第四章光的衍射萬助軍

華中科技大學光學與電子信息學院2023/2/252本章內容和組織結構4.1衍射基本理論惠更斯原理，惠更斯-菲涅爾原理及其數學表述，基爾霍夫衍射積分公式及其近似處理。4.2菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射傍軸近似、菲涅爾近似和夫瑯禾費近似條件，夫瑯禾費衍射裝置，夫瑯禾費衍射公式的意義。4.3矩孔、單縫和圓孔的夫瑯禾費衍射矩孔、單縫和圓孔的夫瑯禾費衍射公式，衍射圖樣分析，明暗紋條件等。4.4光學成像系統的衍射和分辨本領成像系統的衍射現象，瑞利判據，基于圓孔衍射理論分析望遠鏡、照相物鏡和顯微鏡的分辨本領，以及棱鏡光譜儀的色分辨本領。2023/2/253本章內容和組織結構4.5雙縫夫瑯禾費衍射與楊氏雙縫干涉分析楊氏雙孔干涉、楊氏雙縫干涉、雙縫衍射，借此闡明干涉與衍射的區(qū)別，瑞利干涉儀的工作原理。4.6多縫夫瑯禾費衍射多縫夫瑯禾費衍射公式及衍射圖樣分析。4.7衍射光柵平面光柵的光柵方程，光柵的色散本領、色分辨本領、自由光譜范圍，閃耀光柵的設計思想、工作原理及衍射效率。4.8圓孔和圓屏的菲涅爾衍射菲涅爾波帶分析方法，圓孔和圓屏的菲涅爾衍射現象，菲涅爾透鏡及其特性，現代菲涅爾透鏡的特點及其應用。2023/2/254泊松亮斑評判委員會中的泊松是粒子論的支持者，他指出根據菲涅耳的理論，應當能看到一種奇怪的現象：如果在光束的傳播路徑上放置一塊不透明圓板，由于光在圓板邊緣的衍射，在離圓板一定距離的地方，圓板陰影的中央應當出現一個亮斑，這簡直是不可思議的，所以泊松宣稱他已駁倒了波動理論。菲涅耳和阿拉果接受這個挑戰(zhàn)，用實驗檢驗了這個理論預言，證實影子中心的確出現了一個亮斑。不久，菲涅耳又用復雜的理論計算表明，當這個圓片的半徑很小時，這個亮點才比較明顯，并進行了實驗驗證。菲涅耳榮獲了這一屆科學獎，而后人卻戲劇性地稱這個亮點為泊松亮斑。菲涅耳開創(chuàng)了光學的新階段，他發(fā)展了惠更斯和托馬斯·楊的波動理論，成為“物理光學的締造者”。1818年，法國科學院提出了征文競賽題目：利用精確的實驗確定光線的衍射效應；并根據實驗用數學歸納法推求出光通過物體附近時的運動情況。菲涅耳向科學院提交了應征論文，他基于光的波動觀點，用半波帶法定量地計算了圓孔、圓板等形狀的障礙物產生的衍射花紋。2023/2/255衍射問題概述光的衍射是指光波在傳播過程中遇到障礙物時，所發(fā)生的偏離直線傳播的現象。光的衍射，也可以叫光的繞射，即光可繞過障礙物，傳播到障礙物的幾何陰影區(qū)域中，并在障礙物后的觀察屏上呈現出光強的不均勻分布。通常將觀察屏上的不均勻光強分布稱為衍射圖樣。以光源照射小孔，當孔徑較大時，光遵守直線傳播定律，在屏上觀察到一個均勻的圓光斑；當孔徑縮小到一定尺寸，光不再遵守直線傳播定律，繞射到小孔后面的陰影區(qū)域，在屏上觀察到非均勻的圓環(huán)狀光強分布。2023/2/256第四章光的衍射4.1衍射基本理論4.2菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射4.3矩孔、單縫和圓孔的夫瑯禾費衍射4.4光學成像系統的衍射和分辨本領4.5雙縫夫瑯禾費衍射與楊氏雙縫干涉4.6多縫夫瑯禾費衍射4.7衍射光柵4.8圓孔和圓屏的菲涅爾衍射2023/2/257惠更斯原理惠更斯原理：波前上的每一個面元都可以看作是一個次級擾動中心，它們能產生球面子波，并且后一時刻的波前的位置是所有這些子波前的包絡面?；莞乖砜梢院芎玫慕忉尮獾闹本€傳播、反射和折射方向，也能說明衍射現象的存在，但是不能確定光波通過圓孔后的傳播方向和振幅大小，因而無法確定衍射圖樣的分布。2023/2/258惠更斯-菲涅爾原理考慮惠更斯子波來自同一光源，具有相干性，因此波前外任一點的光振動，應該是波前上所有子波相干疊加的結果。用“子波相干疊加”思想補充的惠更斯原理，稱作惠更斯-菲涅爾原理。2023/2/259惠更斯-菲涅爾原理的數學表述

