PAGEPAGE10【知識要點】

第一講橢圓中常用結論及解法技巧一．橢圓三大定義定義1．到兩定點距離之和為定值的點的軌跡是橢圓．幾何性質：橢圓上任一點到兩焦點的距離之和為定值．定義2．到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為定值（小于1）的點的軌跡是橢圓．幾何性質：橢圓上任一點到左（右）焦點的距離與到左（右）準線的距離之比為離心率e定義3．到兩個定點的斜率之積為定值（小于0且不等于1）的點的軌跡是橢圓．幾何性質：橢圓上任一點到左右（上下）兩頂點的斜率之積為b2．a(chǎn)2二．橢圓經(jīng)典結論匯總ABx2a2

y21bM(x,yb2 0

)為AB的中點，則b2 b2xk kOM AB

，即ka2

0．a(chǎn)2y0AAx2y21bB是橢圓上其1 2 a2 b2AB

B的斜率存在，則k

b2．121 2 AB AB a212x2y21b0的左右焦點分別為F,

P為橢圓上任意一點FPFa2 b2

1 2 1 2|PF

||

| 2b2 則（1）1

2 1cos

；（2）橢圓的焦點角形的面積為S

FPF1

b2tan ．2x2y2a2 b2

1bA(xy0 0b2x

)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且kBC

a2y

（常數(shù)）．0Px2y21bF

為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則a2 b2 1 22a|AF2

PA||PF1

|2a|AF1

|F2

,P三點共線時，等號成立．x2a2

y21b0OPQ為橢圓上兩動點，且OPOQ，b21（1） 1 1

11

OP

|OQ|2

4a2b2

的|OP|2 |OQ|2 a2 b2 a2b2a2b2

OPQ最小值是

a2b2．x2y2a2 b2

1b的焦半徑公式：|MF|aex,|MF|aex,(F(c,0),F(c,0),M(x,y))1 0 2 0 1 2 0 0P(x,y0 0 0

) x2a2

y21內(nèi)，則被P所平分的中點弦的方程是b2 0x0xy0

yx0 y0 ．22a2 b2 a2 b222P(x,y0 0 0

) x2a2

y21內(nèi)，則過P的弦中點的軌跡方程是b2 0x2 y2 xx yy 0 0a2 b2 a2 b2

．x2 y2

xx yy若P(x

)在橢圓 1上，則過P的橢圓的切線方程是0

1．0 0 0

a2 b2

a2 b2若P(x

x2y21外，則過P作橢圓的兩條切線切點為P

，則切點弦0 0 0 a2 b2 0 1 2xx yyPP的直線方程是0

1．12 a2 b2設橢圓x2y21bFF

,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一a2 b2 1 2PF

F

P則有 sin

ce．12 1

1 2 1

sinsin ax2 y2P為橢圓

1b

,a2 b2

1 2 1 2PFF

ac

tan

tan 2 1 ac 2 2Bx2y2a2 b2

1bPPAB，PBABPAc、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有2ab2|cos| 2a2b2(1)|PA

a2c2cos2

；(2)tantan1e2；(3)

PAB

b2a2

cot．橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e．x2y21b的左右焦點分別為F

，點P為橢圓上任意一點a2 b2 1 2FPF，橢圓的焦點角形的內(nèi)心為I

e y，|PI|cos

ac．1 2

1e P 2PPT平分PF

在點P處的外角．12若橢圓x2y21bF,F

左準線為l則當0e 12a2 b2 1 22時，可在橢圓上求一點PPFP到對應準線距離dPF的比例中項．1 2x2a2

y21ab0的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的b2xP|PF|e．x2y2a2 b2

|MN| 21ab0，A,B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸P(x

,0)，則a2b2x

a2b2．0 a 0 a20x2y2bAA

a,0，與y軸平行的直線交橢圓a2 b2 1 2PPAPA

x2y2

1．1 2 11 2

a2 b2【例題解析】FFx2y2bP為橢圓上一點，1 2 a2 b2 O 22且PF(OFOP)0（為坐標原點），若|PF| |

|，則橢圓的離心率為（ ）1 163 63

1 26 36566 3656 52 2】已知定圓C1

:(x5)2y21，C2

x5)2y2225，定點M，動圓C滿足與C33133

外切且與C2

內(nèi)切，則|CM||CC212

|的最大值為（ ）2A．162

B．16

C．16

D．16x2a2

y2b2

1ab0交于A,B兩點，以線段AB為直 徑的圓過該橢圓的右焦點F2

，若ABF2

[ , ]，則該橢圓離心率的取值范圍為（ ）12 4A．[

B．[ 2, 6] C．[ D．[ , 3]2622 2 3 3 2 2262x2a2

y21ab0上一點A關于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，b2AFBF，設ABF，且

[ , 6 4

，則該橢圓離心率e的取值范圍為（）A．[

, 1] B．[ C．[ , 3] D．[ 3, 6]23222 2 2 2 3 32322FFx2y21的左右焦點，點M的坐標為3，則FMF的1 2 4 3 2 1 2角平分線所在直線的斜率( )A．2 1

