統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制（SPC）與休哈特控制圖(二)第五章休哈特控制圖一、特控制圖的種類(lèi)及其用途國(guó)標(biāo)GB4091常規(guī)控制圖是針對(duì)休哈特控制圖的。根據(jù)該國(guó)標(biāo),常規(guī)休哈特控制圖如表常規(guī)的休哈特控制圖。表中計(jì)件值控制圖與計(jì)點(diǎn)值控制圖又統(tǒng)稱(chēng)計(jì)數(shù)值控制圖。這些控制圖各有各的用途,應(yīng)根據(jù)所控制質(zhì)量指標(biāo)的情況和數(shù)據(jù)性質(zhì)分別加以選擇。常規(guī)的休哈特控制圖表中的二項(xiàng)分布和泊松分布是離散數(shù)據(jù)場(chǎng)合的兩種典型分布,它們超出.XMED一R控制圖與.XMED一R控制圖與x一R圖也很相似,只是用中位數(shù)圖(XMED圖)代替均值圖(x圖)。所謂中位數(shù)即指在一組按大小順序排列的數(shù)列中居中的數(shù)。例如,在以下數(shù)列中2、3、7、13、18,中位數(shù)為7。又如,在以下數(shù)列中2、3、7、9、13、18,共有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)。這時(shí)中位數(shù)規(guī)定為中間兩個(gè)數(shù)的均常規(guī)的休哈特控制圖數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)分布控制圖簡(jiǎn)記計(jì)量值正態(tài)分布均值-極差控制圖x一R控制圖均值-標(biāo)準(zhǔn)差控制圖x一R控制圖中位數(shù)-極差控制圖Xmed一R控制圖單值-移動(dòng)極差控制圖x一Rs控制圖計(jì)件值二項(xiàng)分布不合格品率控制圖P控制圖不合格品數(shù)控制圖Pn控制圖計(jì)點(diǎn)值泊松分布單位缺陷數(shù)控制圖U控制圖缺陷數(shù)控制圖C控制圖現(xiàn)在簡(jiǎn)單說(shuō)明各個(gè)控制圖的用途:x一R控制圖。對(duì)于計(jì)量值數(shù)據(jù)而言,這是最常用最基本的控制圖。它用于控制對(duì)象為長(zhǎng)度、重量、強(qiáng)度、純度、時(shí)間和生產(chǎn)量等計(jì)量值的場(chǎng)合。x控制圖主要用于觀察分布的均值的變化,R控制圖用于觀察分布的分散情況或變異度的變化,而x一R圖則將二者聯(lián)合運(yùn)用,用于觀察分布的變化。x一s控制圖與x一R圖相似,只是用標(biāo)準(zhǔn)差圖(s圖)代替極差圖(R圖)而已。極差計(jì)算簡(jiǎn)便,故R圖得到廣泛應(yīng)用,但當(dāng)樣本大小n>10或口,這時(shí)應(yīng)用極差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。的效率減低,需要應(yīng)用s圖來(lái)代替R圖。79值。在本例即2=8。由于中位數(shù)的計(jì)算比均值簡(jiǎn)單,所以多用于現(xiàn)場(chǎng)需要把測(cè)定數(shù)據(jù)直接記入控制圖進(jìn)行控制的場(chǎng)合,這時(shí)為了簡(jiǎn)便,當(dāng)然規(guī)定為奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)。4.x一Rs控制圖。多用于下列場(chǎng)合:對(duì)每一個(gè)產(chǎn)品都進(jìn)行檢驗(yàn),采用自動(dòng)化檢查和測(cè)量的場(chǎng)合;取樣費(fèi)時(shí)、昂貴的場(chǎng)合;以及如化工等過(guò)程,樣品均勻,多抽樣也無(wú)太大意義的場(chǎng)合。由于它不像前三種控制圖那樣能取得較多的信息,所以它判斷過(guò)程變化的靈敏度?要差一些。5.P控制圖。用于控制對(duì)象為不合格品率或合格品率等計(jì)數(shù)值質(zhì)量指標(biāo)的場(chǎng)合。這里需要注意的是,在根據(jù)多種檢查項(xiàng)目總合起來(lái)確定不合格品率的情況,當(dāng)控制圖顯示異常后難以找出異常的原因。因此,使用p圖時(shí)應(yīng)選擇重要的檢查項(xiàng)目作為判斷不合格品的依據(jù)。常見(jiàn)的不良率有不合格品率、廢品率、交貨延遲率、缺勤率,郵電、鐵道部門(mén)的各種差錯(cuò)率等等。6.Pn控制圖。用于控制對(duì)象為不合格品數(shù)的場(chǎng)合。設(shè)n為樣本大小-戶(hù)為不合格品率,則t為不合格品個(gè)數(shù)。所以取pn作為不合格品數(shù)控制圖的簡(jiǎn)記記號(hào)。由于計(jì)算不合格品率需進(jìn)行除法,比較麻煩,所以在樣本大小相同的情況下,用此圖比校方便。7.c控制圖。用于控制一部機(jī)器,一個(gè)部件,一定的長(zhǎng)度,一定的面積或任何一定的單位中所出現(xiàn)的缺陷數(shù)目。如布匹上的疵點(diǎn)數(shù),鑄件上的砂眼數(shù),機(jī)器設(shè)備的缺陷數(shù)或故障次數(shù),傳票的誤記數(shù),每頁(yè)印刷錯(cuò)誤數(shù),辦公室的差錯(cuò)次數(shù)等等。8.u控制圖。當(dāng)上述一定的單位,也即樣品的大小保持不變時(shí)可以應(yīng)用c控制圖,而當(dāng)樣品的大小變化時(shí)則應(yīng)換算為平均每單位的缺陷數(shù)后再使用u控制圖。例如,在制造厚度為2mm的鋼板的生產(chǎn)過(guò)程中,一批樣品是2平方米的,下一批樣品是3平方米的。這時(shí)就都應(yīng)換算為平均每平方米的缺陷數(shù),然后再對(duì)它進(jìn)行控制。二、應(yīng)用控制圖需要考慮的一些問(wèn)題應(yīng)用控制圖需要考慮以下一些問(wèn)題:控制圖用于何處?原則上講,對(duì)于任何過(guò)程,凡需要對(duì)質(zhì)量進(jìn)行控制管理的場(chǎng)合都可以應(yīng)用控制圖。但這里還要求:對(duì)于所確定的控制對(duì)象一質(zhì)量指標(biāo)應(yīng)能夠定量,這樣才能應(yīng)用計(jì)量值控制圖。如果只有定性的描述而不能夠定量,那就只能應(yīng)用計(jì)數(shù)值控制圖。所控制的過(guò)程必須具有重復(fù)性,即具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。