干貨|29種題型秒殺導數(shù)重難點、易錯點(附詳解)

題型1導數(shù)的定義

例題1已知直線/經(jīng)過(一1,0),(0,1)兩點，且與曲線y=/(x)切于點A(2,3),則1而/(2+.)-"2)

加10Ar

的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

【解析】?.?直線/經(jīng)過(—1,0),(()』)兩點

I:y=x+l

直線與曲線y=/(x)切于點A(2,3)

可得曲線在x=2處的導數(shù)為：2)=1

所以/(2)=lim、(2+-)一/(2)=1,選c

v7—0Ar

鞏固1設/(x)存在導函數(shù)且滿足lim/(I)—/(I—2A^=—1,則曲線y=/(x)上的點(1J(1))處的

Ai。2Ax

切線的斜率為()

A.-1B.-2C.1D.2

【解析】y=在點處的切線的斜率為1(1)=呵/⑴二個-2A.=_］，選A

鞏固2已知函數(shù)/(*)在％=/處可導，若lim八々/3―)-/(為)=1,則/'(拓)=()

曲—0Ax

1

A.1B.-

3

C.3D,0

(解析】由己知可得lim"/+3.)-"/)=3lim〃/+的)-/⑻=3/'(%0)=l

所以1(Xo)=；.選8

題型2導數(shù)的幾何意義

例題2曲線y=x"在點(l,e)處的切線與直線以+0)，+c=0垂直，則￡的值為()

b

1221

A.-----B.一一C.-D.——

2eee2e

【解析】曲線y=

則y'=e*+xe*,則y'k=2e

???曲線在點(l,e)處的切線與直線av+力+c=0垂直

a1

..--------

b2e

/.-=—,選。

b2e

鞏固3己知曲線y=f+2]—2在點M處的切線與x軸平行，則點M的坐標是()

A.(1,3)B.(―1,—3)C.(—2,—3)D,(—2,3)

【解析】y=f+2x—2的導數(shù)為y'=2x+2

設M(0〃),則在點M的切線斜率為2m+2

由于在點M處的切線與x軸平行

則2m+2=0,解得m--1

所以〃=1—2—2=—3,即有M(-1.一3),選3

鞏固4如果曲線y=》4一X在點尸處的切線垂直于直線y=那么點P的坐標為()

A.(1,0)B.(0,-1)C.(0,1)D.(-1,0)

【解析】設點P3,b),則8=a,一°

由題得/。)=4/一1

因為曲線y=d—尤在點/＞處的切線垂直于直線y=-

所以4“'—1=3,所以〃=1

所以/「―1=0,所以點p的坐標為(1Q),選A

鞏固5已知曲線/（幻=：；I/+/i一5在點（］,A1））處的切線的傾斜角為1,則-----c-cs,一，=（

32sin2a+cosa

138

A.-B.-C.2D.一

255

【解析】因為=一5,故可得r（x）=f+x,則切線的斜率"a=r⑴=2

,cos2acos2a-sin2a1-tan2a1-43

又因為七二;--------=----------------5—=-----------=——選B

sin2a+cosaIsinacosa+cos-a2tana+14+15

題型3導數(shù)幾何意義與參數(shù)

例題3函數(shù)/（x）=31nx+f—灰+。（。＞0,4€火）的圖像在點伍"伊））處的切線斜率的最小值是

（）

A.6B.273C.2D.2夜

【解析】由題，/（彳）=上+2口_6=2尸二法+3

XX

則函數(shù)“X）的圖像在點處的切線斜率為k=/'㈤=2'二產(chǎn)3=b+j

設g（b）=b+q22囪，當且僅當b=￡即bf時等號成立

所以g（。）的最小值為28,即4血=26,選8

鞏固6直線y=H+2與曲線y=d+2以+匕相切于點（1,4）,則4a+b的值為（）

A.2B.-1C.1D.-2

【解析】由題意，直線丁="+2與曲線y=X3+2依+人相切于點（1,4）

則點（1,4）滿足直線丁=履+2,代入可得4=kxl+2,解得女=2

又由曲線=x3+2ax+b,則/（x）=3x2+2a

所以/，（l）=3xF+2a=2,解得a=—g,即/（x）=V—x+b

把點（1,4）代入〃力='-x+b,可得4=「一1+。，解答6=4

所以4。+6=4x（—）+4=2,選A

2

鞏固7函數(shù)f(x)=lnx-or在x=2處的切線與直線以一丁一1=。平行，則實數(shù)。=().

