選修定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用

一、選擇題1．如圖所示，陰影部分的面積為()

\i\in(a,b,)f(x)dx \i\in(a,b,)g(x)dx\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx \i\in(a,b,)[g(x)－f(x)]dx[答案]C[解析]由題圖易知，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f(x)>g(x)，所以陰影部分的面積為eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx.2．如圖所示，陰影部分的面積是()

A．2eq\r(3) B．2－eq\r(3)\f(32,3) \f(35,3)[答案]C[解析]S＝eq\i\in(,1,)－3(3－x2－2x)dx即F(x)＝3x－eq\f(1,3)x3－x2，則F(1)＝3－1－eq\f(1,3)＝eq\f(5,3)，F(xiàn)(－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S＝F(1)－F(－3)＝eq\f(5,3)＋9＝eq\f(32,3).故應(yīng)選C.3．由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是()\i\in(0,2,)(x2－1)dxB．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|\i\in(0,2,)|x2－1|dx\i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx[答案]C[解析]y＝|x2－1|將x軸下方陰影反折到x軸上方，其定積分為正，故應(yīng)選C.4．設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，則曲線f(x)與直線x＝a，x＝b，y＝0圍成圖形的面積為()\i\in(a,b,)f(x)dx B．|eq\i\in(a,b,)f(x)dx|\i\in(a,b,)|f(x)|dx D．以上都不對(duì)[答案]C[解析]當(dāng)f(x)在[a，b]上滿足f(x)<0時(shí)，eq\i\in(a,b,)f(x)dx<0，排除A；當(dāng)陰影有在x軸上方也有在x軸下方時(shí)，eq\i\in(a,b,)f(x)dx是兩面積之差，排除B；無(wú)論什么情況C對(duì)，故應(yīng)選C.5．曲線y＝1－eq\f(16,81)x2與x軸所圍圖形的面積是()A．4 B．3C．2 \f(5,2)[答案]B[解析]曲線與x軸的交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，0))

故應(yīng)選B.6．一物體以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直線運(yùn)動(dòng)，則它在t＝0s到t＝3s時(shí)間段內(nèi)的位移是()A．31m B．36mC．38m D．40m[答案]B[解析]S＝eq\i\in(0,3,)(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(3,0)))＝33＋32＝36(m)，故應(yīng)選B.7．(2010·山東理，7)由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為()\f(1,12) \f(1,4)\f(1,3) \f(7,12)[答案]A[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y＝x3))得交點(diǎn)為(0,0)，(1,1)．∴S＝eq\i\in(0,1,)(x2－x3)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,4)x4))))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,12).8．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1運(yùn)動(dòng)到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所做的功為()A．8J B．10JC．12J D．14J[答案]D[解析]由變力做功公式有：W＝eq\i\in(1,3,)(4x－1)dx＝(2x2－x)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(3,1)))＝14(J)，故應(yīng)選D.9．若某產(chǎn)品一天內(nèi)的產(chǎn)量(單位：百件)是時(shí)間t的函數(shù)，若已知產(chǎn)量的變化率為a＝eq\f(3,\r(6t))，那么從3小時(shí)到6小時(shí)期間內(nèi)的產(chǎn)量為()\f(1,2) B．3－eq\f(3,2)eq\r(2)C．6＋3eq\r(2) D．6－3eq\r(2)[答案]D[解析]eq\i\in(3,6,)eq\f(3,\r(6t))dt＝eq\f(6,\r(6))eq\r(t)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(6,3)))＝6－3eq\r(2)，故應(yīng)選D.10．過(guò)原點(diǎn)的直線l與拋物線y＝x2－2ax(a>0)所圍成的圖形面積為eq\f(9,2)a3，則直線l的方程為()A．y＝±ax B．y＝axC．y＝－ax D．y＝－5ax[答案]B[解析]設(shè)直線l的方程為y＝kx，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,y＝x2－2ax))得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)圖形面積S＝∫eq\o\al(2a＋k,0)[kx－(x2－2ax)]dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋2a,2)x2－\f(x3,3)))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2a＋k,0)))＝eq\f((k＋2a)3,2)－eq\f((2a＋k)3,3)＝eq\f((2a＋k)3,6)＝eq\f(9,2)a3∴k＝a，∴l(xiāng)的方程為y＝ax，故應(yīng)選B.二、填空題11．由曲線y2＝2x，y＝x－4所圍圖形的面積是________．[答案]18[解析]如圖，為了確定圖形的范圍，先求出這兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x,y＝x－4))得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－2)，(8,4)．因此所求圖形的面積S＝eq\i\in(,4,)－2(y＋4－eq\f(y2,2))dy