對(duì)于只有一次性或少數(shù)幾次的過(guò)程顯然難于應(yīng)用控制圖進(jìn)行控制。如何選擇控制對(duì)象?在使用控制圖時(shí)應(yīng)選擇能代表過(guò)程的主要質(zhì)量指標(biāo)作為控制對(duì)象。一個(gè)過(guò)程往往具有各種各樣的特性,需要選擇能夠真正代表過(guò)程情況的指標(biāo)。例如,假定某產(chǎn)品在強(qiáng)度方面有問(wèn)題,就應(yīng)該選擇強(qiáng)度作為控制對(duì)象。在電動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間,如果對(duì)于電動(dòng)機(jī)軸的尺寸要求很高,這就需要把機(jī)軸直徑作為我們的控制對(duì)象。在電路板沉銅缸就要選擇甲醛、Na0H、Cu2的濃度以及沉銅速率作為多指標(biāo)統(tǒng)一進(jìn)行控制。怎樣選擇控制圖?選擇控制圖主要考慮下列幾點(diǎn):首先根據(jù)所控制質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)據(jù)性質(zhì)來(lái)進(jìn)行品,如數(shù)據(jù)為連續(xù)值的應(yīng)選擇x一R、x一s、XMED一Rs或x一Rs圖;數(shù)據(jù)為計(jì)件值的應(yīng)選擇p或pn圖,數(shù)據(jù)為計(jì)點(diǎn)值的應(yīng)選擇c或u圖。其次,要確定過(guò)程中的異常因素是全部加以控制(全控)還是部分加以控制(選控),若為全控應(yīng)采用休哈特圖等;若為選控,應(yīng)采用選控圖,參見(jiàn)第七章(一);若為單指標(biāo)可選擇一元控制圖,若為多指標(biāo)則須選擇多指標(biāo)控制圖,參見(jiàn)第七章(二)。最后,還需要考慮其他要求,如檢出力大小,抽取樣品、取得數(shù)據(jù)的難易和是否經(jīng)濟(jì)等等。例如要求檢出力大可采用成組數(shù)據(jù)的控制圖,如x一R圖。如何分析控制圖?如果在控制圖中點(diǎn)子未出界,同時(shí)點(diǎn)子的排列也是隨機(jī)的,則認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程處于穩(wěn)定狀態(tài)或控制狀態(tài)。,如果控制圖點(diǎn)子出界或界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī),就認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程失控。對(duì)于應(yīng)用控制圖的方法還不夠熟悉的工作人員來(lái)說(shuō),即使在控制圖點(diǎn)子出界的場(chǎng)合,也首先應(yīng)該從下列幾方面進(jìn)行檢查:樣品的取法是否隨機(jī),數(shù)字的讀取是否正確,計(jì)算有無(wú)錯(cuò)誤,描點(diǎn)有無(wú)差錯(cuò),然后再來(lái)調(diào)查生產(chǎn)過(guò)程方面的原因,經(jīng)驗(yàn)證明這點(diǎn)十分重要。對(duì)于點(diǎn)子出界或違反其他準(zhǔn)則的處理。若點(diǎn)子出界或界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī),應(yīng)執(zhí)行第二章（五）的20個(gè)字,立即追查原因并采取措施防止它再次出現(xiàn)。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出,正是執(zhí)行了第二章（五）的20個(gè)字,才能取得貫徹預(yù)防原則的作用。因此,若不執(zhí)行這20個(gè)字,就不如不搞控制圖。對(duì)于過(guò)程而言,控制圖起著告警鈴的作用,控制圖點(diǎn)子出界就好比告警鈴響,告訴現(xiàn)在是應(yīng)該進(jìn)行查找原因、采取措施、防止再犯的時(shí)刻了。雖然有些控制圖,如x一R控制圖等,積累長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)后,根據(jù)x圖與R圖的點(diǎn)子出界情況,有時(shí)可以大致判斷出是屬于哪方面的異常因素造成的,但一般來(lái)說(shuō),控制圖只起告警鈴的作用,而不能告訴這種告警究竟是由什么異常因素造成的。要找出造成異常的原因,除去根據(jù)生產(chǎn)和管理方面的技術(shù)與經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決外,應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出,應(yīng)用兩種質(zhì)量診斷理論和兩種質(zhì)量多元診斷理論來(lái)診斷的方法是十分重要的。有關(guān)內(nèi)容參見(jiàn)第七章?？刂茍D的重新制定?？刂茍D是根據(jù)穩(wěn)定狀態(tài)下的條件(人員、設(shè)備、原材料、工藝方法、環(huán)境,即4M1E)來(lái)制定的。如果上述條件變化,如操作人員更換或通過(guò)學(xué)習(xí)操作水平顯著提高,設(shè)備更新,采用新型原材料或其他原材料,改變工藝參數(shù)或采用新工藝,環(huán)境改變等,這時(shí),控制圖也必須重新加以制定。由于控制圖是科學(xué)管理生產(chǎn)過(guò)程的重要依據(jù)，所以經(jīng)過(guò)相當(dāng)時(shí)間的使用后應(yīng)重新抽取數(shù)據(jù),進(jìn)行計(jì)算,加以檢驗(yàn)。8.控制圖的保管問(wèn)題?？刂茍D的計(jì)算以及日常的記錄都應(yīng)作為技術(shù)資料加以妥善保管。對(duì)于點(diǎn)子出界或界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī)以及當(dāng)時(shí)處理的情況都應(yīng)予以記錄,因?yàn)檫@些都是以后出現(xiàn)異常時(shí)查找原因的重要參考資料。有了長(zhǎng)期保存的記錄,便能對(duì)該過(guò)程的質(zhì)量水平有清楚的了解,這對(duì)于今后在產(chǎn)品設(shè)計(jì)和制定規(guī)格方面是十分有用的。三、x-R(均值-極差)控制圖對(duì)于計(jì)量值數(shù)據(jù),x一R(均值一極差)控制圖是最常用、最重要的控制圖,因?yàn)樗哂邢铝袃?yōu)點(diǎn):適用范圍廣。