11

A.-1B.-C.-D.1

42

111

【解析】?.,/(x)=—a,f(2)=—a=a0a=一,選B

x24

2x-xlnx,x>0

鞏固8函數(shù)/(x)=43，若方程/。)=履+1有四個不相等實根，則實數(shù)&范圍()

-X——x,x<0

I2

4.(g'l)B.(—,2)C.(―,—)￡>.(’J)

2龍一xlnx,尤>0

【解析】作出/(x)=23八的圖象如圖所示

-x——<0

I2

方程/(幻=履+1有四個不相等的實根，等價于函數(shù)/(x)的圖象與直線>=日+1有四個交點

其臨界位置為y="+1和兩段曲線相切時

[，3

當直線丁=依+1與函數(shù)/(%)=-f一5%相切時，聯(lián)立J2得2￡+(2左+3卜+2=0

—y=kx+\

17

由口=4左2+12攵-7=0，解得上=二或%=一大(由圖可得舍負)

22

當直線丁=依+1與函數(shù)/(x)=2x-xlnx相切時

,

設切點坐標為(天,2玉)一玉)111%)，/(x)=l-lnx,切線的斜率為：^=l-lnx0

切線方程為y―2%)+玉)In%)=(1-In天)(x-玉))

由于切線丁=依+1恒過(0,1),代入可得兌=1,可得：k=l

即由圖知函數(shù)/(x)的圖象與直線丁=去+1有四個交點時，實數(shù)k的取值范圍是:<女<1,選。

flY.ix<0

鞏固9已知函數(shù)/(x)=〃2j'，若/W一加侖0,則實數(shù)〃?的取值范圍是()

x2+2x,x>0

人[0.2]B.[-1,2]C.[一歷3,2]D.[一例2,2J

【解析】如圖所示：畫出函數(shù)“X)的圖像

當X20時，/,(x)=2x+2,故/(0)=2

當x<0時，ln|，故/'(())=—ln2

根據(jù)圖像知：me[-In2,2],選O

題型4曲線上動點到直線距離的最值問題

例題4設曲線/(x)=41nx在點(1,0)處的切線上有一動點p,曲線g(x)=3f—21nx.上有一點。,

則線段PQ長度的最小值為()

4V17女2y/17r3V17n4y/17

17171717

【解析】v/(l)=0,r(x)=：.?.切線斜率&=/'⑴=4

故曲線〃x)在(1,0)處的切線方程為4x-y-4=()

221

又g'(x)=6x——，令6x——=4,則工=1或^=—一(舍去)

xx3

又g(l)=3,故g(x)在(1,3)處的切線方程為4x-y-l=0,與直線4x-y-4=0平行

這兩條平行線間的距離為d=3叵故線段PQ長度的最小值為之叵，選C

1717

鞏固10已知點P在曲線y=2d—配C上，點Q在直線y=3x-2上，貝『PQ|的最小值為()

A.姮B.1C.巫

1310

【解析】函數(shù)y=2/—Inx的定義域為(。,+8),/=4x--

X

令4X-L=3,可得X=1,X=--(舍去)

x4

所以切點為(1,2),它到直線y=3x-2的距離d==叵

VI+910

即點P到直線y=3x-2的距離的最小值為典

10

則IPQI的最小值為選。

10

題型5公切線問題

例題5函數(shù)/(x)=lnx+——與g(x)=f+i有公切線丁=奴,3>0),則實數(shù)相的值為()