3232x2y2b的左右焦點分別為FF

P為橢圓上的一點，a2 b2 1 2PF與橢圓交于Q。若PFQ的內(nèi)切圓與線段PF在其中點處相切，與PQ

，則橢2 1 1 2圓的離心率( )2323A． 23232 2 3 3x2y2b的左，右焦點分別為FF

10，|FF| ，10a2 b2

1 2 122P是y軸正半軸上一點，PF交橢圓于A，若AFPF，且APF的內(nèi)切圓半徑為 ，21 2 1 2 2則橢圓的離心率為（ )551015A． 5510154 3 4 4【例8】已知P是橢圓x2y21上任意一個點，M,N是橢圓上關于原點對稱的兩個點，4 mPMPN的斜率分別為kk1 2

(kk12

0)，若|k1

||k2

|的最小值為1，則實數(shù)m的取值為（ ）A．1 2 C．1或16 2或8x2y2bFFP是橢圓上一點，且FPF，a2 b2 1 2 1 2 3若FPF的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R,r，當時R4r，橢圓的離心率為（ ）1 24

2

1

25 3 2 510xOyx2y2

13 4則||的最大值為（ )A．2 3 4 511x2y2a2 b2

1ab0的一個焦點F2,0，點A2,1為橢圓E內(nèi)一點，若橢圓E上存在一點P，使得|PA||PF|8，則橢圓E的離心率的取值范圍是（）4 4A．[ , 9 7

4 4( , 9 7

2 2C．[ , 9 7

2 2D．[ , ]9 7】已知平行四邊形ABCDx2a2

y2b2

1ab0，且AB,AD斜率之積的范圍為(3,2)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）4 332A．((1, 3) ( , ) (1, 3) 1,1)32A．(2 3 3 2 4 3 4 3OABCDx2y2a2 b2

1ab0E,F，分別為AB,AD的中點，且OE,OF的斜率之積為3，則橢圓的離心率為（ ）413

422 2 4 5214F

E

x2y2

1ab0的左、右焦點，過點F的直線交橢1 2 a2 b2 1圓E于B兩點，|AF3|BF|，若cosAFB3，則橢圓E的離心率為（ ）1 1 2 51

2322 3 2 232【例15】已知F,F分別是橢圓C:x2y2

1ab0的左、右焦點，若橢圓C上存在點1 2 a2 b2A，滿足2|AF1

|3|AF2

|a，則橢圓的離心率取值范圍是（ ）1A．( 2

1B．[ 5

2( 5

2D．[ 516x2y21的左、右焦點分別為F

，直線l:ykxm與橢圓相切，6 2 1 2FF到直線l的距離分別為dd，則d

的值是（ ）1 2 1 2 12A．1 2 3 4【例17】已知定點A(3,0),B(3,0)，直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積為1，9記動點M的軌跡為曲線C．求曲線C的方程；過點T的直線l與曲線CP,QS(x

,0SP與SQ0斜率之積為定值，若存在，求出S坐標；若不存在，請說明理由．18】已知橢圓Cx2

y2b0的左、右焦點分別為F( 3,0),

( 3,0)，且經(jīng)過點

3,1)

a2 b2 1 2求橢圓C的標準方程；B(4,0作一條斜率不為0的直線l與橢圓CP,QPx軸對P'P'QxD，求DPQ面積的最大值．【課后作業(yè)】【1】已知橢圓x2y2

1(0b3)的左、右焦點分別為F,F，過F直線交橢圓與A,B兩9 b2

1 2 1點，若|F2

||F2

|的最大值為8，則b的值是（ ）2236A．2 2236【2FFx2y2bB為橢圓短軸的一個端點，1 2 a2 b2F 1 FBF BF ，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）1 2 2 11

2) (0, 3) 1(0, ]2

( 2 2 2【】已知Bx2y2a2 b2

1ab0長軸的兩個端點，M,N是橢圓上關于x軸對稱AMBN的斜率分別為kk1 2

(kk12

0)，若橢圓的離心率為323

|k1

||k |2的最小值為（ ）2332233【4FFx2y2b的左右焦點，過FF

作x軸的垂線交橢圓1 2 a2 b2 1 2四點構成正方形，則橢圓的離心率為（ ）315123151232 2 2 2【】ABx2a2的最大值為（ ）

y21ab0中心的弦，F(xiàn)(c,0)為橢圓的右焦點，則AFB面積b2A．b2 ab ac bc【6】已知直線lx2y21BAB的中點為，則l的斜率為4 2（ ）1 1A．2 2 2 2x2 1【7】已知橢圓C: y21，若一組斜率為的平行直線被橢圓C所截線段的中點均在2 4直線l上，則l的斜率為（ ）A．2 2 1 12 2【8FFx2y2

1

4，則FPF1 2 8 4

FPF 1 21 2等于（ ）A．300 450 600 900【9】橢圓x2y21的左焦點為F，直線xa與橢圓相交于點M,N，當FMN的周長5 4最大時，F(xiàn)MN的面積是（ ）56 58 54 5A． 56 58 54 55 5 5 5【10】設橢圓C的兩個焦點是FF，過F的直線與橢圓CP,Q|PFFF

|，且1 2 1 2 125|PF1

|6|FQ|，則橢圓的離心率為（ ）15753 1392 613 112 6【11x2y2b的兩個焦點分別為F

，若橢圓上存在點P使得a2 b2 1 2FPF

是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍．1 2【12C9x2y2m2，直線l不過原點O與C有兩BAB的中點為M，若l過點mm)，延長線段OM與CP，且四3邊形OAPB為平行四邊形，則直線l的斜率．【13】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Cx2a2

y21a