2/13專題5直線方程綜合大題歸類目錄熱點(diǎn)題型歸納TOC\o"1-1"\h\u【題型一】求直線方程 1【題型二】平行線距離 2【題型三】解三角形：求邊對(duì)應(yīng)的直線方程 3【題型四】解三角形三大線：中線對(duì)應(yīng)直線 3【題型五】解三角形三大線：高對(duì)應(yīng)直線 4【題型六】解三角形三大線：角平分線對(duì)應(yīng)直線 5【題型七】最值：面積最值 5【題型八】最值：截距與長(zhǎng)度 6【題型九】疊紙 6【題型十】三直線 7【題型十一】直線與曲線：韋達(dá)定理與求根 7【題型十二】直線應(yīng)用題 8培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 9培優(yōu)第二階——能力提升練 10培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 11【題型一】求直線方程【典例分析】（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形的頂點(diǎn)和所在直線的方程為.(1)求對(duì)角線所在直線方程；(2)已知直線過點(diǎn)，與直線的夾角余弦值為，求直線的方程.（以上所求方程都以直線的一般式方程作答）【提分秘籍】基本規(guī)律1、可以適當(dāng)?shù)闹v一下夾角公式：2、到角公式：3、如果不用夾角公式與到角公式，則可以處理【變式訓(xùn)練】1.（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高二開學(xué)考試）已知直線的方程為，直線的方程為.(1)設(shè)直線與的交點(diǎn)為，求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程；(2)設(shè)直線的方程為，若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)的取值的集合.2.（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，射線與軸正半軸的夾角分別為和，過點(diǎn)的直線分別交，于點(diǎn)．(1)當(dāng)線段的中點(diǎn)為時(shí)，求的方程；(2)當(dāng)線段的中點(diǎn)在直線上時(shí)，求的方程【題型二】平行線距離【典例分析】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過點(diǎn)，且被平行直線：與：所截取的線段長(zhǎng)為，求直線的方程．【提分秘籍】基本規(guī)律1、兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離：d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))2、過兩定點(diǎn)的兩條平行線之間的距離范圍：[0,d].其d是兩定點(diǎn)之間的距離【變式訓(xùn)練】1.（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）兩平行直線，分別過，.(1)，之間的距離為5，求兩直線方程；(2)若，之間的距離為d，求d的取值范圍.2.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與的方程分別為，，直線平行于，直線與的距離為，與的距離為，且，求直線的方程．【題型三】解三角形：求邊對(duì)應(yīng)的直線方程【典例分析】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等腰中，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，直角邊所在的直線方程為，求邊和所在的直線方程．【提分秘籍】基本規(guī)律要注意邊所在的直線斜率不存在的情況，防止漏解錯(cuò)解【變式訓(xùn)練】1.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知在第一象限的中，，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊與BC邊所在直線的方程．2.（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知過點(diǎn)且斜率為的直線l與x，y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)P，Q作直線的垂線，垂足分別為R，S，求四邊形PQSR的面積的最小值．【題型四】解三角形三大線：中線對(duì)應(yīng)直線【典例分析】（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線，，，記．（1）當(dāng)時(shí)，求原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在中，求邊上中線長(zhǎng)的最小值．【提分秘籍】基本規(guī)律中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用。三角形中線的性質(zhì)。3、中線交點(diǎn)是三角形的重心，是中線的三等分點(diǎn)，并且重心坐標(biāo)公式：【變式訓(xùn)練】1.（2021·湖北·華中師大一附中高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，.（1）求邊所在直線的一般方程；（2）邊上中線的方程為，且的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo).2.（2021·廣東·湛江二十一中高二期中）已知的頂點(diǎn)，，邊上的中線的方程為，邊所在直線的方程為(1)求邊所在直線的方程，化為一般式；(2)求頂點(diǎn)的坐標(biāo).【題型五】解三角形三大線：高對(duì)應(yīng)直線【典例分析】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線的方程為.分別求，邊所在直線的方程.【提分秘籍】基本規(guī)律三角形的高，和對(duì)應(yīng)底邊垂直，所以若斜率都存在，則滿足【變式訓(xùn)練】1.（2021·湖北黃岡·高二期中）在中，，邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為.(1)求點(diǎn)坐標(biāo)：(2)求直線的方程.2.（2020·安徽·合肥市第五中學(xué)高二期中（理））已知ABC的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線BC的方程．【題型六】解三角形三大線：角平分線對(duì)應(yīng)直線【典例分析】（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知的一個(gè)頂點(diǎn)，且，的角平分線所在直線的方程依次是，，求的三邊所在直線的方程.【提分秘籍】基本規(guī)律1.求角平分線方程可根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等求解2.求角平分線，可以利用夾角公式，或者到角公式求解【變式訓(xùn)練】1.