X+1

1

A.4B.2C.1。,一

2

YY1Y

【解析】設公切線丁二雙,(。>0)與兩個函數(shù)/(x)=lnx+——與g(x)=/+i圖象的切點分別為

x+1

g'(X2)=2w=a

A(^>y)和8(孫y),由/'(x)=：+^-T,g'(x)=2x,可得，y=ax解得a=2,

2xIX+1)22

g(%2)=考+1=%

所以有<所±)=111$+=y化簡得2d—再+ln尤]-1=0,令〃(x)=212—x+]nx—1(x>0)

y=陰=2%

則〃'(x)=4x+1-1N3>0恒成立，即7z(x)=2x2-%+lnx-l(x>0)在定義域為增函數(shù)，又〃(1)=0,

則由八1)=;+m

2=2解得加=4

則解得方程2x1-x1+lnx1-l=0,%=1,選A

鞏固11已知函數(shù)/(x)=〃ev(。>0)g(x)=2x2-m(m>0)的圖象在第一象限有公共點，且在該

點處的切線相同，當實數(shù)機變化時，實數(shù)。的取值范圍為()

8

A.B.—,+°°C.0,—?[哈

7Ie

4%=2%o-m

oe"=2x3-m,

整理得《

【解析】設切點為則《x0>0

ae。=4x,

0m>0

由機=2片一4%>0,解得%>2.由上可知a=終，令//(￡)=號，則/z'(x)=幻

4(1一x)4%8,8、

因為x>2,所以”(x)=...-^-<0,〃0)=—7在(2,+8)上遞減，所以0</20)<—7，即。￡0，r

eeeIe)

鞏固12已知函數(shù)/(x)=；x2+gx+a—1(x<0),g(x)=lnx(x〉0),其中awR,若/(x)的圖象

在點A(x「fa))處的切線與g(x)的圖象在點8(々送(9))處的切線重合，則〃的取值范圍是()

A.(-1+In2,+oo)B.(In2,+oo)

C.(-1-In2,+oo)D.(-In2,+oo)

【解析】/(x)=+gx+”-i,.(x)=gx+g

故切線方程為：y—\~xi+~(A：—%])+—%,2+—x,+a—1

1Z乙)4乙

g(x)=lnx,故g'(x)=—，切線方程為：y=(工一工2)+1。工2

XX2

111I

故+2~-X,H—+~+—Xj+ci_1———(一X】)+InA??

212

化簡整理得到：a=,(x(<0),—+—>0,故—1<X[<O

今、乙乙)乙L

設g(x)=；f-如g,aW(x+2)(x-l)

2(x+l)

故函數(shù)在(TO)上單調(diào)遞減，故g(O)=ln2,當xf—1時，g(x)f+8,故〃>加2,選8

鞏固13若函數(shù)/(x)=lnx(Ovx〈l)與函數(shù)g(x)=』+Q有兩條公切線，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(一ln0-g,+oo)B.f-lnV2-1,-1j

C.f-In>/2,-D.|-lnV2--,--

l24」

【解析】設公切線與函數(shù)J'(x)=lnx的圖象切于點A(x”lnxJ(0<玉<1)

因為〃x)=lnx,所以尸(x)=L所以在點A(x，lnxJ處斜線的斜率匕=/'(無1)='

XX

所以切線方程為y—In內(nèi)(x-x.)

xi

設公切線與函數(shù)g(x)=*2+a的圖象切于點3卜2,%+”)

因為g(x)=x2+a,所以g'(x)=2x,所以在8(%2芯+。)處點斜線的斜率右=g'(x)=2w

l=2x

所以切線方程為丁一卜；+。)=2々(%72)，所以有,X

InXj—1=-%2+。

因為0<X?l,所以'=2921,x2>~.又a=—ln2w+￥—1

X2

1'、2產(chǎn)一1

令.=We—,+℃I,則〃(r)=—In2,+廣一1=-In2—Inr+廠o-1,所以/?'(/)=------

令〃'⑺>0且得/〉也：令〃’(/)<0且得1?/<立

22222

、

所以〃⑺在與

上為減函數(shù)，在,+00上為增函數(shù).