2023/2/2510惠更斯-菲涅爾原理的數學表述

2023/2/2511惠更斯-菲涅爾原理的數學表述

根據惠更斯-菲涅爾原理，上述積分面可以選取波面，也可以選取S和P之間的任意曲面或平面。得到惠更斯-菲涅爾原理的推廣：2023/2/2512基爾霍夫衍射積分公式

2023/2/2513基爾霍夫衍射積分公式通過嚴格數學證明得到的亥姆霍茲-基爾霍夫積分定理，應用于球面波照射孔徑Σ的情況，根據實際情況稍作近似處理，得到菲涅爾-基爾霍夫衍射公式：對照惠更斯-菲涅爾原理的數學表述，二者形式一致，差別僅在于傾斜因子K的取值。2023/2/2514傾斜因子如果點光源離衍射孔足夠遠，則入射光可視為垂直入射的平面波。對于上各點都有cosα1=1、cosα2

=cos，因此：當=0時，K()=1，表示在波面法線方向上子波的振幅最大；當=時，K()=0，這一結論證明菲涅耳關于=/2時K()=0的結論是不正確的。2023/2/2515巴俾涅原理由基爾霍夫衍射理論，可以得到關于互補屏衍射圖樣的巴俾涅原理，即兩個互補屏的衍射圖樣是互補的，前者衍射圖樣中的亮區(qū)/暗區(qū)分別對應后者的暗區(qū)/亮區(qū)。2023/2/2516第四章光的衍射4.1衍射基本理論4.2菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射4.3矩孔、單縫和圓孔的夫瑯禾費衍射4.4光學成像系統的衍射和分辨本領4.5雙縫夫瑯禾費衍射與楊氏雙縫干涉4.6多縫夫瑯禾費衍射4.7衍射光柵4.8圓孔和圓屏的菲涅爾衍射2023/2/2517菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射在距離較近的A區(qū)，可觀察到邊緣清晰、形狀和大小與圓孔基本相同的圓形光斑，可視為光直線傳播產生的圓孔投影，衍射現象不明顯。在距離稍遠的B區(qū)，光斑略為變大，邊緣逐漸模糊，并且光斑內出現亮暗相間的圓形條紋，呈現明顯的衍射現象；在B區(qū)內繼續(xù)后移觀察屏，光斑不斷擴大，光斑內圓形條紋數減少，光斑中心有亮暗交替變化；這說明在B區(qū)內的衍射圖樣的范圍和形式都發(fā)生變化，屬于菲涅爾衍射。在距離很遠的C區(qū)，觀察屏移動時，衍射圖樣只有大小變化而分布形式不變，屬于夫瑯禾費衍射。以平行光垂直照射圓孔，考察孔后不同距離處的衍射現象，可分為A、B、C三個區(qū)域：2023/2/2518基爾霍夫衍射—傍軸近似在常見衍射裝置中，衍射孔線度比光源和觀察屏到衍射屏的距離小得多，因此在衍射孔范圍內變化很小，可取近似處理K()=1?？疾?/r項，在衍射孔范圍內，r的變化也不大，且r變化只影響各子波在P點的振幅，所以可取1/r≈1/z1?；谝陨蟽蓚€近似，得到基爾霍夫衍射公式的傍軸近似：2023/2/2519菲涅爾近似

考察衍射孔Σ內Q點至觀察屏上P點的距離r：2023/2/2520菲涅爾近似當z1大到使第三項以后各項對位相k·r的作用遠小于π時，第三項以后各項即可忽略?？芍蝗∏皟身棻硎緍：——菲涅耳近似此條件看到的衍射現象為菲涅耳衍射，此時觀察屏所處的區(qū)域為菲涅耳衍射區(qū)：

