本文格式為Word版，下載可任意編輯——第六章反證法在立體幾何中的應(yīng)用

第六章反證法在立體幾何中的應(yīng)用

在立體幾何中哪些命題適合應(yīng)用反證法，我們進(jìn)行了一些歸納，下面以實(shí)例來說明。一、證明諸直線共面

例題：求證：過一點(diǎn)和一條直線垂直的所有直線都在同一平面內(nèi)。已知：一點(diǎn)P與一條直線l，且a、b、cn都垂直于l.求證：a、b、cn在同一平面內(nèi)。證明：

?

?a?b?P?l?a,b確定的平面?；

?l?a,l?b?l?a?l?a,n確定的平面?、；?l?n假設(shè)pn?面?,又?這樣過一點(diǎn)有兩個(gè)平面與直線l垂直，與有且只有一個(gè)矛盾，那么pn??，故命題得證。

二、證明諸點(diǎn)共面

例題：已知空間四點(diǎn)A、B、C、D滿足?ABC??BCD??CDA??DAB?求證：A、B、C、D共面。

?2,

證明：抓住四個(gè)角都是直角這一特征，簡單聯(lián)想到勾股定理進(jìn)行比較，從二推出矛盾。假設(shè)A、B、D??，C??，C是C在?內(nèi)的射影，連CD,

//

CD?ADC/C???C/D?AD?CD?C/D⑴

/同理?CB?CB⑵

C/D?AD,C/B?AB,且AB?ADA,B,C,D???BC/D?/?ABC/D是矩形，

?2所以

?BC/?C/D2?BD22⑶

已知?BCD??22?BC2?CD2?BD2⑷

2/2/2由⑴⑵有CD?CB?CD?CB

由⑶⑷有CD?CB?CD?CB?矛盾，則C一定在?內(nèi)，即A、B、C、D共面。

三、證明兩條直線異面

例題1：已知兩個(gè)不同平面?、?相交于直線l，經(jīng)過直線l上兩點(diǎn)A和B分別在?內(nèi)直線作AC，?內(nèi)作直線BD;求證：AC、BD是異面直線。證明：假設(shè)AC、BD共面，則AC、BD所在平面

22/2/2過AC和B點(diǎn)，即?過BC和A點(diǎn)，即?那么，?、?重合與已知矛盾；

所以AC、BD是異面直線。

指出：證明異面直線只能用定義和判定，但是都比較繁雜，故采用反證法。例題2：設(shè)A、B、C、D是空間四點(diǎn)，且AB、CD是異面直線，求證：AC與BD,AD與BC分別是異面直線。證明：假設(shè)AC與BD共面，

則A、B、C、D共面與AB、CD異面矛盾

所以AC與BD是異面直線。同理AD與BC是異面直線。四、證明直線與平面相交

例題：求證：假使一條直線和兩個(gè)平面中的一個(gè)相交，那么它與另一個(gè)也相交。已知：?//?，??a?A。求證：??a??。證明：假設(shè)a與?不相交，則；

I、a??,且?//??a//?，矛盾；II、a//?時(shí)，

過a與平面?上一點(diǎn)作面?，由a???A，則?與?、?都不相交，設(shè)相交直線為b、c則a//c?a//b，又?//??b//c，但是a?b?A，矛盾綜上所述：a與平面?相交。

五、證明平面與平面相交

例題：直線a與b不平行，假使a??,b??，那么平面?與?必定相交，并且交線必垂直于a、b。

證明：假設(shè)?????，即?//?。a???a??；

b???a//b矛盾，故?與?相交。設(shè)????c，

a???a?c同理?b?c這樣命題得證。

六、證明平行關(guān)系

例題1：求證：兩個(gè)平面平行，則一平面中任意一條直線都與另一平面平行。已知：?//?，a??；求證：a//?。

證明：假設(shè)a//?不成立，則a與?必有公共點(diǎn)，

那么A???????A與a//?矛盾。故命題成立。例題2：設(shè)直線a//?，a??，????b。求證：a//b。證明：假設(shè)a不平行b，且有a??,b??，

則a?b?A,b???A???a???A，與已知矛盾，所以a//b。例題3：設(shè)a//b，且b??；求證：a//?或a??。

證明：若a不平行?，且a???A，則a?b?A或a?b??；a?b?A與a//b矛盾；

a?b??即a與b無公共點(diǎn)且不共面?a與b是異面直線與a//b矛盾。故命題成立。

例題4：已知?//?A??且A?a,a//?；求證：a??。證明：假設(shè)a??，則a???A，又?//??a????與a//?矛盾。故命題成立。

七、證明垂直關(guān)系

例題：求證：垂直于同一平面的兩個(gè)相交平面的交線也垂直于這個(gè)平面。已知：???，???且????AB;求證：AB??.

證明：設(shè)????a，????b。

假設(shè)AB不垂直于?，則AB與a、b都不垂直或AB?a但AB不垂直b；⑴AB與a、b都不垂直，

在?內(nèi)過點(diǎn)A作AC?a，且????a，?AC??，同理AD??；與過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直矛盾；⑵AB?a但AB不垂直b，

設(shè)????a，則AB???AB?b矛盾；綜上所述AB??。

指出：由過程知道用同一法最為理想。

''1、過點(diǎn)A作AB??,過點(diǎn)AB作?//?且???，

'則???，且知???，又?????，即?與?重合?AB??；同理?AB??;則????AB，那么AB與a重合，命題成立。

//’、、///2、假設(shè)AB不垂直于?，過點(diǎn)A作AB??,且???，A???AB??

'同理?AB??;所以AB與a重合，命題成立。3、在平面?內(nèi)任意取一點(diǎn)P，過P作PM?a,PN?b;

//則

PM??,PN??PM?a,PN?b矛盾，所以AB??。

八、證明唯一性命題

例題1：求證：經(jīng)過平面?外一點(diǎn)A只有一個(gè)平面和已知平面平行。證明：假設(shè)過點(diǎn)A存在兩個(gè)平面?和?都與?平行，且?????；過點(diǎn)A作直線b??，?//??b??且?//??b????//?；與?????矛盾，故命題成立。

例題2：設(shè)直線a過點(diǎn)A且直線a垂直于平面?；求證：a是唯一的。證明：假設(shè)a不唯一，則存在過A作直線b且b??；

設(shè)a、b確定平面?且????c，則a?c,b?c與平面內(nèi)過一點(diǎn)只能作一條直線和已知直線垂直矛盾；故a是唯一的。

例題3：設(shè)點(diǎn)A??，A??且?//?，求證：?是唯一的。證明：假設(shè)過點(diǎn)A還存在?//?，并設(shè)????a；

作b??則b??,b????//?矛盾，故?是唯一的。九、證明否定式命題例題1：求證：兩個(gè)相交平面沒有公垂線。證明：假設(shè)存在公垂線a，

則a??,a????//?與?????矛盾，所以命題得證。例題2：設(shè)四點(diǎn)A、B、C、D不共面