77

所以函數(shù)/(1)=111](()<]?1)與函數(shù)8(￡)=%2+0有兩條公切線

滿足償<//(OK//1/),即一In―萬</z(f)<一1,

、)

所以。€-lnV2--,--,選。

24

題型6導數(shù)幾何意義與函數(shù)性質(zhì)綜合

例題6已知函數(shù)/■(%)=x3+ax2+bx+c的圖象的對稱中心為(0.1),且f(x)的圖象在點(L/(l))處的切線

過點(2,7),則b=()

A.1B.2C.3D.4

【解析】:函數(shù)/'(x)=爐+ax,+bx+c的圖象的對稱中心為(0,1)，所以/1(—x)+f(x)=2

.j/(-1)+/(I)=2即(a+c=l得償=0

"l/(-2)+/(2)=2，Ua+c=1,里c=l

f(x)=xa+bx+=3x2+b

又???f(x)的圖象在點(L/(l))處的切線過點(2,7)

二/，(1)=吟Z,即3+b=個，解得b=L選A

尢+aJQ<0

鞏固14已知A,B是函數(shù)5—圖像上不同的兩點，若曲線y=/(x)在點A,B處

xlnx-a,x>0

的切線重合，則實數(shù)。的最小值是()

11C

A.—1B.----C.-D.1

22

【解析】當x40時，/(力=￡+%+。，則/'(x)=2x+l；當x〉0時,/(x)=xlnx-a

則f'(x)=lnx+L設4(斗，/(再)),3(X2,/(彳2))為函數(shù)圖像上的兩點

當％<*2<0或0cx<馬時，/'(玉)#/'(為)，不符合題意，故玉<0<々

則/(x)在A處的切線方程為y-(x；+x+a)=(2x1+l)(x-xI)

/(x)在5處的切線方程為y-x21nx2+。=(m*2+1)(*一±).

In+1=2x.+12t

由兩切線重合可知〈2,整理得a=g(x；_e')(%,<0).

-x2-a=a-x]

不妨設8(%)=312-/)(》40),則q(*)=1-62%"(*)=1-262',由g"(x)=0可得X=；lng

則當x=」lnL時,的最大值為g'(；lng

g'(x)=-ln---<0.

22222

則g(x)=；(/一e2)在y,o］上單調(diào)遞減,則。幺⑼=一；,選B

—,x>01

鞏固15函數(shù)/*）=<"若gO）=/（無）-炊無+R在R上零點最多，則實數(shù)氏范圍是.

-X2-2X,X<02

e?*_1x〉（）

鞏固16已知函數(shù)/（x）=,''若|/（幻巨皿恒成立，則實數(shù)機的取值范圍為.

—x—2x—2,x<0,

【解析】作出函數(shù)|/（x）|的圖象如圖所示;

當xWO時；令x2+2x+2=/nx

令A=0,即（2—加）2—8=0,解得利=2±2j5,結(jié)合圖象可知，機=2-2夜

當x〉0時，令?2、一1=的，則此時/（%）=已2”-1,版九）=痛相切

e2v°一1=mx（、,

設切點（馬迷?為-1）,貝卜°’解得機=2

2e~0=m.

觀察可知，實數(shù)機的取值范圍為[2-20,2],選A

冗冗

鞏固17設函數(shù)/(x)=asin<yx+"cos3x(0>0)在區(qū)間一,一上單調(diào)，且

62

萬、2乃、(兀、

，當x=時，/(X)取到最大值4,若將函數(shù)/(x)的圖象上各點的橫坐標

2>$

伸長為原來的2倍得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)y=g(x)-+?零點的個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

’77"TT7'124兀

【解析】設/（x）=V^4^sin（6zx+0）（刃＞0）,-=5―,即0<。43

coO）

712乃______

2

又一._2+3_7%為/（%）=J/+/?sin（5+°）的一條對稱軸

7?“一—2--五

KTC

且萬十片7T,則為—+吐sin?x+e)的一個對稱中心

23

由于0<啰43,所以x=上7萬與1,0為同?周期里相鄰的對稱軸和對稱中心

1213)

(747t、

則T=42一生=%，/=2

1123)

,------「A乃、.2%72萬

又J/+〃2=4,且/—\=asm—+hcos—

解之得。=2,6=2百

故/(%)=2sin2x+2Gcos2x=4sin(2%+(),由圖象變換可得，g(x)=4sin(x+?