2023/2/2521夫瑯禾費近似

若：則：——夫瑯禾費近似2023/2/2522菲涅爾近似和夫瑯禾費近似考慮衍射圓孔直徑為2cm，以波長為600nm的平行光照明。菲涅爾近似：

夫瑯禾費近似：2023/2/2523夫瑯禾費衍射裝置

2023/2/2524夫瑯禾費衍射公式的意義基于夫瑯禾費衍射裝置：

菲涅爾近似，代表C點子波源發(fā)出的子波到達P點的光程。

2023/2/2525夫瑯禾費衍射公式的意義

方向余弦l,w：上式表示了孔徑Σ內各點發(fā)出的子波在方向余弦l和w方向上的疊加，由于透鏡的作用，l和w代表的方向子波聚焦在焦平面上的P點。2023/2/2526第四章光的衍射4.1衍射基本理論4.2菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射4.3矩孔、單縫和圓孔的夫瑯禾費衍射4.4光學成像系統的衍射和分辨本領4.5雙縫夫瑯禾費衍射與楊氏雙縫干涉4.6多縫夫瑯禾費衍射4.7衍射光柵4.8圓孔和圓屏的菲涅爾衍射2023/2/2527矩孔的夫瑯禾費衍射矩孔衍射的圖樣分布在兩個相互垂直的軸上，可觀察到中心主極大和兩側的一系列次極大?？疾靸蓚€正交軸方向的光斑分布，矩孔越窄的方向，亮斑越寬，二者成相反的關系。2023/2/2528矩孔的夫瑯禾費衍射令：選取夫瑯禾費衍射公式的積分區(qū)間為矩孔范圍，得到：中心P0點的復振幅：任一點P的復振幅：2023/2/2529矩孔的夫瑯禾費衍射任一點P的光強：衍射強度分布取決于兩個因子，一個與坐標x有關，另一個與坐標y有關，即衍射光強在這兩個坐標上分布并有規(guī)律的變化。

2023/2/2530矩孔的夫瑯禾費衍射

x軸光強分布：y軸光強分布有類似規(guī)律，因矩孔寬度不同，極值點位置不同。2023/2/2531矩孔的夫瑯禾費衍射矩孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑處，其邊緣在x,y軸上的位置：中央亮斑面積為：該式說明，中央亮斑面積與矩形孔面積成反比，在相同波長和裝置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大。中央亮斑在x、y方向的寬度，與對應方向的矩孔寬度成反比關系。2023/2/2532單縫的夫瑯禾費衍射當矩孔一個邊長比另一邊長大得多時，產生單縫衍射。若縫的方向沿著y軸方向，則y軸方向上的衍射可忽略，僅在x軸上有衍射圖樣存在，衍射強度分布公式為：其中：單縫衍射花樣中央亮紋的坐標范圍：中央亮紋的寬度是其他次極大亮紋寬度的兩倍。相鄰暗條紋間距為：2023/2/2533單縫的夫瑯禾費衍射—暗紋分析衍射圖樣的暗紋條件是：考察第一個暗紋位置：

2023/2/2534單縫的夫瑯禾費衍射—暗紋分析衍射圖樣的暗紋條件是：

考察第三個暗紋位置：

2023/2/2535單縫的夫瑯禾費衍射—平行光斜入射平行光斜入射單縫，孔徑處的光波復振幅：觀察屏上的光波復振幅：其中：

2023/2/2536單縫的夫瑯禾費衍射—平行光斜入射平行光斜入射單縫，孔徑處的光波復振幅：觀察屏上的光波復振幅：其中：

2023/2/2537圓孔的夫瑯禾費衍射由于圓孔的對稱性，其夫瑯禾費衍射圖樣一組同心圓環(huán)，光強分布僅與衍射角θ或者觀察屏上的半徑r有關，而與方位角ψ無關。2023/2/2538圓孔的夫瑯禾費衍射圓孔夫瑯禾費衍射的討論方法與矩孔衍射的討論方法相同，只是由于圓孔結構的幾何對稱性，采用極坐標處理更加方便。得到面元：方向余弦：2023/2/2539圓孔的夫瑯禾費衍射復振幅分布：光強分布：其中：可知圓孔衍射圖樣為明暗相間的圓環(huán)條紋。