（2021·全國·高二專題練習(xí)）在中，已知，.(1)若直線過點(diǎn)，且點(diǎn)A，到的距離相等，求直線的方程；(2)若直線為角的內(nèi)角平分線，求直線的方程.（2020·上?！じ叨n時(shí)練習(xí)）已知：的頂點(diǎn)和的角平分線所在直線方程為，求邊所在直線方程．【題型七】最值：面積最值【典例分析】（2022·江蘇南京·高二開學(xué)考試）已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值和此時(shí)直線的方程.【提分秘籍】基本規(guī)律1.利用點(diǎn)斜式求這類面積最值，設(shè)直線方程時(shí)，要注意斜率的正負(fù)。2.可以利用截距式，借助于均值不等式技巧求解【變式訓(xùn)練】1.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知射線，過點(diǎn)作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點(diǎn)A、B．(1)當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的兩點(diǎn)式方程；(2)求△OAB面積的最小值．2.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的方程為.(1)若直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形為等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)若，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積取得最小值時(shí)直線l的方程.【題型八】最值：截距與長(zhǎng)度【典例分析】（2022·河南省葉縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）一條直線經(jīng)過點(diǎn)．分別求出滿足下列條件的直線方程．(1)與直線垂直；(2)交軸、軸的正半軸于，兩點(diǎn)，且取得最小值．【變式訓(xùn)練】1.（2022·江蘇·連云港高中高二開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，直線.(1)在直線上找一點(diǎn)使得最小，并求這個(gè)最小值和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在直線上找一點(diǎn)使得最大，并求這個(gè)最大值和點(diǎn)的坐標(biāo).2.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知．(1)若直線l過點(diǎn)P，且原點(diǎn)到直線l的距離為2，求直線l的方程．(2)是否存在直線l，使得直線l過點(diǎn)P，且原點(diǎn)到直線l的距離為6？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型九】疊紙【典例分析】（2022·全國·高二單元測(cè)試）如圖，OAB是一張三角形紙片，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，設(shè)直線l與邊OA，AB分別交于點(diǎn)M，N，將△AOB沿直線l折疊后，點(diǎn)A落在邊OB上的點(diǎn)處．(1)設(shè)，試用m表示點(diǎn)N到OB的距離；(2)求點(diǎn)N到OB距離的最大值．【提分秘籍】基本規(guī)律可轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系.。中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩條直線垂直的條件、點(diǎn)到直線的距離公式是解題【變式訓(xùn)練】1.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1，邊?分別在軸?軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上，若折痕所在直線的斜率為，則折痕所在的直線方程為__________.2.（2021·安徽·桐城市第八中學(xué)高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，如圖所示．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段DC上．（1）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；（2）在（1）的條件下，若時(shí)，求折痕長(zhǎng)的取值范圍．【題型十】三直線【典例分析】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）平面上三條直線，，，如果這三條直線將平面劃分為六個(gè)部分，求實(shí)數(shù)的所有可能的取值．【變式訓(xùn)練】1.（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知三條直線和，且與的距離是．(1)求的值；(2)能否找到一點(diǎn)，使同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)；②點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的；③點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是，若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．【題型十一】直線與曲線：韋達(dá)定理與求根【典例分析】（2021·安徽·合肥市第六中學(xué)高二期中（理））已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩個(gè)頂點(diǎn)，的距離的比值為2，點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的軌跡方程;(2)過點(diǎn)且斜率為k的直線l，交曲線C于、N兩點(diǎn)，若，求斜率k【提分秘籍】基本規(guī)律1.直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則可以連立方程，消去一個(gè)變量后的一元二次方程有兩個(gè)根。借助于求根公式直接求解，或者韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化求解（圓錐曲線大題初步）【變式訓(xùn)練】1.（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知曲線．