對(duì)于x圖而言,計(jì)量值數(shù)據(jù)x服從正態(tài)分布是經(jīng)常出現(xiàn)的。若x非正態(tài)分布,則當(dāng)樣本大小n≤4或5時(shí),根據(jù)中心極限定理,知道x近似正態(tài)分布。對(duì)于R圖而言,通過(guò)在電子計(jì)算機(jī)上的統(tǒng)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)證實(shí),只要總體分布不是太不對(duì)稱(chēng)的,R的分布沒(méi)有大的變化。這就從理論上說(shuō)明了x一R圖適用的范圍廣泛。靈敏度高。x圖的統(tǒng)計(jì)量為均值x,反映在x上的偶然波動(dòng)是隨機(jī)的,通過(guò)均值的平均作用,這種偶然波動(dòng)得到一定程度的抵消;而反映在x上的異常波動(dòng)往往是在同一個(gè)方向的,它不會(huì)通過(guò)均值的平均作用抵消。因此,正圖檢出異常的能力高。至于R圖的靈敏度則不如x圖高?，F(xiàn)在說(shuō)明一下x一R圖的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ),假定質(zhì)量特性服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且μ,σ均已知。若x1,x2,...,xn是大小為n的樣本,則樣本均值為x1x2...xn x= n 由于x服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n),并且樣本均值落入下列兩個(gè)界限nσzσznμ-α/2χ=μ-α/2(5.3-1a)nσzσznμ+α/2χ=μ+α/2(5.3-1b)間的概率為1-α。因此若μ與σ已知,則式(5.3-1a)與式(5.3-1b)可分別作為樣本均值的控制圖的上下控制界限。如前述,通常取Za/2=3,即采用3σ控制界限。當(dāng)然,即使x的分布是非正態(tài)的,但由于中心極限定理,上述結(jié)果也近似成立。在實(shí)際工作中,μ與σ通常未知,這時(shí)就必須應(yīng)用從穩(wěn)態(tài)過(guò)程所取的預(yù)備樣本的數(shù)據(jù)對(duì)它們進(jìn)行估計(jì)。預(yù)備樣本通常至少取25個(gè)(根據(jù)判穩(wěn)準(zhǔn)則(2),最好至少取35個(gè)預(yù)備樣本)。設(shè)取m個(gè)樣本,每個(gè)樣本包含n個(gè)觀測(cè)值。樣本大小n主要取決于合理分組的結(jié)構(gòu),抽樣與檢查的費(fèi)用,參數(shù)估計(jì)的效率等因素,n通常取為4,5或6。令所取的m個(gè)樣本的均值分別為x,x,...,x,則過(guò)程的μ的 1 2 m最佳估計(jì)量μ為總均值x,即μ=x=（x+x+…+x）/m(5.3-2) 1 2 m于是x可作為x圖的中心線。為了建立控制界限,需要估計(jì)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差σ可以根據(jù)m個(gè)樣本的極差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)進(jìn)行估計(jì)。應(yīng)用極差進(jìn)行估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是極差計(jì)算簡(jiǎn)單,所以至今R圖的應(yīng)用較s圖為廣。現(xiàn)在討論極差法。設(shè)x1,x2,...,xn為一大小為n的樣本,則此樣本的極差R為最大觀測(cè)值xmax與最小觀測(cè)值xmin之差,即R=xmax-xmin(5.3-3)若樣本取自正態(tài)總體,可以證明樣本極差R與總體標(biāo)準(zhǔn)差σ有下列關(guān)系:令W=R/σ,可以證明E(W)=d2,為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù),于是,σ的估計(jì)量為σ=E(R)/d2。令m個(gè)樣本的極差為R1,R2,...,Rm,則樣本平均極差為R1R2...Rm R= m (5.3-4)故σ的估計(jì)量為σ=E(R)/d2(5.3-5)若樣本大小n較小,則用極差法估計(jì)總體方差與用樣本方差去估計(jì)總體方差的效果是一樣的。但當(dāng)n較大,如n>10或12,則由于極差沒(méi)有考慮樣本在xmax與xmin之間的觀測(cè)值的信息,故極差法的效率迅速降低。但在實(shí)際工作中,x一R圖一般取n=4，5或6,所以極差法是令人滿(mǎn)意的。若取μ的估計(jì)量為x，σ的估計(jì)量為E(R)/d2,則x圖的控制線為σ σAUCL=μ+3n≈x+3d2nR=x+2RCL=μ≈x(5.3-6)σ σALCL=μ-3n≈x-3d2nR=x-2R式中σA2=3d2n(5.3-7)為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù),參見(jiàn)附錄Ⅴ計(jì)量值控制圖系數(shù)表。由上述,已知樣本極差R與過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差σ有關(guān),因此可以通過(guò)R來(lái)控制過(guò)程的變異度,這就是Rμ圖。R圖的中心線即R=R。為了確定R圖的控制界限,需要對(duì)σR進(jìn)行估計(jì)。若質(zhì)量特性服從正態(tài)分布,令W=R/σ,可以證明σw=d3(d3為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù)),于是從R=Wσ知知σR=σwσ=d3σ。由于σ未知,故從式σ=E(R)/d2得σR的估計(jì)量為σ=d3R/d2(5.3-8)根據(jù)上述,得到R圖的控制線如下μR+3μR+3σR≈R+3R=R+3d3UCL=μμR/d2CL=R≈R=R/d2 μσμσ LCL=R-3R≈R-3R=R-3d3R/d2令D3=1-3d3/d2，D4=1+3d3/d2，則代入上式后，得R圖的控制線為DUCL= 4RCL=R(5.3-10)DLCL= 3R式中,系數(shù)D3、D4參見(jiàn)計(jì)量值控制圖系數(shù)表?，F(xiàn)在我們通過(guò)例子說(shuō)明建立x一R圖的步驟,其他控制圖的建立步驟也與此類(lèi)似。例5.3-1廠方要求對(duì)汽車(chē)引擎活塞環(huán)的制造過(guò)程建立x一R控制圖進(jìn)行控制?，F(xiàn)取得25個(gè)樣本，每個(gè)樣本包含5個(gè)活塞環(huán)的直徑的觀測(cè)值，如活塞環(huán)直徑的數(shù)據(jù)表所示。