2023/2/2540圓孔的夫瑯禾費衍射

2023/2/2541圓孔的夫瑯禾費衍射與矩孔和單縫衍射一樣，中央主最大亮紋集中了衍射的絕大部分光能量，圓孔衍射中央主最大亮紋通常稱為愛里斑，它的半徑為：此式也表明，圓孔衍射的擴展范圍與圓孔半徑成反比，與光波長成正比。這種關系與矩孔和單縫衍射是類似的。2023/2/2542第四章光的衍射4.1衍射基本理論4.2菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射4.3矩孔、單縫和圓孔的夫瑯禾費衍射4.4光學成像系統的衍射和分辨本領4.5雙縫夫瑯禾費衍射與楊氏雙縫干涉4.6多縫夫瑯禾費衍射4.7衍射光柵4.8圓孔和圓屏的菲涅爾衍射2023/2/2543光學成像系統的衍射和分辨本領光學成像系統的分辨本領，指的是它能分辨開兩個靠近的點物或者是物體細節(jié)的能力。從幾何光學的觀點看，每個像點應該是一個幾何點，因此對于一個無像差的理想光學成像系統，其分辨本領應當是無限的，即兩個點物無論靠得多近，像點總可分辨開。但實際上，光波通過光學成像系統時，總會因光學孔徑的有限性產生衍射，這就限制了光學成像系統的分辨本領。通常，由于光學成像系統具有光闌、透鏡外框等圓形孔徑，所以討論它們的分辨本領時，都是以夫朗和費圓孔衍射為理論基礎。2023/2/2544成像系統的衍射現象星點檢驗：點光源S經透鏡L1準直為平行光，充滿待測物鏡L2的孔徑，在焦面上觀察到的不是一個像點，而是因L2孔徑受限，衍射產生的圓環(huán)狀條紋。物鏡本身存在各種相差，影響衍射條紋的分布，據此可以判斷成像物鏡質量的優(yōu)劣。取D=30mm，f=120mm，λ=546.1nm，得到愛里斑半徑r0=0.0025mm。2023/2/2545在像面觀察的夫瑯禾費衍射前述分析，均基于平行光照射衍射孔徑的情況，而實際的光學系統，往往是以球面波照射衍射孔徑。透鏡L的成像過程，可視為源自物點S的發(fā)散球面波，被變換為以像點S?為中心的匯聚球面波，因孔徑光闌的限制而產生衍射效應，點物所成非點像。光闌—像點間距R與光闌孔徑的比值，不足以滿足夫瑯禾費衍射近似條件，因此以下分析從菲涅爾衍射出發(fā)：2023/2/2546在像面觀察的夫瑯禾費衍射光闌面上的振幅分布：

得到：結論：成像系統對點物所成的像是孔徑光闌的夫瑯禾費衍射圖樣。對照：2023/2/2547成像系統的分辨本領由于圓孔的衍射效應，點物S1和S2將分別在觀察屏上形成各自的衍射圖樣。當S1和S2靠近到一定程度，二者的衍射圖樣發(fā)生交疊，將不能分辨。2023/2/2548瑞利判據瑞利判據：兩個靠近的圓孔衍射圖樣能夠被區(qū)分的條件是，其中一個愛里斑的邊緣即光強0點，與另一個愛里斑的中心即光強最大點重合。此時合成光強的中心極小值是兩側極大值的75%。愛里斑的角徑：2023/2/2549瑞利判據—縫形光闌瑞利判據：兩個靠近的縫形光闌的衍射圖樣能夠被區(qū)分的條件是，其中一個中心亮紋的邊緣即光強0點，與另一個的中心亮紋的中線即光強最大點重合。此時合成光強的中心極小值是兩側極大值的81%。中心極大的角徑：2023/2/2550望遠鏡的分辨本領望遠鏡對遠處物體成像，可視為平行光照射物鏡的孔徑。若兩個物點恰好能被望遠鏡分辨，這兩點相對于物鏡中心的張角為：物鏡孔徑越大則分辨率越高

