第58講二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展開式的第k＋1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n.常用結(jié)論1．兩個(gè)常用公式(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．二項(xiàng)展開式的三個(gè)重要特征(1)字母a的指數(shù)按降冪排列由n到0.(2)字母b的指數(shù)按升冪排列由0到n.(3)每一項(xiàng)字母a的指數(shù)與字母b的指數(shù)的和等于n.考點(diǎn)1通項(xiàng)公式的應(yīng)用[名師點(diǎn)睛](1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可．(2)對于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．[典例]1.（2022·北京市第一零九中學(xué)高三階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A．20 B．-40 C．40 D．-10【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)即可求解.【詳解】展開后的通項(xiàng)為，令，所以，故選：C2.（2022·江蘇·海安高級中學(xué)高三階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二項(xiàng)式定理將展開，然后得出，即可求出的系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)式定理：觀察可知的系數(shù)為.故選：B.3.（2022·山東青島·高三開學(xué)考試）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．80 B． C．160 D．【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的特征即可知中間項(xiàng)（第4項(xiàng)）為常數(shù)項(xiàng).【詳解】由于互為倒數(shù)，故常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為，故選：D[舉一反三]1．（2022·廣東·珠海市第三中學(xué)二模）的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】使用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】的展開式的通項(xiàng)是，（）由題意，，因此，的系數(shù)是.故選：B.2．（2022·河北·高三階段練習(xí)）關(guān)于二項(xiàng)式，若展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式可求得含的項(xiàng)的系數(shù)，即得方程，求得答案.【詳解】由題意得的系數(shù)為，解得，故選：C.3.（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-284．（2022·天津·高考真題）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理可得的展開式的通項(xiàng)為，令，代入即可得解.【詳解】由題意的展開式的通項(xiàng)為，令即，則，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.考點(diǎn)2二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題[名師點(diǎn)睛]賦值法的應(yīng)用一般地，對于多項(xiàng)式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．[典例]1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知的二項(xiàng)展開式中，第三項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為84，則第四項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．280 B．448 C．692 D．960【答案】B【分析】根據(jù)第三項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為84，可求得，利用通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由題，，因?yàn)榈谌?xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為84，所以，即，所以，解得，所以第四項(xiàng)的系數(shù)為，故選：B2．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）若的展開式中第2項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．160 C． D．1120【答案】A【分析】根據(jù)第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可構(gòu)造方程求得，由此可得展開式通項(xiàng)，令即可求得常數(shù)項(xiàng)【詳解】因?yàn)檎归_式中的第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，，解得：，展開式通項(xiàng)公式為：，令，解得：，該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,故選：A3．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用賦值法可求的值.【詳解】令，則，令，則，故，故選：B.[舉一反三]1．（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)，結(jié)合二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】因?yàn)椋归_式第項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即.故選：B2．（2022·北京市廣渠門中學(xué)高三階段練習(xí)）若的展開式中的第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的系數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可構(gòu)造方程求得，由此可得展開式通項(xiàng)，令即可求得的系數(shù).【詳解】展開式中的第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，，解得：，展開式通項(xiàng)公式為：，令，解得：，的系數(shù)為.故選：B.3．（2022·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知（為常數(shù)）的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．90 B．10 C．10 D．90【答案】A【分析】由題意可得，得，然后求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，由的次數(shù)為零，求出，從而可求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋槌?shù)）的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和相等，所以，得，所以，則其展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：A4．（2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）在的二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出展開式通項(xiàng)，即可求得展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，因此，展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為.故選：D.5．（多選）（2022·湖北·黃岡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則（

）A．B．C．D．【答案】CD【分析】對于A，利用賦值法求解，對于B，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解，對于C，利用賦值法求解，對于D，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】對于A，令，則，令，則，所以，所以A錯(cuò)誤，對于B，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，所以，所以B錯(cuò)誤，對于C，令，則，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，所以，所以C正確，對于D，因?yàn)槎?xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，所以，，，，，所以，，所以，所以D正確，故選：CD6．（2022·浙江·高考真題）已知多項(xiàng)式，則__________，___________．【答案】

【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．【詳解】含的項(xiàng)為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．7．（2022·浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）的展開式中不含的各項(xiàng)系數(shù)之和______.【答案】128【分析】對每一個(gè)括號利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行展開，展開后對每一項(xiàng)進(jìn)行合并，合并后使得項(xiàng)冪次為0，確定項(xiàng)數(shù)后即可得到答案.【詳解】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行展開，設(shè)項(xiàng)為，項(xiàng)為，項(xiàng)為.展開后得對每一項(xiàng)進(jìn)行合并得，因?yàn)檎归_式中不含，所以，又得取值為，得取值為，故得.代入展開式得，又得取值為，分別帶入后各項(xiàng)系數(shù)之和為.故答案為：128考點(diǎn)3系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題[名師點(diǎn)睛]二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開式中第eq\f(n,2)＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開式中第eq\f(n＋1,2)項(xiàng)和第eq\f(n＋3,2)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為或.[典例]1．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）在的展開式中只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則常數(shù)項(xiàng)為__________．【答案】1120【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)先確定的值，再由展開式的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】由的展開式中只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大得，所以展開式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：11202．（多選）（2022·浙江·高三開學(xué)考試）在二項(xiàng)式的展開式中，正確的說法是（

）A．常數(shù)項(xiàng)是第3項(xiàng) B．各項(xiàng)的系數(shù)和是1C．偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32 D．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大【答案】BCD【分析】利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)可判斷A選項(xiàng)；利用各項(xiàng)系數(shù)和可判斷B選項(xiàng)；求出偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和可判斷C選項(xiàng)；利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng)；【詳解】解：二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，對于A選項(xiàng)，令，可得，故常數(shù)項(xiàng)是第項(xiàng)，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù)和是，B對；對于C選項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，C對對于D選項(xiàng)，展開式共項(xiàng)，第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，D對；故選：BCD[舉一反三]1.已知(3x－1)n展開式的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且n為偶數(shù)，則(3x－1)n展開式中x2的系數(shù)為()A.－252 B.252 C.－28 D.28答案B解析由題意可得n＝8，則(3x－1)8的展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(3x)8－r·(－1)r，令8－r＝2，解得r＝6，則展開式中x2的系數(shù)為Ceq\o\al(6,8)32＝252.2.(2022·杭州調(diào)研)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為()A.－126 B.－70 C.－56 D.－28答案C解析∵只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴n＝8，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,8)x8－eq\f(3,2)k(k＝0，1，2，…，8)，∴展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)相等，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，而展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，因此展開式中第4項(xiàng)和第6項(xiàng)的系數(shù)相等且最小，為(－1)3Ceq\o\al(3,8)＝－56.的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為()A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)C．第11項(xiàng) D．第6項(xiàng)和第7項(xiàng)答案B解析S＝n＋Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋Ceq\o\al(3,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)＝n＋(1＋1)27－Ceq\o\al(0,27)＝(9－1)9＋n－1＝9(98－Ceq\o\al(1,9)97＋…＋Ceq\o\al(8,9))＋n－2，∵n≥3，∴S能被9整除的正數(shù)n的最小值是