數(shù)學概括法及其應用考大綱求認識數(shù)學概括法的原理，并能用數(shù)學概括法證明一些簡單問題掌握利用“察看→概括→猜想→證明”探究問題的方法要點、難點概括概括法由一系列有限的特別案例得出一般結(jié)論的推理方法叫做概括法數(shù)學概括法關于某些與自然數(shù)n相關的命題經(jīng)常采納下邊的方法來證明它的正確性：先證明當n取第一個值n0時命題建立；而后假定當n=k(kN，k≥n0)時命題建立，證明當n=k+1時命題也建立。這類證明方法就叫做數(shù)學概括法。學法探秘數(shù)學概括法是證明相關自然數(shù)n的命題的一種方法，應用特別寬泛，它是一種完好概括法。用數(shù)學概括法證明一個命題一定分為兩個步驟：第一步考證n取第一個同意值n0時命題成立；第二步從n=k(k≥n0)時命題建立的假定出發(fā)，推證n=k+1時命題也建立。此中第一步是考證命題的開端正確性，是概括的基礎；第二步則是推證命題正確性的可傳達性，是遞推的依照。兩個步驟各司其職，缺一不行。證明步驟與格式的完好與規(guī)范是數(shù)學概括法的一個鮮明特點。需要注意的是：在第二步證明“當n=k+1時命題建立”的過程中，一定利用“概括假定”，即一定用上“當n=k時命題建立”這一條件。因為“當n=k時命題建立”實為一個已知條件，而“當n=k+1時命題建立”不過一個待證目標?！安炜础爬ā孪搿C明”是一種十分重要的思想方法，運用這類思想方法既能發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又能證明結(jié)論的正確性。這是剖析問題和解決問題能力的一個重要內(nèi)容，也是近幾年高考的一個考察要點。典型例析例1用數(shù)學概括法證明證明：1當n=1時，左側(cè)=1-1=1，右側(cè)=11=1，所以等式建立。22122假定當n=k時，等式建立，11111111即1342k12kk1k2。22k那么，當n=k+1時，這就是說，當n=k+1時等式也建立。綜上所述，等式對任何自然數(shù)n都建立。說明：要證明的等式左側(cè)共2n項，而右側(cè)共n項。f(k)與f(k+1)對比較，左側(cè)增添兩項，右側(cè)增添一項，而且兩者右側(cè)的首項也不同樣，所以在證明中采納了將1與1歸并k12k2的變形方式，這是在剖析了f(k)與f(k+1)的差別和聯(lián)系以后找到的方法。例2(2002年湖南數(shù)學聯(lián)賽試題)已知a1=1，a2=3，an+2=(n+3)an+1-(n+2)an，若當m≥n時，am的值都能被9整除，求n的最小值。解：因為a1＝1，a2＝3，an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)an，所以a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝33，a5＝153，a6＝873，。因為a5與a6都能被9整除，所以由遞推關系式an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)an可知a5后邊的全部項都能被9整除。故n的最小值為5。另解：由an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)an可得an＋2－an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋2)an＝(n＋2)(an＋1－a)＝(n＋2)(n＋1)(a－an－1)＝＝(n＋2)·(n＋1)·n·(n－1)··4·3·2·(a2nna1)＝(n＋2)!。所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋＋(an－an－1)＝1!＋2!＋3!＋＋n!（n≥1）。因為a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝33，a5＝153，而且n≥6時n!能被9整除，所以n的最小值為5。例3求證：1111<2-1(nN，且n≥2)222n2n315631證明：1當n=2時，左側(cè)=1+=<==2-=右側(cè)，不等式建立。444222假定當n=k(kN，且k≥2)時不等式建立，即111112232k2<2-。k1111111那么2232k2+(k1)2<2-+(k1)2。k因為(21)[211]1111>0k1k(k1)2kk1(k1)2k(k1)2所以211<21k(k1)2k11111<2-1故132k2+22(k1)2k1這就是說，當n=k+1時，不等式也是建立的。綜上所述，不等式1111<2-1(nN，且n≥2)建立。2232n2n說明：求解此題的要點在于證明：111，方法有比較法和放縮法。2(k<2k1k1)2例4平面內(nèi)有n個圓，此中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點。證明這n個圓把平面分紅f(n)=n2-n+2個部分。證明：1當n=1時，平面內(nèi)只有一個圓，這個圓將整個平面分紅了內(nèi)外兩部分，即f(2)=2；而當n=1時，n2-n+2=12-1+2=2。這正好說明當n=1時，平面內(nèi)合條件的n個圓將平面分紅了f(n)=n2-n+2個部分。2假定合條件的k個圓將平面分紅f(k)=k2-k+2個部分，那么，當n=k+1時，平面內(nèi)共有合條件的k+1個圓。原有的k個圓已經(jīng)將平面分紅了f(k)=k2-k+2個部分；而第k+1個圓與原有的k個圓交出2k個交點，這2k個交點將第k+1個圓分紅2k段圓弧，此中的每一段圓弧勢必它自己所在的地區(qū)一分為二，所以平面的地區(qū)數(shù)會在f(k)=k2-k+2個部分的基礎上增添2k。也就是說，合條件的k+1個圓分平面為f(k)+2k=k2-k+2+2k=k2+k+2個部分，而f(k+1)=(k+1)2-(k+1)+2=k2+k+2。這說明當n=k+1時命題仍舊建立。綜上所述，合條件的n個圓將平面分紅f(n)=n2-n+2個部分。加強訓練(略)創(chuàng)新園地1樓梯共n級，每步只好跨上1級或2級，走完該n級樓梯共有f(n)種不同的走法，則f(n)，f(n-1)，f(n