在設計望遠鏡時，為了充分利用物鏡的分辨本領，應保證物鏡的最小分辨角經放大后等于眼睛的最小分辨角。2023/2/2551照相物鏡的分辨本領照相物鏡一般都是用于對較遠物體的成像，感光底片的位置大致與照相物鏡的焦平面重合。若照相物鏡的孔徑為D，相應第一極小的衍射角為θ0，則底片上恰能分辨的兩條直線之間的距離ε′為：習慣上，照相物鏡的分辨本領用底片上每毫米內能成多少條恰能分開的線條數N表示，N為2023/2/2552照相物鏡的分辨本領D/f是照相物鏡的相對孔徑，其倒數f/D稱為光圈數。照相物鏡的相對孔徑愈大，分辨本領愈高。例如，對于D/f=1∶3.5的常用照相物鏡，若λ=0.55μm，則N=1490×1/3.5=425（條/mm）。作為照相系統總分辨本領的要求來說，感光底片的分辨本領應大于或等于物鏡的分辨本領。2023/2/2553顯微鏡的分辨本領與望遠物鏡和照相物鏡成像特點相反，顯微物鏡成像是物近像遠。雖然S1和S2離物鏡很近，它們的像也是物鏡邊緣（孔徑光闌）的夫朗和費衍射圖樣，其愛里斑的半徑為：注意此處以像距l(xiāng)?代替了焦距f。2023/2/2554顯微鏡的分辨本領顯微鏡物鏡的成像滿足阿貝（Abbe）正弦條件：其中n和n′分別是物方和像方折射率，在n′=1時，有：因此能分辨兩點物的最小距離為：2023/2/2555顯微鏡的分辨本領式中，NA=nsinu稱為物鏡的數值孔徑。因此，提高顯微鏡分辨本領的途徑是：①增大物鏡的數值孔徑NA；②減小成像波長。例如，電子顯微鏡利用電子束的波動性成像，由于其波長可達10-3nm，因而分辨本領將比可見光顯微鏡提高幾十萬倍，只是由于電子顯微鏡的數值孔徑較小，其分辨本領實際上僅提高千倍以上。2023/2/2556棱鏡光譜儀的色分辨本領

B得到棱鏡光譜儀的色分辨本領：棱鏡底邊長與材料色散率的乘積?？赏ㄟ^選用高色散率的材料和多個棱鏡組合（增大B）來提高色分辨本領。2023/2/2557第四章光的衍射4.1衍射基本理論4.2菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射4.3矩孔、單縫和圓孔的夫瑯禾費衍射4.4光學成像系統的衍射和分辨本領4.5雙縫夫瑯禾費衍射與楊氏雙縫干涉4.6多縫夫瑯禾費衍射4.7衍射光柵4.8圓孔和圓屏的菲涅爾衍射2023/2/2558楊氏干涉實驗回顧楊氏干涉實驗全稱？——楊氏雙孔干涉×——楊氏雙縫干涉√等光程差面是回轉雙曲面族基于兩個點光源得到，實際上是“雙孔干涉”。干涉條紋是等光程面與觀察屏的交線雙曲面族與平行于兩點連線的觀察屏的交線，并非嚴格相互平行當觀察范圍較小時，條紋近似平行直線當觀察范圍增大時，條紋凹向兩側彎曲

2023/2/2559楊氏雙縫干涉雙縫干涉能夠得到嚴格意義的直條紋：唯象解釋：線光源中各點產生的干涉條紋相互錯位，疊加效果是嚴格直條紋。——聽起來有道理，但顯得牽強，有待嚴格的數學證明？線光源與等傾干涉中的面擴展光源不同，后者的所有光源點產生的干涉條紋都是重合的?；诟缮胬碚撝械臄U展光源分析方法，不是嚴格的數學證明。引入衍射理論中的子波干涉疊加思想，各點光源的作用通過沿狹縫方向的線積分來體現。2023/2/2560楊氏雙縫干涉其中：令：則：得到任一點P處場強：以上積分結果與坐標值y無關，因此干涉條紋與y軸平行。2023/2/2561楊氏雙縫干涉—條紋分析分母中的r，采用傍軸近似：其中：考察y軸附近的條紋分布，因此在x1方向，滿足菲涅爾近似條件。指數中的r，采用菲涅爾近似：相當于二項式展開，對y軸方向保留所有項，對x軸僅保留第1、2項。2023/2/2562楊氏雙縫干涉—條紋分析在兩條狹縫范圍內進行線積分：2023/2/2563楊氏雙縫干涉—條紋分析其中：得到：2023/2/2564楊氏雙縫干涉—條紋分析考察積分量：令：得到：積分結果C與坐標值y無關，因此條紋分布與y無關，是平行于y軸的直條紋。楊氏雙縫干涉條紋是嚴格意義的直條紋?？紤]菲涅爾近似，在y軸附近的條紋分布與之前干涉部分的分析結果一致；或者說，之前干涉部分的分析結果，對應菲涅爾近似情況。2023/2/2565雙縫衍射其中：2023/2/2566雙縫衍射其中：衍射圖樣：雙縫衍射：單縫衍射因子+雙縫干涉因子，前者對后者產生調制作用，構成衍射圖樣的強度輪廓；后者決定每個條紋的位置。改變d和a時，衍射圖樣的變化2023/2/2567雙縫衍射

