本文格式為Word版，下載可任意編輯——第15章電路方程的矩陣形式第十五章電路方程的矩陣形式

重點(diǎn)：

1．關(guān)聯(lián)矩陣、基本回路矩陣及基本割集矩陣等基本概念2．熟練把握幾種基本矩陣的列寫及其相互間關(guān)系

3．熟練把握基于矩陣的大規(guī)模電路分析方法的原理及應(yīng)用前景

難點(diǎn)：

1．把握各種電路分析方法的矩陣應(yīng)用

2．理解大規(guī)模電路分析方法對(duì)電路的計(jì)算機(jī)輔助分析與設(shè)計(jì)的作用

我們以前在學(xué)習(xí)支路電流法、支路電壓法以及網(wǎng)孔分析法、節(jié)點(diǎn)分析法、割集分析法、回路分析法時(shí)，都是憑觀測(cè)來列出所需的獨(dú)立方程組。在求解方程時(shí)可以用手算，也可以使用電子計(jì)算機(jī)。對(duì)于含元件較少的電路，這種做法是行得通的。但是現(xiàn)代的電子電路可以包含數(shù)百個(gè)元件，特別是集成電路技術(shù)的飛更加展，電路日益繁雜。對(duì)于這類“大規(guī)模（Largescale）電路〞，不可能再憑觀測(cè)來列寫方程。需要有一種系統(tǒng)化的步驟來處理這類電路，使列寫方程和求解的工作都能由電子計(jì)算機(jī)去完成。本章初步地介紹了這種分析方法。其中要用到上章所述圖論的一些基本概念以及線性代數(shù)中的矩陣方法。

§15-1電網(wǎng)絡(luò)圖論的基本概念

網(wǎng)絡(luò)圖論與矩陣論、計(jì)算方法等構(gòu)成電路的計(jì)算機(jī)輔助分析的基礎(chǔ)。其中網(wǎng)絡(luò)圖論主要探討電路分析中的拓?fù)湟?guī)律性，從而便于電路方程的列寫。

15.1.1網(wǎng)絡(luò)的圖

1．網(wǎng)絡(luò)圖論——網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵W(xué)

圖論是數(shù)學(xué)中重要的分支，網(wǎng)絡(luò)圖論是圖論在電路理論中的應(yīng)用。主要通過電路的結(jié)構(gòu)及其連接性質(zhì)，對(duì)電路進(jìn)行分析計(jì)算。

2．支路——Branch

每一個(gè)電路元件或多個(gè)電路元件的某種組合用一條線段代替，稱為支路。3．節(jié)點(diǎn)——node

每一個(gè)電路元件的端點(diǎn)，或多個(gè)電路元件相連接的點(diǎn)用一個(gè)圓點(diǎn)代替，稱為節(jié)點(diǎn)。在電網(wǎng)絡(luò)理論中，尋常節(jié)點(diǎn)是指支路的匯集點(diǎn)，這一概念與數(shù)學(xué)圖論中的“節(jié)點(diǎn)〞概念略有不同。

4．網(wǎng)絡(luò)的圖——graph

節(jié)點(diǎn)和支路的集合，稱為圖，每一條支路的兩端都連接到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。有向圖——Orientedgraph是指各個(gè)支路規(guī)定了參考方向的圖反之，稱為無向圖。

5．路徑——path

從圖G的某一節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿著一些支路連續(xù)移動(dòng)，從而達(dá)到一個(gè)指定的節(jié)點(diǎn)，這一系列支路構(gòu)成圖的一條路徑。

6．連通圖——connectedgraph

當(dāng)圖G中的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間至少存在一條路徑時(shí)，稱為連通圖。7．回路——loop

假使一條路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合所形成的閉合路徑，稱為回路。8．網(wǎng)孔——mesh

一般是指內(nèi)網(wǎng)孔。平面圖中自然的“孔〞，它所限定的區(qū)域不再有支路。如下面電路的對(duì)應(yīng)的圖為左圖所示。注意每一個(gè)二端元件為一條支路??！