解我們按下列步驟進(jìn)行。步驟1:取預(yù)備數(shù)據(jù)。已取得預(yù)備數(shù)據(jù)如活塞環(huán)直徑的數(shù)據(jù)表所示。步驟2:計(jì)算樣本均值x。例如,對(duì)于第一個(gè)樣本,我們有74.03074.00274.01973.99274.008 x1= 5 =74.010其余類(lèi)推。步驟3:計(jì)算樣本極差R。例如,對(duì)于第一個(gè)樣本,xmax=74.030,xmin=73.992,于是有R1=74.030-73.992=0.058其余類(lèi)推?；钊h(huán)直徑的數(shù)據(jù)樣本序號(hào)樣本序號(hào)觀測(cè)值x1Ri174.03074.00274.01973.99274.00874.0100.038273.99573.99274.00174.00174.01174.0010.019373.98874.02474.02174.00574.00274.0080.036474.00273.99673.99374.01574.00974.0030.022573.99274.00774.01573.98974.01574.0030.026674.00973.99473.99773.98574.01473.9960.024773.99574.00673.99473.00073.00574.0000.012步驟4:計(jì)算樣本總均值x與平均樣本極差。由于i1=1850.024,i1=0.581,故125xi1850.024x=25i1= 25 =74.001R125R0.581=25i1=25=0.023步驟5:計(jì)算R圖與x圖的控制線。計(jì)算x一R圖應(yīng)該從R圖開(kāi)始,因?yàn)閤圖的控制界限中包含R,所以若過(guò)程的變異度失控,則計(jì)算出來(lái)的這些控制界限就沒(méi)有多大意義。對(duì)于樣本大小n=5,從附錄V查得D3=0,D4=2.115,又從步驟4知R=0.023,于是代入式(5.3-10)后,得到R圖的控制線為DUCL= 4R=2.115(0.023)=0.049CL=R=0.023DLCL=3R=0(0.023)=0如x一R控制圖所示。事實(shí)上,LCL=D3R=(1一3d2/d3)R,當(dāng)n=5,1-3d2/d3=1-3(0.864)/2.326=-0.114為負(fù)值,但R不可能為負(fù),故此時(shí)LCL不存在。這里,LCL=0不過(guò)作為R的自然下界而已。當(dāng)把25個(gè)預(yù)備樣本的極差描點(diǎn)在R圖中后,根據(jù)判斷穩(wěn)態(tài)的準(zhǔn)則(1)知過(guò)程的變異度處于控制狀態(tài)。于是可以建立x圖。對(duì)于樣本大小n=5,從附錄V查得A2=0.577,又從步驟4知x=74.001,R=0.023,于是σ σA代入式UCL=μ+3n≈x+3d2nR=x+2RCL=μ≈x σ σALCL=μ-3n≈x-3d2nR=x-2R后,得到x圖的控制線為AUCL=x+2R=74.001+0.577(0.023)=74.014CL=x=74.001ALCL=x-2R=74.001一0.577(0.023)=73.988如圖（x-R控制圖）所示。當(dāng)把預(yù)備樣本的均值描點(diǎn)在x圖中后,根據(jù)判斷穩(wěn)態(tài)的準(zhǔn)則(1)知過(guò)程的均值處于穩(wěn)態(tài)。由于x圖和R圖都處于統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài),且從該廠知過(guò)程也處于技術(shù)穩(wěn)態(tài),于是上述x-R圖可加以延長(zhǎng),作為控制用控制圖供日常管理之用。步驟步驟6:延長(zhǎng)上述x一R圖的控制界限作控制用控制圖。為了進(jìn)行日常管理,該廠又取了15個(gè)樣本,參見(jiàn)x一R圖的日常管理數(shù)據(jù)表。在計(jì)算出各個(gè)樣本的x與R后在x一R圖描點(diǎn),如x一R圖用于日常管理圖所示。從圖中可見(jiàn),x圖在第11個(gè)樣本后的幾個(gè)點(diǎn)子均出界,說(shuō)明存在異常因素。事實(shí)上,從x圖上第9、第10個(gè)點(diǎn)子后的點(diǎn)子逐漸上升的趨勢(shì)已可看出這是由于過(guò)程均值逐漸增大的結(jié)果?，F(xiàn)在對(duì)現(xiàn)在對(duì)x一R圖進(jìn)行一些討論:情況x圖R圖情況x圖R圖判斷一告警未告警μ變化二未告警告警σ變化三告警告警σ變化,至于μ變化是否發(fā)生應(yīng)視具體情況而定四未告警未告警正常一R圖的判斷是成立的,至于情況三,現(xiàn)在說(shuō)明如下:對(duì)于正態(tài)分布總體N(μ,σ2),只有μ變化而σ不變,則在x圖將由于描點(diǎn)出界的概率增大而告警;但若只有σ變化,而μ不變,這時(shí)不僅R圖將由于描點(diǎn)出界的概率增大而告警,且x圖中描點(diǎn)出界的概率也增大,從而也會(huì)告警。所以在情況三,R圖告警可以判斷σ變化,而x圖同時(shí)告警則不能判斷μ一定發(fā)生變化,因?yàn)橛锌赡苁怯捎讦易兓鸬?μ是否發(fā)生變化應(yīng)視具體情況而定。2.2.容差圖。在x圖上的描點(diǎn)是樣本的平均值x而非樣本的各個(gè)測(cè)量值x,有時(shí)將樣本中的逐個(gè)x反映在規(guī)格界限的容差圖中是有用的,如圖（容插圖）所示。圖中的豎線表示該樣本中各個(gè)x值的范圍,規(guī)格界限為74.000±0.03。從圖（容插圖）可見(jiàn),圖（x一R圖用于日常管理圖）連續(xù)4個(gè)點(diǎn)子出界并非是由于樣本的個(gè)別異常觀測(cè)值造成的,而是由于過(guò)程均值的偏移而造成的。我們求得從第9組到第15組樣本的總均值為74.015,若過(guò)程均值從原來(lái)的穩(wěn)定值74.001偏移到此值,則將產(chǎn)生6.43%的不合格品。3.控制界限、規(guī)格界限與自然容差界限間的關(guān)系。x一R圖的控制界限與規(guī)格界限毫無(wú)關(guān)系完全是兩碼事。規(guī)格界限是由技術(shù)經(jīng)濟(jì)要求所決定的,而控制界限則是由過(guò)程的以標(biāo)準(zhǔn)差σ度量的自然變異度,亦即過(guò)程的自然容差界限所決定的.兩者不可混為一談，如圖（控制界限、規(guī)格界限于自然容差界限）所示。應(yīng)用x應(yīng)用x一R的一些注意事項(xiàng)：4.(1)合理分組原則。