因為g(x)=4sinx+1)在(-5'0)處的切線斜率為gr一號］=40。0(-胃+鼻］=4

y=Jx+/在(-1,())處切線斜率不存在,即切線方程為X=-g

所以X=-。右側(cè)g(X)圖象較緩，如圖所示

同時Jx+/>4時,x>\6--,所以y=g(x)—Jx+g的零點有7個,選。

題型7兩條曲線上動點距離最值

2

例題7設函數(shù)/(x)=--sine在(0,+8)上最小的零點為與,曲線y=在點(毛,0)處的切線上

71

3

有一點P,曲線丫=]%2-111尤上有一點。，則|P0|的最小值為

【解析】令%x=k7(keZ),則》=上，最小為毛=1

因為/'(x)=—2cos”,所以曲線y=/(x)在點(1,0)處的切線斜率為/'(l)=—2cos7=2

則切線方程為y=2x-2

3心)=#

設g(九)=]/-Inx,—Inx—2x+2

1a

則l(》)=3x—上一2,1(1)=0,/z(x)在尤=1處取最小值力(1)=]>0

所以秋力＞0恒成立，所以直線y=2x-2與曲線y=g(x)沒有交點

113

令g'(x)=3x—^=2,得尤=1或x=_](舍去)，g⑴=；

3

/3、2----2r-

則|PQ|的最小值為點卜引到直線y=2x-2的距離4,所以23書

-6+-一記

鞏固18已知實數(shù)a/,c,d滿足￡[=匕1=,，貝ij(a—c)2+(b—d)2的最小值為

bde

【解析】由題，得a=lnb,c=1-d+l

e

設(仇。)是曲線C：y=lnx的點，(4,c)是直線/:y=、x+l的點

e

(a-cP+(b-d)2可看成曲線C上的點到直線/上的點的距離的平方

對y=lnx求導得y=』，令y'=1，得x=e,所以曲線C上的點(e,l)到直線/的距離最小

xe

+_1_e

2~f1Vl+e2

該點到直線/的距離為(-1)2g+l

，\22

因此(a—c)2+S—。)2的最小值為-7=L==_J

[y/l+e2)1+e-

鞏固19若x,a,b為任意實數(shù),且（a+2）2+（。-3）2=1,則（x—a）2+（］nx—32的最小值為（）

4啦B.18C.372-1D.19-672

【解析】（a+2）2+（b—3）2=l,可得在（—2,3）為圓心，1為半徑的圓上

（x-a）2+（lnx—0）2表示點（。力）與點（x,lnx）的距離的平方

又（x,lnx）在曲線y=lnx上，設曲線y=lnx上一點為（根,ln〃z）

設過點（租,In加）的切線與點（根,Intn）與（-2,3）的連線垂直

tn_3\

可得----------=-1,即有Inm+n?+2=3

"z+2m

由+2m在機＞0遞增，且/"（1）=3,可得切點為（1,0）

圓心與切點的距離為4=7（1+2）2+（0-3）2=3J5

可得（x—a）2+（lnx-〃）2的最小值為（3及_1丫=19-6夜，選力

？

鞏固20已知In%—%-y+2=0,x2+2y2-4-21n2=0,記A/=（“一wF+Gi—必），貝"（）

,24

A.M的J最小值為二B.M的最小值為一

8］2

C.M的最小值為§D.M的最小值為彳

【解析】由題意，用=（與-々）2+（乂-%）2的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=InX-X+2圖象上的點與直線

x+2y—4—21n2=0上的點的距離的最小值的平方

y=lnx—x+2,得y'=——1

X

與直線x+2y-4—21n2=0平行的直線斜率為一；

令=解得x=2,所以切點的坐標為（2,ln2）

切點到直線x+2y—4—21n2=0的距離d=|2+2%一4二2㈣=竺

V1+45

?