0.01+19V-24I1+4A30V1_1.5I1I11.5I14A

例如：在下圖中，支路數(shù)6，節(jié)點(diǎn)數(shù)4，網(wǎng)孔數(shù)3，回路數(shù)7

1ac2b3de4f1ac2b3de4f1ac2b3de4f

15.1.2樹、基本回路及基本割集

1．樹的概念——tree

一個(gè)連通圖G的樹T是指G的一個(gè)連通子圖，它包含G的全部節(jié)點(diǎn)，但不含任何回路。樹中的支路稱為“樹支〞——treebranch，圖G中不屬于T的其他支路稱為“連支〞——link，其集合稱為“樹余〞。

一個(gè)連通圖的樹可能存在多種選擇方法。2．基本回路

只含一條連支的回路稱為單連支回路，它們的總和為一組獨(dú)立回路，稱為“基本回路〞。樹一經(jīng)選定，基本回路唯一地確定下來。

1ac2b3de4f1ac2db3e4f1ac2b3de4f1ac2b3de4f

對(duì)于平面電路而言，其全部網(wǎng)孔是一組獨(dú)立回路。3．割集——cutset

一個(gè)連通圖G的割集是指G的一個(gè)支路子集：

1）將該支路子集中的全部支路移去（保存節(jié)點(diǎn)）后，余下的圖彼此分開且各自連通；2）保存該支路子集中的任意一條支路時(shí)，圖依舊連通；

?基本割集

只含一條樹支的割集稱為單樹支割集，它們的總和稱為“基本割集〞。樹一經(jīng)選定，基本割集唯一地確定下來。

1ac2b3de4f111ac2b3d4efacac2b3de4f2b3de4f

15.1.3關(guān)聯(lián)矩陣Aa與降階關(guān)聯(lián)矩陣A

給定一個(gè)定向圖，各定向支路與各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)接關(guān)系是十明顯了的，這種結(jié)構(gòu)上的關(guān)系能否用代數(shù)的方法來表達(dá)呢？這對(duì)于企圖用電子計(jì)算機(jī)來分析電路是個(gè)很重要的問題。運(yùn)用矩陣可以解決這個(gè)問題。

一、關(guān)聯(lián)矩陣Aa（又稱增廣關(guān)聯(lián)矩陣）

1．定義

我們可以用定向圖的各個(gè)節(jié)點(diǎn)組成矩陣的行，各定向支路組成矩陣的列，列表如下（其中b1,b2,…等表示編號(hào)為1,2,…的支路,n1,n2,...等表示編號(hào)為1,2,…的節(jié)點(diǎn)）：以適當(dāng)?shù)臄?shù)填入空檔即可說明定向圖中節(jié)點(diǎn)與支路的聯(lián)接狀況。這些數(shù)構(gòu)成矩陣的元素。

b1b2b3n1b4…n2n3n4

即定義關(guān)聯(lián)矩陣（augmentedincidencematrix），其中，Aa的行對(duì)應(yīng)圖的節(jié)點(diǎn)，列對(duì)應(yīng)圖的各個(gè)支路。Aa?[aik]

其中，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i與支路bk無關(guān)聯(lián)時(shí)，aik?0

當(dāng)節(jié)點(diǎn)i與支路bk關(guān)聯(lián)，且支路電流的參考方向離開節(jié)點(diǎn)時(shí)，aik?1

當(dāng)節(jié)點(diǎn)i與支路bk關(guān)聯(lián)，且支路電流的參考方向指向節(jié)點(diǎn)時(shí)，aik??1

在一般狀況下，對(duì)一個(gè)具有b條支路和n個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向圖來說，其增廣關(guān)聯(lián)矩陣為一個(gè)n行和b列的矩陣：

例如：

b1n1??1?n21?Aa?n3?0?n4?0n5??0b201?100b300?110b4100?10b51000?1b60?1001b70??0??1??0?1??n4b4b3b5n5b7n1n3b1b6b2n2

式15-1圖15-1定向圖一例二、Aa的性質(zhì)

由于每一支路都恰好與兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)矩陣Aa中每一列都恰好有兩個(gè)非零的元素，其一為+1，另一為-1。