在收集數(shù)據(jù)進(jìn)行分組時(shí)要遵循休哈特的合理分組原則:1)組內(nèi)差異僅由偶然波動(dòng)(偶然因素)造成;2)組間差異主要由異常波動(dòng)(異常因素)造成。下面作些說(shuō)明。首先,若過(guò)程穩(wěn)定,則在過(guò)程中只存在偶然波動(dòng)(偶然因素),它由3σ方式中的σ所反映。如果確定σ值不僅有偶然波動(dòng)而且還有異常波動(dòng),則σ值增大,也即上下控制界限的間隔加大。在極端情況下,若異常波動(dòng)全部進(jìn)入σ值的計(jì)算,則上下控制界限的間隔將大到使任何點(diǎn)都不會(huì)出界。從而控制圖就失去了控制的作用。因此,一個(gè)樣本組內(nèi)各個(gè)樣品特性值的差異要求盡可能由偶然波動(dòng)造成。這就要求同一個(gè)樣本組的各個(gè)樣品的取樣應(yīng)在短時(shí)間內(nèi)完成。其次,各個(gè)樣本組的統(tǒng)計(jì)量平均值也是有差異的。由于偶然波動(dòng)始終存在,它必然會(huì)對(duì)此差異有影響,但這種影響是微小的。若過(guò)程異常,要求統(tǒng)計(jì)量平均值之間的差異主要由異常波動(dòng)(異常因素)造成,這樣便于由控制圖檢出異常。這就要求在容易產(chǎn)生異常的場(chǎng)合增加抽樣頻率,反之,亦然。(2)經(jīng)濟(jì)性。抽樣的費(fèi)用不得高于所獲得的效益。(3)樣本大小n和抽樣頻率。若用x控制圖去檢出過(guò)程的較大偏移,例如2σ或更大的偏移,則可用較小的樣本(如n=4,5或6)即可將其檢出,若檢出較小的過(guò)程偏移,則需用較大的樣本,甚至需要n=15至25。當(dāng)然,較小的樣本在抽樣時(shí)正好碰到過(guò)程偏移的可能性也小。因此,可以采用添加警戒限和其他判定界內(nèi)點(diǎn)非隨機(jī)排列的原則,來(lái)提高控制圖檢出過(guò)程小偏移的能力,而不采用大樣本的作法。對(duì)于R圖,若采用小樣本則對(duì)于檢出過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差的偏移是不很靈敏的,但大樣本(n>10),用極差法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的效率將迅速降低。因此,對(duì)于n>10的樣本,應(yīng)該采用s圖而不用R圖。在確定正圖和R圖的樣本大小時(shí),x圖和R圖的操作特性曲線是有用的。至于抽樣頻率,實(shí)踐表明多傾向于采用小樣本、短間隔而不是大樣本、長(zhǎng)間隔。（4）x圖和R圖檢出過(guò)程質(zhì)量偏移的能力可由其操作特性曲線(簡(jiǎn)稱(chēng)OC曲線)來(lái)描述。1)x圖的檢定能力和OC曲線。假定過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差σ為常數(shù),若過(guò)程均值由穩(wěn)定狀態(tài)值μ0偏移到另K一值μ1,其中μ1=μ0+σ,則在偏移后第一個(gè)抽取的樣本未檢出此偏移的概率(即第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤的概率)或β風(fēng)險(xiǎn)為Kβ=P{LCL≤x≤UCL|μ=μ1=μ0+σ}（5。3-11）由于x～N(μ,σ2/n),而x圖的上下控制界限分別為σUCL=μ0+3n,σnUCL=μ0-3n,n于是,可將式(5.3一11)寫(xiě)成 UCL(μK) UCL(μK)0σβ=Φ[n/00σn/0σσμ3σ/n(μK)μ3σ/n(μK) 0 0 σ 0 0 σ=Φ[ σ/n ]-Φ[ σ/n ]=Φ(3-Kn)-Φ(-3-Kn)（5.3-12）式中,φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù),參見(jiàn)附錄I表A一1。根據(jù)式β=Φ(3-Kn)-Φ(-3-Kn)可作出x圖的OC曲線如μ變化而σ一定時(shí)x圖的OC曲線圖所示。從圖中可見(jiàn),當(dāng)n一定時(shí),β值隨K的增加而減少;而當(dāng)K一定時(shí),β值隨n的增加也減少。當(dāng)樣本大小n<4,5或6時(shí),x圖由偏移后第一個(gè)樣本就檢出過(guò)程的小偏移并不有效。例如,若偏移為1.0σ,n=5,則由此圖可查得β近似等于0.75,于是此偏移由第一個(gè)樣本檢出的概率僅僅為1一β=1一0.75=0.25;此偏移由第二個(gè)樣本檢出的概率為βK1β(1一β)=0.75(1一0.75)=0.19;...;此偏移由第K個(gè)樣本檢出的概率為 (1一β)。一般,為檢出此偏移的期望樣本個(gè)數(shù)為,KβK1(1一β)=β11（5.3-13）由此,在本例有/由此,在本例有/1（1一β）=1/0.25=4,即若n=5,在x圖檢出1.0σ的偏移的期望樣本個(gè)數(shù)為4個(gè)。以上討論是當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ一定而均值μ變化時(shí)x圖的OC曲線。若μ值一定而σ變化,不妨設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差由σ偏移到σ=K1σ,則與式(5.3-12)類(lèi)似地可得出β風(fēng)險(xiǎn)為nnK//300σσμμnnK//3100σσμμ K K=Φ(3/1)-Φ(-3/1)（5.3-14）表5.3一4是根據(jù)式(5.3一14)計(jì)算得到的β值。由此表可知,x圖不僅對(duì)μ的變化具有檢定能力,而且對(duì)σ的變化也具有檢定能力,也就是說(shuō),即使當(dāng)μ保持不變而σ變化時(shí)也會(huì)在x圖上反映出來(lái),這與x一R圖的判斷表一致。此外,當(dāng)μ不變而σ變化時(shí),β值與樣本大小n無(wú)關(guān)(見(jiàn)式(5.3-14))。表5.3一4μ一定σ變化時(shí)x圖的β值KK111.522.5345β0.99730.95450.86640.79680.68280.54680.4514另外，還可以討論均值μ及標(biāo)準(zhǔn)差σ同時(shí)變化時(shí)x圖的第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤概率β值，這里只給出的計(jì)算公式及當(dāng)n=4時(shí)的β值(見(jiàn)表μ及σ同時(shí)變化時(shí)x圖的β值(n=4)) 3Kn 3Kn K1 K1β=Φ[ 1 ]-Φ[ 1 ](5.3-15)根據(jù)上表中數(shù)據(jù)可畫(huà)出如μ及σ同時(shí)變化時(shí)x圖的OC曲線所示的一系列OC曲線。