取F(y)＝eq\f(1,2)y2＋4y－eq\f(y3,6)，則F′(y)＝y(tǒng)＋4－eq\f(y2,2)，從而S＝F(4)－F(－2)＝18.12．一物體沿直線以v＝eq\r(1＋t)m/s的速度運(yùn)動(dòng)，該物體運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后10s內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程是________．

13．由兩條曲線y＝x2，y＝eq\f(1,4)x2與直線y＝1圍成平面區(qū)域的面積是________．[答案]eq\f(4,3)[解析]如圖，y＝1與y＝x2交點(diǎn)A(1,1)，y＝1與y＝eq\f(x2,4)交點(diǎn)B(2,1)，由對(duì)稱性可知面積S＝2(eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)dx－eq\i\in(0,2,)eq\f(1,4)x2dx)＝eq\f(4,3).

14．一變速運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)速度v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t(0≤t≤1),at(1≤t≤2),\f(b,t)(2≤t≤e)))則該物體在0≤t≤e時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為(速度單位：m/s，時(shí)間單位：s)______________________．[答案]9－8ln2＋eq\f(2,ln2)[解析]∵0≤t≤1時(shí)，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；又1≤t≤2時(shí)，v(t)＝at，∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；又2≤t≤e時(shí)，v(t)＝eq\f(b,t)，∴v(2)＝eq\f(b,2)＝4，∴b＝8.∴路程為S＝eq\i\in(0,1,)2tdt＋eq\i\in(1,2,)2tdt＋eq\i\in(2,e,)eq\f(8,t)dt＝9－8ln2＋eq\f(2,ln2).三、解答題15．計(jì)算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積．[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3,y＝x2－2x＋3))解得x＝0及x＝3.

從而所求圖形的面積S＝eq\i\in(0,3,)(x＋3)dx－eq\i\in(0,3,)(x2－2x＋3)dx＝eq\i\in(0,3,)[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝eq\i\in(0,3,)(－x2＋3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(3,2)x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(3,0)))＝eq\f(9,2).16．設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表達(dá)式；(2)若直線x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值．[解析](1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b，又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根．∴判別式Δ＝4－4c＝0，即c故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依題意有eq\i\in(－1,－t,)(x2＋2x＋1)dx＝eq\i\in(,0,)－t(x2＋2x＋1)dx，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2＋x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(－t,－1)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2＋x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(0,－t)))即－eq\f(1,3)t3＋t2－t＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)t3－t2＋t.∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－eq\f(1,\r(3,2)).17．A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站開(kāi)往B站，電車開(kāi)出ts后到達(dá)途中C點(diǎn)，這一段速度為(m/s)，到C點(diǎn)的速度達(dá)24m/s，從C點(diǎn)到B站前的D點(diǎn)以等速行駛，從D點(diǎn)開(kāi)始剎車，經(jīng)ts后，速度為(24－m/s，在B點(diǎn)恰好停車，試求：(1)A、C間的距離；(2)B、D間的距離；(3)電車從A站到B站所需的時(shí)間．[解析](1)設(shè)A到C經(jīng)過(guò)t1s，由＝24得t1＝20(s)，所以AC＝∫eq\o\al(20,0)＝\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(20,0)))＝240(m)．(2)設(shè)從D→B經(jīng)過(guò)t2s，由24－＝0得t2＝20(s)，所以DB＝∫eq\o\al(20,0)(24－dt＝240(m)．(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．從C到D的時(shí)間為t3＝eq\f(6720,24)＝280(s)．于是所求時(shí)間為20＋280＋20＝320(s)．18．在曲線y＝x2(x≥0)上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為eq\f(1,12)，試求：(1)切點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)過(guò)切點(diǎn)A的切線方程．[解析]如圖所示，設(shè)切點(diǎn)A(x0，y0)，由y′＝2x，過(guò)A點(diǎn)的切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－xeq\o\al(2,0).令y＝0得x＝eq\f(x0,2)，即Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)，0)).設(shè)由曲線和過(guò)A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為S，S＝S曲邊△AOB－S△ABC.S曲邊△AOB＝∫x00x2dx