暑期復(fù)習(xí)第十三講 三角恒等變換（一）一、基本內(nèi)容串講本章主干知識(shí)：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換。1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下：sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ;tan( )

tan tan1 tan tan對(duì)正切的和角公式有其變形： tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tan αtanβ)，有時(shí)應(yīng)用該公式比較方便。這 6個(gè)公式的聯(lián)系為：C(α－β) C(α＋β)T(α＋β)(α－β)TS(α－β)S(α＋β)2．二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.2tan.tan221tan要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角—降次，降角—升次）．特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形，cos21cos2,sin21cos2這兩個(gè)形式常用。223．簡(jiǎn)單的三角恒等變換1）變換對(duì)象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。2）變換目標(biāo)：利用公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式，達(dá)到化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明的目的。3）變換依據(jù)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）變換思路：明確變換目標(biāo)，選擇變換公式，設(shè)計(jì)變換途徑。二、考點(diǎn)闡述考點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。1、sin20cos40cos20sin40的值等于（）A.1B.3C.1D.3422412、若tan3，tan4)等于（），則tan(311A.3B.3C.D.33考點(diǎn)2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、coscos2的值等于（）55A．1B．1C．2D．4424、已知0A，且cosA3），那么sin2A等于（25471224A.B.C.D.25252525考點(diǎn)3運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換5、已知tan()2,tan()1,則tan()的值等于（）5444（A）13（B）3（C）13（D）3182222186、已知sinsin1,coscos1,則cos()值等于（）23（A）717（C）59109（B）72（D）7212187、函數(shù)f(x)cos2(x)sin2(x)1是（）1212（A）周期為2的奇函數(shù)（B）周期為2的偶函數(shù)（C）周期為的奇函數(shù)（D）周期的偶函數(shù)三、解題方法分析1．熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點(diǎn)例1設(shè)a132tan13sin50）cos6sin6,b,c,則有（221tan2132cos25A.abcB.abcC.acbD.bca2．明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口（1）運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換 `例2．已知π＜β＜α＜3π，cos（α－β）=12，sin（α+β）=－3，求sin2α的值．2 4 13 52例3．化簡(jiǎn)：［2sin50°+sin10°（1+ 3tan10°）］·sin280 ．（2）運(yùn)用函數(shù)方程思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換例4：已知sin（α+β）=2，sin（α－β）=3，求tan()tantan的值．。34tan2tan()（3）運(yùn)用換元思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換例5：若sin sin 2,求cos cos 的取值范圍。23．關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合，從知識(shí)聯(lián)系上尋找結(jié)合點(diǎn)例6：已知：向量a(3,1)，b(sin2x,cos2x)，函數(shù)f(x)ab（1）若f(x)0且0x，求x的值；（2）求函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)，向量a與b的夾角．3四、課堂練習(xí)1．sin165o=（）136262A．B．C．D．42242．sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是（）A．3B．1C．31222D．23．已知x(,0)，cosx4，則ant2x（）A．7B．7C．24D．24252424774．化簡(jiǎn)2sin（π－x）·sin（π+x），其結(jié)果是（）44Ａ．sin2xＢ．cos2xＣ．－cos2xＤ．－sin2x5．sin—3cos的值是（）1212A．0B．—2C．2D．52sin126．1tan275的值為()A．23B．23C．23D．23tan75337．若cos3，sin4，則角的終邊一定落在直線（）上。2525A．7x24y0B．7x24y0C．24x7y0D．24x7y08．coscossinsin_________.9．1tan15＝1tan1510．tan20 tan40 3tan20tan40的值是 .11．求證：cos21．sin2cottan4224112．已知tan2 ，求tan 的值．313．已知0x,sin(x)5,求cos2x的值。4413cos(x)414．若A0,,且sinAcosA7,求5sinA4cosA的值。1315sinA7cosA15．設(shè)f(x) asin x bcosx( 0)的周期為T ,最大值f( ) 4.12求,a,b的值;(2)若 , 為方程 f(x) 0的兩根,且 , 的終邊不共線 ,求tan( )的值.5第13講三角恒等變換參考答案1-7DBDBBCD7提示：∵cos3，sin4∴sin=24，cos=7，則角的終72425252525邊上一點(diǎn)為P（，24x7y0上。25），它在直線258、cos；9、3；10、3322211．證明：左邊coscoscoscoscottancossin21222sinsincos2221cos2·sin1sincos1sin2右邊，原式得證．2cos2412．解：由tan21得2tan1．這是一個(gè)關(guān)于tan的方程，解此方程可求得31tan23tan=310．13．解：(x)(x),cos(x)sin(x)5244，4413而cos2xsin(2x)sin2(x)2sin(x)cos(x)1204441692cos2x12012。169cos(x)5131347sinA1212sinAcosA13cosA14．解法一：由13或13sin2Acos255A1cosAsinA1313cosA1213舍去，故5sinA4cosA8∵A0,知sinA515sinA7cosA4313解法二：由sinAcosA7①得(sinAcosA)249，∴1sin2A4913169169∴sin2A120，∴(sinAcosA)21sin2A289，∵A0,，∴sinAcosA>0，從169169sinA1217135sinA4cosA8而sinAcosA②，聯(lián)立①、②解得135故7cosA43cosA15sinA13615．解：(1)f(x)a2b2sin(x)，T，2，又f(x)的最大值f()4，4a2b2①，且4a