由圖中可見(jiàn),當(dāng)σ增大,即K1值變大時(shí),曲線的傾斜率變得平緩;而K1值較小時(shí)x圖的β值隨K值增大而激減,亦即x圖檢出過(guò)程均值偏移的概率激增,即x圖的靈敏度增加。上述討論說(shuō)明x上述討論說(shuō)明x圖采用小樣本是合理的。雖然小樣本的β風(fēng)險(xiǎn)較大，但由于我們周期地抽取樣本并檢驗(yàn)和在x圖上描點(diǎn),所以非?？赡茉诔槿『侠淼臉颖緜€(gè)數(shù)后就可檢出過(guò)程的偏移。此外,還可采取增添警戒限和界內(nèi)點(diǎn)非隨機(jī)排列的判定準(zhǔn)則來(lái)提高x圖檢出過(guò)程偏移的能力。R圖的檢定能力和OC曲線。為了構(gòu)造R圖的僅OC曲線需要用到W=R/σ的分布。設(shè)σK過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差從處于穩(wěn)定狀態(tài)的σ偏移到1=1σ(>σ),則R圖的OC曲線(見(jiàn)圖3.5.3-7)給出了此偏移未被第一個(gè)樣本檢出的概率,即β值。從圖3.5.3-7圖中曲線可見(jiàn),當(dāng)樣本大小n增加時(shí),β值減小,R圖的檢定能力提高,這點(diǎn)同x圖的情況相同。但有一點(diǎn)是不同的,即x圖對(duì)σ的變化有一定的檢定能力,但R圖對(duì)μ的變化卻沒(méi)有檢定能力,也即若σ不變而μ變化,不能在R圖上反映出來(lái)。另外,當(dāng)采用小樣本時(shí),例如n=4,5或6時(shí),R圖對(duì)檢出過(guò)程的偏移不是很有效。這時(shí)可采用前述增加控制圖靈敏度的措施。若樣本大小n>10或12時(shí),一般應(yīng)采用s圖來(lái)代替R圖。x一R圖的檢定能力。分析了x圖和R圖的檢定能力,現(xiàn)在來(lái)分析x圖和R圖同時(shí)使用時(shí)的總檢定能力。在樣本大小n較小時(shí),x一R圖未能檢出過(guò)程偏移的概率等于它們個(gè)別未能檢出過(guò)程偏移的概率的乘積。設(shè)βx為x圖未能檢出偏移的概率,βR為R圖未能檢出偏移的概率βR為x一R圖未能檢出偏移的概率,則有βT=βx·βR例如,當(dāng)n=4時(shí),可以算得x一R圖的命值如表所示。對(duì)于不同的n可能算出不同的βT值。由表x一R圖的β值（n=4）中數(shù)據(jù)可見(jiàn),同時(shí)應(yīng)用x圖和R圖的檢定能力比單獨(dú)使用x圖或R圖的檢定能力大。四、x-s(均值-標(biāo)準(zhǔn)差)控制圖若樣本大小n較大,例如n>10或12,這時(shí)用極差法估計(jì)過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差的效率較低。最好在x—R中用s圖代替R圖。若σ2為一概率分布的未知方差,則樣本方差s1n(xx)2 2n1 i = i1為σ2的無(wú)偏估計(jì)量,但樣本標(biāo)準(zhǔn)差s并非是σ的無(wú)偏估計(jì)量。若樣本取自正態(tài)總體,可以證明σ1c2 cs=σ4,這里4為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù)。 c c現(xiàn)在,我們考慮。已知的情況,由于E(s)=4σ,故s圖中的中心線為4σ,于是s圖的控制線為 c 1c2UCL=4σ+3σ4cCL=4σ（5.4-1） c 1c2LCL=4σ-3σ4定義Bc1c25=4-34（5.4-2）Bc1c26=4+34（5.4-3）則代如上式后，得到已知的圖的控制線為BUCL=6σcCL=4σ（5.4-4）BLCL=5σ式中,系數(shù)B5、B6可自附錄V表A一5查得。c若σ未知,則必須根據(jù)以往的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。從E(s)=4σ,有σ=s/C4,這里1msis=mi1（5.4-5）于是得到。未知情況的s圖的控制線為sc4c24c4c241csc21CL=s（5.4-6）UCL=s-34 4定義1 B c1c23=1-344（5.4-7）1 B c1c24=1+344（5.4-8）由此得到σ未知情況的s圖的控制線為BUCL=4sCL=sBLCL=3s式中,系數(shù)B3、B4可從附錄V查得。在應(yīng)用x-s圖時(shí),相應(yīng)的正圖的控制界限也需要應(yīng)用s/C4來(lái)估計(jì)σ，于是這時(shí)x圖的控制線為3sUCL=x+c4nCL=x3sLCL=x-c4n令3Acn3=4 則x圖的控制線可寫(xiě)成AUCL=x+3sCL=xALCL=x-3s式中，系數(shù)A3可從附錄Ⅴ查得。五、Xmed-R(中位數(shù)-極差)控制圖Xmed-R圖與x-R圖相似,只不過(guò)用Xmed(中位數(shù))圖代替x圖而已。若樣本取自正態(tài)總體,x為樣本中位數(shù),m個(gè)樣本的樣本平均中位數(shù)為1mΧmedix=mi1 m可以證明E(x)=μ。σx=3σ/n。這里,m3為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù)。于是μ=xmed,由此得σ已知情況的x圖的控制線為mUCL=χmed+33σ/nCL=χmedmLCL=χmed-33σ/nm式中,系數(shù)3可從附錄V查得。若σ未知,則需應(yīng)用估計(jì)量R/d2。代人上式后,得σ未知情況的Xmed圖的控制線為mmAUCL=χmed+33Rσ/d2n=χmed+3 2RCL=χmedmmALCL=χmed-33Rσ/d2n=χmed-3 2Rm當(dāng)n=5,從附錄V可查得3=1.198,所以Xmed圖的控制界限間隔要比x圖的約寬20%,從而Xmed圖檢出過(guò)程偏移的能力也要比x圖減低不少。六、x-Rs(單值-移動(dòng)極差)控制圖現(xiàn)在樣本大小為1,所以對(duì)過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)要通過(guò)相鄰兩個(gè)樣本間的移動(dòng)極差Rs來(lái)進(jìn)行。x設(shè)從過(guò)程抽取的樣本為i,i=1,2,...,n,則移動(dòng)極差定義為xxRsi=|i一t1|,i=1,2,...,n-1而平均移動(dòng)極差為R1n1Rsi=n1i1 siπ 2 4πσ2σR若樣本取自正在總體,可以證明E(Rs)=πσ,Rs=π,于是σ=2s。