相似三角形定理與圓冪定理【知識(shí)要點(diǎn)】1．相似三角形概念相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形．相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比．2．相似三角形的判定如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似(簡(jiǎn)敘為：兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似)．如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似(簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似)．如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似(簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似)．3．直角三角形相似的判定定理直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似．如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．4．相似三角形的性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．相似三角形的面積比等于相似比的平方．5．相關(guān)結(jié)論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊成兩段的長(zhǎng)度比等于夾角兩邊長(zhǎng)度的比．經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)而平行于底邊的直線平分另一腰．梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．若一條直線截三角形的兩邊(或其延長(zhǎng)線)所得對(duì)應(yīng)線段成比例，則此直線與三角形的第三邊平行．6．弦切角定理弦切角定義：頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角.弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．7．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．8．圓冪定理相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B、C、D則有PA·PB＝PC·PD例1AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BAC＝60°，P是OB上一點(diǎn)，過P作AB的垂線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，連結(jié)OC，過點(diǎn)C作CD⊥OC交PQ于點(diǎn)D．(1)求證：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．例2△ABC內(nèi)接于圓O，∠BAC的平分線交⊙O于D點(diǎn)，交⊙O的切線BE于F，連結(jié)BD，CD．求證：(1)BD平分∠CBE；(2)AB·BF＝AF·DC．習(xí)題一、選擇題1．如圖，AD是△ABC高線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則(1)AD2＝BD·CD(2)AD2＝AE·AB(3)AD2＝AF·AC(4)AD2＝AC2－AC·CF中正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是半圓的三等分點(diǎn)，則∠C＋∠E＋∠D＝()A．135° B．110° C．145° D．120°3．如圖，以等腰三角形的腰為直徑作圓，交底邊于D，連結(jié)AD，那么()A．∠BAD＋∠CAD＝90° B．∠BAD＞∠CADC．∠BAD＝∠CAD D．∠BAD＜∠CAD二、填空題4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝2，DB＝1，則DC＝______，AD＝______．5．在Rt△ABC中，AD為斜邊上的高，S△ABC＝4S△ABD，則AB∶BC＝______．6．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，CD⊥AB于點(diǎn)D，且AD＝3DB，設(shè)∠COD＝，則tan2______．7．如圖，AB是⊙O的直徑，CB切⊙O與B，CD切⊙O與D，交BA的延長(zhǎng)線于E．若AB＝3，ED＝2，則BC的長(zhǎng)為______．三、解答題8．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O為內(nèi)切圓，E為切點(diǎn)，(Ⅰ)求∠AOD的度數(shù)；(Ⅱ)若AO＝8cm，DO＝6cm，求OE的長(zhǎng)．9．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連結(jié)AC、OC、BC．(1)求證：∠ACO＝∠BCD；(2)若BE＝2，CD＝8，求AB和AC的長(zhǎng)．10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，