即M=（x,-x2）+（y的最小值為［，選B

鞏固21若均為任意實數(shù)，且（a+2）2+伍一3『=1,則（x—a）2+（lnx—"2的最小值為

【解析】由題意得，結(jié)果為線^=11次上的點與以。（-2,3）為圓心，以1為半徑的圓上的點距離平方最小值

可以求曲線y=lux上的點與圓心。（一2,3）的距離的最小值，在曲線y=Inx上取一點M（%Inm）

.曲線有y=lnx在點M處的切線的斜率為攵'=一，從而有kcM?k'=-l,即上三一一=一1

mm+2m

整理得1!1〃2+加2+2〃2-3=0,解得m=l,所以點（1,0）滿足條件

其到圓心C（—2,3）的距離為d=J（一2-1）?+（3-0）2=3夜，故其結(jié)果為（3夜一=19—6夜

鞏固22設點P在曲線y=2e'上，點Q在曲線解=除富-M室上，則|PQ|的最小值為

A.l-ln2B.V2（l-ln2）C.疑M孰?翻D.V2（l+ln2）

【解析】因為曲線y=2,與曲線覃=%密-M署互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對稱，故可先求點尸到

直線y=X的最近距離，函數(shù)y=2/的導數(shù)為V=2/，由y'=2/=1得，x=—ln2,所以y=2e-'n2=1

|-ln2-l|l+ln2

所以當P點為點（一In2,1）時?，點到直線y=x的最近距離為d

夜

l+ln2

所以|p°L2d=2x=V2(l+ln2)

題型8導數(shù)幾何意義綜合

例題8設曲線y=￡'M（〃eN*）在點（1,1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為4，令q,=lgx“，則

q+4-----H%9的值為

［解析］因為y=/（》）=x"”（〃€N）所以/'（力=（〃+1）￡,所以/=〃+=1

所以切線方程為：=,令y=0,得x=/一

n+l

所以a“=lgx“=lg----=lgn-lg（n+l）

〃+1

所以q+4+…+?99=lgl-lg2+lg2-lg3+lg3-lg4+...+lg99-lgl00=-2

鞏固23不等式（x>0）恒成立，則k的最小值為（）

2-f-cosx

4.-B.=■C.-D.1

334

【解析】令〃為=一乎十COS=AT，則rco=I=.十笠COSX*.），很明顯函數(shù)人勸的周期為2萬

由導函數(shù)的符號可得函數(shù)在區(qū)間（0,2冷上具有如下單調(diào)性

在區(qū)間（0,2和（扛,2萬）上單調(diào)遞增，在區(qū)間0JT,汨上單調(diào)遞減，繪制函數(shù)圖像如圖所示

臨界條件為直線與曲線相切的情況，此時卜=/（（））=;,即k的最小值為:，選A

l,x<0

鞏固24已知函數(shù)/（x）=<，若yu）一勿優(yōu)K）,則實數(shù)機的取值范圍是（）

x2+2x,x>0

A.[0.2]B.[-1,2]C.[~ln3,2]D.[-Ini,2J

【解析】如圖所示：畫出函數(shù)〃x）的圖像

當x20時，/'(x)=2x+2,故r(0)=2；當x<0時，/=ln1.故尸(0)=-ln2；

根據(jù)圖像知：/ne[一如2,2],選據(jù)

題型9函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

171

例題9已知函數(shù)/(X)=X--(inx)'-Z:lnjc--(Zre7?)