對(duì)于σ已知的情況,x圖的控制線為UCL=x+3σCL=xUCL=x-3σ而Rs圖的控制線為 2 42σUCL=πσ+3 π=3.69σ2CL=πσ 2 42σLCL=πσ-3 π=0式中LCL為負(fù)值,但Rs不可能為負(fù),故取LCL=0作為Rs的自然下界。對(duì)于σ未知的情況,x圖的控制線為 πR Rπ UCL=x+32 s=x+2.66sCL=x πR RπLCL=x=25i1 =25=67.036-32 sx=25i1 =25=67.036而Rs圖的控制線為 4 π 2σ R RUCL=x+3 π(2)s=3.27sRCL=s 4 π 2σ R RLCL=x-3 π(2)s=-3.27s式中LCL為負(fù)值,但Rs不可能為負(fù),故取LCL=0作為Rs的自然下界。例在煉鋼過(guò)程中,對(duì)于某種化學(xué)成分需要進(jìn)行控制。在生產(chǎn)穩(wěn)定時(shí)已測(cè)得25組數(shù)據(jù),如表所示。由于該化學(xué)成分的化驗(yàn)需要很長(zhǎng)的時(shí)間,試制定x一Rs控制圖對(duì)其加以控制。解按下列步驟進(jìn)行:步驟1:預(yù)備數(shù)據(jù)的取得。已給定樣本大小為1的數(shù)據(jù)25組,如表3.5.6-1所示。步驟2:計(jì)算均值x。從表3.5.6-1中第(2)欄數(shù)據(jù)得到125Χi1675.91這就是x圖的中心線。步驟3:計(jì)算移動(dòng)極差Rs。根據(jù)式(3.5.6-1),算得Rs1=|67.00一67.05|=0.05其余見(jiàn)表中第(3)欄。步驟4：計(jì)算平均移動(dòng)極查Rs。根據(jù)表3.5.6-1中第(3)欄數(shù)據(jù)得到124Rsi2.92Rs=24i1 =24=0.12步驟5:計(jì)算x-Rs圖的控制線。先考慮Rs圖,由于總體的σ未知,將上述Rs=0.123代人式(3.5.6-6)后,得到Rs圖的控制線為UCL=3.27Rs=3.27×0.123=0.402≈0.40CL=Rs=0.123≈0.12LCL=0LCL=0如圖所示。將24個(gè)Rs值描點(diǎn)在此圖中,然后根據(jù)判穩(wěn)準(zhǔn)則(1)判斷過(guò)程的變異度處于控制狀態(tài)?，F(xiàn)在開(kāi)始計(jì)算x圖的控制線,將x=67.036與Rs=0.123代入式(3.5.6-5)后,得到IUCL=Rs+2.66Rs=67.036+2.66×0.123=67363≈67.36CL=x=67.036≈67.04LCL=x-2.66Rs=67.036-2.66×0.123=66.7092≈66.71如圖所示。將25個(gè)x值描點(diǎn)在此圖中,然后根據(jù)判穩(wěn)準(zhǔn)則(1)判斷過(guò)程的均值也處控制狀態(tài)。于是,在技術(shù)問(wèn)滿(mǎn)足后,可以延長(zhǎng)x一Rs圖的控制線作為控制用控制圖進(jìn)行日常管理。再說(shuō)明一下x控制圖的控制界限與規(guī)格之間的關(guān)系。這里,與x控制圖情況不同,如果x圖的控制界限在規(guī)格界限之內(nèi),產(chǎn)品質(zhì)量就保證滿(mǎn)足規(guī)格的要求。否則如果控制界限在規(guī)格界限之外,產(chǎn)品質(zhì)量就不能保證滿(mǎn)足規(guī)格的要求,這時(shí)應(yīng)改進(jìn)工藝或放寬規(guī)格要求。七、p{不合格晶率)控制圖p圖的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)為二項(xiàng)分布。當(dāng)控制圖的控制對(duì)象為不合格品率時(shí),過(guò)程處于穩(wěn)定狀態(tài)是指任何單位產(chǎn)品不合格品的概率為一常數(shù)P且所生產(chǎn)的各個(gè)單位產(chǎn)品都是獨(dú)立的。這時(shí),所生產(chǎn)的每一單位產(chǎn)品都是具有參數(shù)P的二項(xiàng)隨機(jī)變量的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。設(shè)我們?nèi)∫粋€(gè)包含n個(gè)單位產(chǎn)品的隨機(jī)樣本,其中不合格單位產(chǎn)品數(shù)為D,則D服從參數(shù)為n和P的二項(xiàng)分布即CxPx(1P)nxP{D=x}=n ,x=0,1,...,n從2.3.5節(jié)知道隨機(jī)變量p的均值和方差分別為nP與nP（1-P）。樣本不合格品率p定義為樣本不合格品數(shù)D與樣本大小n的比值,即p=D/n從2.3.5節(jié)知道隨機(jī)變量p的均值和方差分別為μp=Pσ2p=P(1-P)/n這里,與正態(tài)分布情況不同μp的與是不獨(dú)立的,故只需一張控制圖即p圖對(duì)過(guò)程進(jìn)行控制。若過(guò)程不合格品率P已知,則從式(3.3.2-1)可知p圖的控制線為P(1P)/nUCL=P+3CL=PP(1P)/nLCL=P-3若不合格品率P未知,這時(shí)須根據(jù)以往的數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。通常至少取25個(gè)預(yù)備樣本。設(shè)每個(gè)樣本的樣本大小為ni,第i個(gè)樣本中的不合格品數(shù)為Di,則其樣本不合格品率為pi=Di/ni(i=1,2,...,m)式中,m為樣本個(gè)數(shù),而樣本平均不合格品率為mm Di nip=i1 /i1 p可作為不合格頻率P的估計(jì)量。于是P未知的情況的p圖的控制為 p p(1p)/niUCL=+3 pCL=LCL=LCL=p-3nipp/)1(例某半導(dǎo)體器件廠2月份某種產(chǎn)品的數(shù)據(jù)如表3.5.7-1中的第(2)、(3)欄所示。作p控制圖對(duì)其進(jìn)行控制。解我們按下列步驟進(jìn)行:步驟1:預(yù)備數(shù)據(jù)的取得。已給定數(shù)據(jù)如上表所示。步驟2:計(jì)算樣本不合格品率。表3.5.7-1中第(2)、(3)欄數(shù)據(jù),算得第一個(gè)樣本的不合格品率為p1=2/85=0.024其余類(lèi)推。p步驟3:計(jì)算。從表3.5.7-1末行可得2828 Di nip=i1 /i1 p步驟4:計(jì)算p圖的控制線。將=0.0389代入式(3.5.7一8)得到p圖的控制線為0.0389(10.0389)/niUCL=0.0389+3CL=0.0389LCL=p-30.0389(10.0389)/ni由于本例各個(gè)樣本的樣本大小n不相等,所以必須對(duì)各個(gè)樣本分別求出其控制界限。