(1)說明曲線C是什么圖形，并畫出該圖形；(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是線段MN的中點(diǎn)，求直線的方程；(3)直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【題型十二】直線應(yīng)用題【典例分析】（2021·吉林·長(zhǎng)嶺縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，為保護(hù)河上古橋，規(guī)劃建一座新橋，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋與河岸垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心在線段上，并與相切的圓，且古橋兩端和到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)位于點(diǎn)正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)正東方向170m處（為河岸），．(1)求新橋的長(zhǎng)；(2)長(zhǎng)的范圍是多少？【變式訓(xùn)練】1.（2022·江蘇·高二）如圖，在一段直的河岸同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，相距5km，它們距河岸的距離分別為3km、6km．現(xiàn)在要在河邊修一抽水站并鋪設(shè)輸水管道，同時(shí)向兩個(gè)村莊供水．如果預(yù)計(jì)修建抽水站需8.25萬元（含設(shè)備購置費(fèi)和人工費(fèi)），鋪設(shè)輸水管每米需用24.5元（含人工費(fèi)和材料費(fèi)）．現(xiàn)由鎮(zhèn)政府撥款30萬元，問A、B兩村還需共同自籌資金多少才能完成此項(xiàng)工程？（精確到100元）（參考數(shù)據(jù)：，，，）分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且________，若直線m與直線l關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線m的方程．試從①與直線垂直，②在y軸上的截距為，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問題中，并解答．2.（2022·全國·高二期中）已知直線與平行，且直線與直線之間的距離為，求m、n的值．3.（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在等腰直角三角形中，已知一條直角邊所在直線的方程為，斜邊的中點(diǎn)為，求其它兩邊所在直線的方程.4.（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），(1)求AB邊所在的直線方程；(2)求AB邊的高所在直線方程.5.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.（1）求邊上的高所在直線的方程.（2）求邊的垂直平分線的方程.6.（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高二階段練習(xí)）在中，點(diǎn)，邊上中線所在的直線方程為，的內(nèi)角平分線所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的邊所在直線的方程.7.（2022·江蘇·連云港高中高二開學(xué)考試）設(shè)直線的方程為.(1)若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若直線與軸?軸分別交于點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值及此時(shí)直線的方程.8.（2022·全國·高二單元測(cè)試）將一張紙沿直線對(duì)折一次后，點(diǎn)與點(diǎn)重疊，點(diǎn)與點(diǎn)重疊.(1)求直線的方程；(2)求的值.9.（2020·四川·石室中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，邊分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上，已知折痕所在直線的斜率為.（1）求折痕所在的直線方程；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的面積.培優(yōu)第二階——能力提升練1.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，．(1)若點(diǎn)滿足，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在軸上，且，求直線的傾斜角．2.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知兩直線l1與l2，直線l1經(jīng)過點(diǎn)（0，3），直線l2過點(diǎn)（4，0），且l1∥l2．(1)若l1與l2距離為4，求兩直線的方程；(2)若l1與l2之間的距離最大，求最大距離，并求此時(shí)兩直線的方程．3.（2021·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為、、．(1)求邊的中垂線所在的直線方程和平行四邊形的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求的面積．4.（2022·全國·高二）如圖，在平行四邊形中，邊所在直線方程為，點(diǎn).(1)求直線的方程；(2)求邊上的高所在直線的方程.5.（2021·廣東·佛山市順德區(qū)文德學(xué)校高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點(diǎn)C在直線l：x-2y+2=0上.(1)求AB邊上的高CE所在直線的方程；(2)求△ABC的面積.6.（2021·全國·高二單元測(cè)試）已知，，，，軸為邊中線．（1）求邊所在直線方程；（2）求內(nèi)角角平分線所在直線方程．7.（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線.(1)若直線不能過第三象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程．8..（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小時(shí)，求此直線方程．9.（2022·全國·高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合如圖所示將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段DC上．（1）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程（2）當(dāng)時(shí)，求折痕長(zhǎng)的最大值．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線：過定點(diǎn)，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點(diǎn)平分，求的值.2.（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)和到直線l的距離都是.(1)根據(jù)m的不同取值，討論滿足條件的直線l有多少條？(2)從以下三個(gè)條件中：①；②；③；選擇一個(gè)條件，求出直線l的方程.