(1)當Z=0時，求證：函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增

(2)當人〉1時，討論函數(shù)“X)零點的個數(shù)

【解析】⑴/(力=1一/=三管，令g(x)=x—lnx=>g1x)=l—B，易得g@)在(0,1］上遞減

(1,物)上遞增，，8(4加=8(1)=1>0=>/'(￡)>0,；.函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增

InxKX_1nY-k

(2)/'(x)=l--------=-——--,由(1)知當&>1時，方程x—lnx=A有兩個根玉，4

XXX

且易知0<占<1<々，則/(X)在(0,不)上單調(diào)遞增，在(百/2)匕單調(diào)遞減，在(％，”)單調(diào)遞增.

所以看為/(X)的極大值點，々為f(x)的極小值點

顯然/卜Q)=e-2*_；<"2_；<0,=,/(x)在(O,xJ僅有唯一零點

又f上加)=e"k-1irk2一〃/一g>-//,(當〃為較大的整數(shù)時)

?//(%)=e'-x2,則”(x)=e*-2x,〃"(x)=e*-2

當x>l時，〃"(x)>(),"(x)=e，—2x在(1,+￥)單調(diào)遞增，即”(x)i/(l)=e-2>0

所以/2(x)=e'—f在(1,+￥)單調(diào)遞增，即=e—1>0,即/"&)>()(當〃為較大整數(shù)時)

于是下面討論了(￡)的正負情況:

/(x,)=%一~In-—kInx-^———x-,——In-x-^一(x,—Inx?)In4一~——In-x2—x?Inx2+4—Q

構(gòu)造函數(shù)F(x)=；ln2x-x\nx+x-^nF'(x)=^^+l—l—lnx=°且/(e)=()

①當1cxz<e時,左=%Tnx2在(l,e)遞增，得％此時/(%)=/(9)>0,則函數(shù)/(x)

在(0,+8)上只有一個零點

②當々=e時，顯然女=e—1,函數(shù)/(x)在(0,~)上有兩個零點

③當％2>e時，％=￡-In馬在(e,+o。)遞增，得Ze(e—l,+8),此時/(切二—士卜。，則函數(shù)/(x)

在(0,+8)上有三個零點

綜上，丘(l,e—1),函數(shù)〃x)在(0,一)上有一個零點；女="1時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上有兩個零

點；丘(e-l,+oo),函數(shù)在(0,+紇)上有三個零點

鞏固25已知函數(shù)/(x)=olnx—Y+(2。一l)x您/NO).

⑴討論了。)的單調(diào)性；(2)若/(幻K0,求。的取值范圍

【解析】(1)由廣(「)=q_2x+(2a_l)=_(x")(2x+l)

當a=0時，/"(x)=—2x+l<0,則/⑴在(0,+?))上遞減

當〃>0時，令f(x)=0得x=a或％=—萬(負根舍去)，

令/(X)>0得OVxVa；令f(x)<0得x>a,所以/(x)在(0,。)上遞增，在(a,+8)上遞減

綜上：a=0時，f(x)在(0,+8)上遞減，。>0時，f(JC)在(0,上遞增，在(a,+oo)上遞減

(2)由(1)當a=0時，f(jc)=-x2-x<0,符合題意，

2

當”>0時，f(x)nklx=/(?)=cdna+<7-a<0,因為a>0,所以山a+a-lWO

令g(a)=/〃a+a—l,則函數(shù)單調(diào)遞增，又g(l)=0,故/〃a+a—140得0<a41

綜上，a的取值范圍為［0,1］

鞏固26已知函數(shù)/(x)=，+a)e*-a(x+l)