如對(duì)于第一個(gè)樣本,在式(3.5.7一9)中代入n1=85后,得到UCL=0.0389+0.58/85=0.102CL=0.0389LCL=0.0389一0.58/85=一0.024這里,LCL取負(fù)值,由于p不可能為負(fù),故令LCL=0作為p1的自然下界。其余各個(gè)樣本以此類(lèi)推,參見(jiàn)圖3.5.7一1。為了判斷過(guò)程是否處于穩(wěn)定狀態(tài),將各個(gè)樣本的不合格品率描點(diǎn)在圖3.5.7一1中。由于第27個(gè)樣本的點(diǎn)子出界,所以過(guò)程失控,需要執(zhí)行第二章（五）的20個(gè)字,找出異常因素并采取措施保證它不再出現(xiàn)。然后重復(fù)步驟1～4,直到過(guò)程穩(wěn)定為止,這時(shí)p圖可作為控制用控制圖供日常管理使用。現(xiàn)在,對(duì)p圖進(jìn)行一些討論:1．本大小n的確定。若過(guò)程不合格品率P很小,則必須選擇樣本大小n充分大才能使得樣本中至少包含1個(gè)不合格品的概率很大。否則,若P很小而n又不大,p圖的控制界限將使得樣本中只要出現(xiàn)1個(gè)不合格品就會(huì)點(diǎn)子出界從而顯示過(guò)程失控。如設(shè)P=0.01,n=8,則上控制界為UCL=P+3P(1P)/n=0.01+(0.01)(0.09)/8=0.1155如果現(xiàn)在樣本中有一個(gè)不合格品,則樣本不合格品率p=1/8=0.1250,它在p圖中的描點(diǎn)出界。事實(shí)上,由于P>0,總會(huì)出現(xiàn)一些不合格品,所以只憑出現(xiàn)一個(gè)不合格品就判斷過(guò)程失控是不合理的。為了避免這種情況,可以選擇充分大的n使得樣本中至少包含1個(gè)不合格品的概率不小于某個(gè)數(shù)值r。通常,取nP在1到5的范圍內(nèi),即取1/P<n<5/P式中,P為過(guò)程的不合格品率,可由p估計(jì)。1.要求下控制界限為正。在例3.5.7一1中,我們已經(jīng)看到第一個(gè)樣本的LCL為負(fù)。要求LCL為正,則應(yīng)有LCL=P-KP(1P)/n＞0即要求1Pn＞PK2設(shè)P=0.01,K=3,若要求LCL為正,則10.01n＞0.0132p圖上點(diǎn)子超出下控制界限。在戶(hù)圖上點(diǎn)子超出LCL,表明過(guò)程不合格品率異常低,這是好現(xiàn)象,應(yīng)認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。但這時(shí)必須注意是否有下列可能:(1)由于質(zhì)量檢驗(yàn)人員缺乏經(jīng)驗(yàn)而漏檢;(2)檢驗(yàn)儀表有問(wèn)題;(3)數(shù)據(jù)不真實(shí)。各組樣本的樣本大小不等時(shí)的p圖。這時(shí)控制界限成凹凸?fàn)?如圖3.5.7一1所示,作圖很不方便。令元為各組樣本大小的平均值,若n的變化在元±元/2范圍內(nèi),則可用下列近似方法計(jì)算p圖的控制線:UCL=p-3p(1p)/npCL=LCL=p+3p(1p)/n1mni式中,n=mi1。注意,應(yīng)用此法,當(dāng)點(diǎn)子十分接近控制界限時(shí)仍需要按式(357一8)重新計(jì)算精確的控制界限,以判斷點(diǎn)子是否出界。本教材第六章提出的通用控制圖解決了這一問(wèn)題。應(yīng)用p(通T用不合格品率)控制圖代替戶(hù)圖,作圖既方便,同時(shí)判斷又精確。當(dāng)樣本大小n不等時(shí),控制界限成凹凸?fàn)睢＿@時(shí)應(yīng)用3.4.4節(jié)判斷異常的準(zhǔn)則中的界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī)的各種模式進(jìn)行判斷要特別小心,因?yàn)檫@時(shí)樣本不合格品率的描點(diǎn)距離中心線的相對(duì)位置與樣本大小n有關(guān)。設(shè)過(guò)程的P=0.20,現(xiàn)有連續(xù)兩個(gè)樣本,一個(gè)樣本的pi=0.24,ni=250，另一樣本的如pi+1=0.28,ni+1=50。表面上看來(lái),pi=0.24的描點(diǎn)距離中心線要比pi+1=0.28的描點(diǎn)更近。實(shí)際上，如果以標(biāo)準(zhǔn)差為單位進(jìn)行度量,則第i個(gè)樣本距離中心線的標(biāo)準(zhǔn)化的距離為piP 0.240.20 P(1P)/n 0.20(0.80)/250di= = =1.58而第i+1個(gè)樣本距離中心線的標(biāo)準(zhǔn)化的距離為 p(i1)P 0.280.20 P(1P)/n 0.20(0.80)/50di= = =1.41即實(shí)際上第i+1個(gè)描點(diǎn)比第i個(gè)描點(diǎn)距離中心線更近。在通用圖上,所有點(diǎn)子都是經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換的,所以在圖上識(shí)別各種界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī)的模式要比p圖方便、精確。八、pn(不合格晶數(shù))控制圖若過(guò)程處于穩(wěn)定狀態(tài),過(guò)程的不合格品率為P,則在包含n個(gè)樣品的一個(gè)隨機(jī)樣本中出現(xiàn)的不合格品數(shù)D服從二項(xiàng)分布。從2.3.5節(jié)知,隨機(jī)變量D的均值為nP,而方差為nP(1一P)。于是根據(jù)式(3.3.2一1),若考慮3σ控制界限,則已知n、P情況的pn圖的控制線為UCL=nP+3nP(1P)CL=nPLCL=nP-3nP(1P)若過(guò)程的不合格品率P未知,需用p進(jìn)行估計(jì),則將p代入式(3.5.8一1)后得如圖的控制線為UCL=np-3np(1p)CL=p p np(1p)LCL=n+3可見(jiàn)，在UCL、CL、LCL中都包含參數(shù)n。若各樣本的n不等,則UCL、CL、LCL三者都呈凹凸?fàn)?作圖極其不便。因此,一般pn圖只用于各樣本的n相等的情況,若n不等,則需用pnT(通用不合格品數(shù))圖(參見(jiàn)3.6節(jié))。無(wú)論n相等或n不等,pnT圖均可應(yīng)用,十分方便。九、c(缺陷數(shù))控制圖一定檢查單位的產(chǎn)品的缺陷數(shù)通常服從泊松分布,即eλλτp（x）=x!(x=0,1,2,.,)式中，x為缺陷數(shù)，平均缺陷數(shù)λ（λ＞