把一個(gè)矩陣中的兩行相加，就是把同一列中的元素相加。以（15-1）式所示矩陣為例，若矩陣中的第1行和第2行分別記為R1和R2，則

R1?R2???1?10?10?01?01?00?10?0???01011?10?（15

-2）

假使把（15-1）式所示矩陣的各行相加，可得

R1?R2?R3?R4?R5?0

由此可見，增廣關(guān)聯(lián)矩陣的各行線性相關(guān)，這就是說，該矩陣中的任一行是其余各行的線性組合。

三、降階關(guān)聯(lián)矩陣A

由于增廣關(guān)聯(lián)矩陣的各行線性相關(guān)，即矩陣中的任一行是其余各行的線性組合?！簿褪钦f，總可以通過矩陣的代數(shù)變換，使得其中某一行全為零元素——因此，除去增廣關(guān)聯(lián)矩陣中的任一行，矩陣仍具有同樣的信息，足以表征定向圖中節(jié)點(diǎn)對(duì)支路的關(guān)系。我們把這種?n?1??b矩陣稱為降階（reduced）關(guān)聯(lián)矩陣或徑稱為關(guān)聯(lián)矩陣，記為A。

在關(guān)聯(lián)矩陣中有些列具有兩個(gè)非零的元素（+1及-1），有些列只有一個(gè)非零元素。仍以圖15-1所示定向圖為例，若除去第2行，則

??1?0A???0??023416325410?1000?11010?10100?100010???1?0??1?（15-3）

11??1?20Aa??3?1?4?02?100131?10040?1105001?160??1?0???1?11??1?20Aa??3?1?4?02?100131?10040?1105001?160??1?0???1??

再如：

問題：根據(jù)關(guān)聯(lián)矩陣是否能夠得到唯一的圖？？

四、矩陣A的作用與KCL定律及節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣表達(dá)式1．關(guān)聯(lián)矩陣A與KCL定律

電路的獨(dú)立KCL方程組可以用關(guān)聯(lián)矩陣表示為向量方程。以上圖為例，假使把節(jié)點(diǎn)2

選為參考節(jié)點(diǎn)，則由其余的4個(gè)節(jié)點(diǎn)可得獨(dú)立的KCL方程組如下：

節(jié)點(diǎn)1?Ι節(jié)點(diǎn)3Ι11?Ι?Ι52?Ι?Ι45?0?0

?Ι?Ι?0

節(jié)點(diǎn)4Ι256（15-4）

或?qū)憺?/p>

?I1???I20?????I3?0???0?I?4??1????I5????I6????1?1???0?10110001001?1（15-5）

試把（15-5）式和（15-3）式加以比較，我們馬上就可發(fā)現(xiàn)（15-5）式左端的系數(shù)矩陣與（15-3）式所示的矩陣A完全一致。如設(shè)Ib??ΙAI1Ι2Ι3Ι4Ι5Ι6Ι7?

T并稱Ib為支路電流向量，則（15-5）式

b?0（15-6）

雖然，這一方程是由圖15-1所示的定向圖得出的，但對(duì)任何定向圖都可得出這一結(jié)果。2．關(guān)聯(lián)矩陣與支路電壓、節(jié)點(diǎn)電壓（——KVL）

依舊以上圖為例，設(shè)各個(gè)支路電壓分別為u1，u2，?，u6，而以節(jié)點(diǎn)2為參考點(diǎn)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓分別為un1，un3，un4，un5

u1??un1?un3u2??un1u3?un1?un2u4??un2?un3u5?un3u6?un2?u1???1???u?1?2???u3??1?????u4??0?u??05????u6????0?00?1?1011??0??u?n10?????un2?1???un3???1?0??

可以推廣之，設(shè)各個(gè)支路電壓分別為u1，u2，?，ub，用列相量表示

U?[u1u2?ub]

T而以節(jié)點(diǎn)2為參考點(diǎn)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓分別為un1，un2，?，

Un?[un1un2?un(n?1)]Tun(n?1)，用列相量表示

則：U?AUn

T15.1.4回路矩陣及