(1)當a=0時，求函數(shù)/(x)在(1,7(1))處的切線方程

(2)若“…一2,證明：當X..0時，/(x)..O

【解析】當a=0時，/0)=尢2國*,/'(X)=(x2+2x)tF,/'(l)=3e,/(l)=e

，函數(shù)f(x)的圖象在(1,7(1))處的切線方程y—e=3e(x-l),即3ex-y-2e=0

(2)證明：f'M=(x2+2x+a)ex-a,令g(x)=(f+2x+a)e*-a,則g'(x)=(f+4x+a+2)e*

.?.當x..O時，，+4x+a+2)e囑x?+4x)e*0,即g'(x)..0且不恒為零

??.g(x)在［0,+8)上是增函數(shù)，故g(x)..g(O)=O,即/'(x)..O

???/1)在［0,+8)上是增函數(shù)，.?J(x)../(0)=0,即f(x)..O

故若a..-2,則當X..0時，/(X)..O

13

鞏固27已知函數(shù)/.(x)=Inx+'X?GR),g(<x)=e'+—x2-x

(1)討論/(x)的單調(diào)性

(2)定義：對于函數(shù)〃x),若存在使/伉)=%成立，則稱與為函數(shù)“X)的不動點.如果函數(shù)

尸(x)=/(￡)—g(x)存在不動點，求實數(shù)。的取值范圍

【解析】(l)/(x)的定義域為(0,+8),/'(尤)=.+奴+1(工〉0),對于函數(shù)y=x2+or+120，

①當△=々2—400時，即一2(。42時，Y+Q^+INO在工>0恒成立

...r(X)=1+：+120在(0,y)恒成立，.??/(X)在(0,”)為增函數(shù)

②當△〉()，即。<一2或?！?時

當a<—2時，由/得x<一”而三或X)一"7吐±,"5心<3-4

2222

???“X)在卜七孚三|為增函數(shù)，「--，-"+『［為減函數(shù)，「+尸一］為增函數(shù)

\J\J\7

當a〉2H寸，由尸(另=三土竺±1>o在(O,y)恒成立，.??/(X)在(0,2)為增函數(shù)

綜上，當"-2時，/⑴在［，土孚三)為增函數(shù)，J*—二當T減函數(shù)

//~3~7、

二"；"二4,+8為增函數(shù)；當aN-2時，/(x)在(0,+?)為增函數(shù)

\/

13

(2)F(x)=/(x)-g(x)=lnx+—x2+ax-ex+x=lnx-x24-a￥+A;-e^(x>0)

???E(x)存在不動點，，方程尸(%)=%有實數(shù)根，即4=、二111r+廠一有解

X

令()，'+『叫>0),“(x)=e'(l)+3：(x+l)(x—l)=(￡+x+l)(x-l)+lnx

x2

令〃'(x)=0,得尤=1,當X€(O,1)時，/z(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減；

當xe(l,+oo)時，〃'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；之〃(l)=e+l,當aNe+1時,F(x)有不動點

a的范圍為［e+1,+8)

題型10極值與參數(shù)

1a

例題10已知函數(shù)/(1)=］第+第9■+〃a+機

(1)若須為的極值點，且/(%)=/(&)(玉工%2)，求2%+馬的值

(2)求證：當〃2>0時，，(幻有唯一的零點

【解析】(1)由題得/'(x)=Y+2x+m

由題可知/(X)=/(W),所以+加=++mx2+m

所以為2+九］工2+人22+3%+3/+3m=0(i)

因為/"(工1)=。，所以％2+2玉+帆=。.即3x；+6%+3祇=。(ii)

(ii)-(i)得2x：_/2+3與-3/=0,「.(2玉+%2)(玉_%2)+3(玉_%2)=0

所以(2%+工2+3)(%—％2)=(),???X1工X2，「.2%+工2=-3

32

(2)令/(無)=；/+X2+如+機=。，piij-%4-x=-m(x4-1)

令〃(x)=；/+V,hr(x)=x2+2x

可知A(x)在(-0),-2)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在［-2,0］上單調(diào)遞減,

4

又以一2)=—，火0)=0

3

y=TH(X+1)為過(一1,0)點的直線，又機＞0,則一根＜0

因此』V+/=T%(X+］)有且只有一個交點

3

1.

即/(x)=-x3+x92^-nvc+m有唯一的零點

鞏固28已知函數(shù)=一Y+a

(1)當。=0時，求函數(shù)“X)的極大值與極小值

(2)若函數(shù)/(x)在［1,3］上