因此“美點(diǎn)”共有1010個(gè)．故b＝2019時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，b＝2019.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè)．2.（2019福建）（14分）已知拋物y=ax2+bx+c(b<0)與軸只有一個(gè)公共點(diǎn).?(1)若公共點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，求a、c滿足的關(guān)系式；（3分）(2)設(shè)A為拋物線上的一定點(diǎn)，直線l：y=kx+1－k與拋物線交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，直線BD垂直于直線y=－1,垂足為點(diǎn)D.當(dāng)k＝0時(shí)，直線l與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)在?y軸上，且△ABC為等腰直角三角形.①求點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線的解析式；?（6分）②證明：對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù)?k，都有A、D、C三點(diǎn)共線.?（5分）【幾何畫板演示】打開文件“2019福建中考數(shù)學(xué)第25題”，拖動(dòng)點(diǎn)B在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到直線BC過定點(diǎn)，A、C、D三點(diǎn)始終在同一直線上。2．2．3．（2019江西）（12分）特例感知（1）如圖1，對(duì)于拋物線y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列結(jié)論正確的序號(hào)是；【答案】①②③①拋物線y1，y2，y3都經(jīng)過點(diǎn)C（0，1）；②拋物線y2，y3的對(duì)稱軸由拋物線y1的對(duì)稱軸依次向左平移12③拋物線y1，y2，y3與直線y＝1的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等．形成概念（2）把滿足yn＝﹣x2﹣nx+1（n為正整數(shù)）的拋物線稱為“系列平移拋物線”．知識(shí)應(yīng)用在（2）中，如圖2．①“系列平移拋物線”的頂點(diǎn)依次為P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代數(shù)式表示頂點(diǎn)Pn的坐標(biāo)，并寫出該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式；②“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）”：C1，C2，C3，…，Cn，其橫坐標(biāo)分別為﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k為正整數(shù)），判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否都相等，若相等，直接寫出相鄰兩點(diǎn)之間的距離；若不相等，說明理由．③在②中，直線y＝1分別交“系列平移拋物線”于點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，連接CnAn，Cn﹣1An﹣1，判斷CnAn，Cn﹣1An﹣1是否平行？并說明理由．【幾何畫板演示】打開文件“2019江西中考數(shù)學(xué)第23題”，拖動(dòng)x軸上表示實(shí)數(shù)n的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到“系列平移拋物線”的頂點(diǎn)P的軌跡是開口向上的拋物線，這條拋物線的頂點(diǎn)是（0，1）?！窘獯稹拷猓海?）①當(dāng)x＝0時(shí)，分別代入拋物線y1，y2，y3，即可得y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝1；①正確；②y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1的對(duì)稱軸分別為x＝﹣1，x＝﹣，y1＝﹣x2﹣x+1的對(duì)稱軸x＝﹣，由x＝﹣向左移動(dòng)得到x＝﹣1，再向左移動(dòng)得到x＝﹣，②正確；③當(dāng)y＝1時(shí)，則﹣x2﹣x+1＝1，∴x＝0或x＝﹣1；﹣x2﹣2x+1＝1，∴x＝0或x＝﹣2；﹣x2﹣3x+1＝1，∴x＝0或x＝﹣3；∴相鄰兩點(diǎn)之間的距離都是1，③正確；故答案為①②③；（2）①yn＝﹣x2﹣nx+1的頂點(diǎn)為（﹣，），令x＝﹣，y＝，∴y＝x2+1；②∵橫坐標(biāo)分別為﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k為正整數(shù)），當(dāng)x＝﹣k﹣n時(shí)，y＝﹣k2﹣nk+1，∴縱坐標(biāo)分別為﹣k2﹣k+1，﹣k2﹣2k+1，﹣k2﹣3k+1，…，﹣k2﹣nk+1，∴相鄰兩點(diǎn)間距離分別為；∴相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等；③當(dāng)y＝1時(shí)，﹣x2﹣nx+1＝1，∴x＝0或x＝﹣n，∴A1（﹣1，1），A2（﹣2，1），A3（﹣3，1），…，An（﹣n，1），C1（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+1），C2（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k+1），C3（﹣k﹣3，﹣k2﹣3k+1），…，?n（﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1），∵＝k+1，＝k+1，＝k+1，…，＝k+1，∴?nAn∥Cn﹣1An﹣1；4．（2019武漢）（12分）已知拋物線C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2（1）?如何將拋物線C1平移得到拋物線C2??（2）如圖1,拋物線C1與x軸正半軸交于點(diǎn)A,直線-43x+b經(jīng)過點(diǎn)A,交拋物線C1于另一點(diǎn)B。請你在線段AB上取點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線PQ//y①?若AP=AQ,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)?；②?若PA=PQ,直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）如圖2，ΔMNE的頂點(diǎn)M、N在拋物線C2上，點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊，兩條直線ME、NE與拋物線C2均有唯一公共點(diǎn)，ME、