PAGEPAGE5變化率問題導數(shù)的概念(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x2－1在區(qū)間[1，m]上的平均變化率為3，則實數(shù)m的值為()A．3 B．2C．1 D．4B[由已知得：eq\f(m2－1－12－1,m－1)＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.]2．一質點運動的方程為s＝5－3t2，若該質點在時間段[1,1＋Δt]內相應的平均速度為－3Δt－6，則該質點在t＝1時的瞬時速度是()A．－3 B．3C．6 D．－6D[由平均速度和瞬時速度的關系可知，v＝s′(1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(－3Δt－6)＝－6.]3．若f(x)在x＝x0處存在導數(shù)，則eq\o(lim,\s\do8(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)()A．與x0，h都有關B．僅與x0有關，而與h無關C．僅與h有關，而與x0無關D．以上答案都不對B[由導數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝x0處的導數(shù)只與x0有關．]4．設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝bC[∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(aΔx＋bΔx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.]5．若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導，則eq\o(lim,\s\do8(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),h)等于()A．f′(x0) B．2f′(x0)C．－2f′(x0) D．0B[法一：eq\o(lim,\s\do8(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),h)＝eq\o(lim,\s\do8(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0＋fx0－fx0－h(huán),h)＝eq\o(lim,\s\do8(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)＋eq\o(lim,\s\do8(h→0))eq\f(fx0－fx0－h(huán),h)＝f′(x0)＋eq\o(lim,\s\do8(h→0))eq\f(f[x0＋－h(huán)]－fx0,－h(huán))＝f′(x0)＋f′(x0)＝2f′(x0)．法二：eq\o(lim,\s\do8(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),h)＝eq\o(lim,\s\do8(h→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\f(fx0＋h－fx0－h(huán),2h)))＝2eq\o(lim,\s\do8(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),2h)＝2f′(x0)．]二、填空題6．已知函數(shù)y＝eq\f(2,x)＋3，當x由2變到1.5時，函數(shù)的增量Δy＝________.eq\f(1,3)[Δy＝f(1.5)－f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1.5)＋3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)＋3))＝eq\f(4,3)－1＝eq\f(1,3).]7.汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示．在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，其三者的大小關系是________．eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1[∵eq\x\to(v)1＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kMA，eq\x\to(v)2＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v)3＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由圖象可知：kMA<kAB<kBC，∴eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1.]8．一物體位移s和時間t的關系是s＝2t－3t2，則物體的初速度是__________．2[物體的速度為v＝s′(t)，∴s′(t)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(st＋Δt－st,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(2t＋Δt－3t＋Δt2－2t＋3t2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(2Δt－6tΔt－3Δt2,Δt)＝2－6t.即v＝2－6t，所以物體的初速度是v0＝2－6×0＝2.]三、解答題9．若函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．[解]∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(aΔx2＋2aΔx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.10．一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關系是s＝3t－t2(位移：m；時間：s)．(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t＝2時的瞬時速度；(3)求t＝0到t＝2時平均速度．[解](1)初速度v0＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(sΔt－s0,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(3－Δt)＝3(m/s)．即物體的初速度為3m/s.(2)v＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(32＋Δt－2＋Δt2－3×2－4,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(－Δt2－Δt,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(－Δt－1)＝－1(m/s)．即此物體在t＝2時的瞬時速度為1m/s，方向與初速度相反．(3)eq\x\to(v)＝eq\f(s2－s0,2－0)＝eq\f(6－4－0,2)＝1(m/s)．即t＝0到t＝2時的平均速度為1m/s.1．A，B兩機關開展節(jié)能活動，活動開始后兩機關的用電量W1(t)，W2(t)與時間t(天)的關系如圖所示，則一定有()A．兩機關節(jié)能效果一樣好B．A機關比B機關節(jié)能效果好C．A機關的用電量在[0，t0]上的平均變化率比B機關的用電量在[0，t0]上的平均變化率大D．A機關與B機關自節(jié)能以來用電量總是一樣大B[由圖可知，A，B兩機關用電量在[0，t0]上的平均變化率都小于0，由平均變化率的幾何意義知，A機關用電量在[0，t0]上的平均變化率小于B機關的平均變化率，從而A機關比B機關節(jié)能效果好．]2．設函數(shù)f(x)可導，則eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,3Δx)等于()A．f′(1) B．3f′(1)C．eq\f(1,3)f′(1) D．f′(3)C[eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝eq\f(1,3)eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1,3)f′(1)．]3．如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]這幾個區(qū)間內，平均變化率最大的一個區(qū)間是________．[x3，x4][由平均變化率的定義可知，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均變化率分別為：eq\f(fx2－fx1,x2－x1)，eq\f(fx3－fx2,x3－x2)，eq\f(fx4－fx3,x4－x3)，結合圖象可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y＝f(x)的平均變化率最大的一個區(qū)間是[x3，x4]．]4．過曲線y＝f(x)＝x2＋1上兩點P(1,2)和Q(1＋Δx，2＋Δy)作曲線的割線，當Δx＝0.1時，割線的斜率k＝________，當Δx＝0.001時，割線的斜率k＝________.2.12.001[∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx，∴割線斜率為2＋Δx，當Δx＝0.1時，割線PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.當Δx＝0.001時，割線PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.]5．若一物體運動方程如下：(位移：m，時間：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2t≥3，①,29＋3t－320≤t＜3，②))求：(1)物體在t∈[3,5]內的平均速度．(2)物體的初速度v0.(3)物體在t＝1時的瞬時速度．[解](1)因為物體在t∈[3,5]內的時間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內的位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物體在t∈[3,5]上的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時的瞬時速度．因為物體在t＝0附近的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18.所以物體在t＝0處的瞬時變化率為eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(3Δt－18)＝－18.即物體的初速度為－18m/s.(3)物體在t＝1時的瞬