2023/2/2568干涉與衍射的區(qū)別？干涉與衍射的區(qū)別？——繞射？

楊氏干涉實驗，也存在繞射?！硬ǜ缮姣B加思想的引入？

楊氏雙孔干涉裝置中，雙孔對同源光波分波前，通過兩個子波干涉疊加，得到衍射圖樣。楊氏雙縫干涉，經過雙縫分波前，得到兩個相干的線光源，通過線積分處理子波干涉疊加問題。較前者，增加考慮狹縫長度方向的子波疊加問題。

雙縫衍射，經過雙縫分波前，得到兩個相干的狹長面光源，通過面積分處理子波干涉疊加問題。較前者，增加考慮狹縫寬度方向的子波疊加問題。干涉實質是衍射的理想化特例，在一定條件下作點光源處理。（干涉理論中對擴展光源的分析，實質上也是作點光源處理。）楊氏雙孔干涉——楊氏雙縫干涉——雙縫衍射2023/2/2569雙縫干涉的應用—瑞利干涉儀

2023/2/2570第四章光的衍射4.1衍射基本理論4.2菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射4.3矩孔、單縫和圓孔的夫瑯禾費衍射4.4光學成像系統的衍射和分辨本領4.5雙縫夫瑯禾費衍射與楊氏雙縫干涉4.6多縫夫瑯禾費衍射4.7衍射光柵4.8圓孔和圓屏的菲涅爾衍射2023/2/2571多縫夫瑯禾費衍射單個縫在P點產生單縫衍射，多個縫在P點產生的衍射是多個單縫衍射的疊加。各條縫在P點產生的復振幅分別為：其中：2023/2/2572多縫夫瑯禾費衍射圖樣N條縫在P點產生的復振幅：P點光強：以平行光照射多縫時，每個狹縫都將在P點產生衍射場，由于這些光場均來自同一光源，彼此相干，因干涉效應，使觀察屏上的光強度重新分布。因此，多縫衍射現象包含有衍射和干涉雙重效應。2023/2/2573多縫夫瑯禾費衍射圖樣—極值點多縫衍射圖樣中的亮紋和暗紋的位置由多縫干涉因子決定：光強為極大值，稱為主極大。光強為極小值。每兩個相鄰的主極大之間有N-1個極小值，N-2個次極大值。2023/2/2574多縫夫瑯禾費衍射圖樣—條紋角寬度

可以看到，隨著縫數增加，衍射條紋變得更加精細，為了描述這個特性，對條紋的角寬度進行分析。

2023/2/2575多縫夫瑯禾費衍射圖樣—條紋強度主極大強度為：它們是單縫衍射在各級主極大位置上所產生光強的N2倍。其中零級主極大的強度最大，等于N2

I0

。2023/2/2576多縫夫瑯禾費衍射圖樣—缺級現象由于多縫衍射是單縫衍射因子對多縫干涉因子的調制，所以存在缺級現象。當某些多縫干涉主極大與單縫衍射極小位置重合時，這些級次的主極大被調制為零。單縫衍射因子的零點：為衍射角。其中：2023/2/2577多縫夫瑯禾費衍射圖樣—缺級現象光強主極大位置：單縫衍射零點：缺級的主極大：2023/2/2578多縫夫瑯禾費衍射圖樣—缺級現象

2023/2/2579第四章光的衍射4.1衍射基本理論4.2菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射4.3矩孔、單縫和圓孔的夫瑯禾費衍射4.4光學成像系統的衍射和分辨本領4.5雙縫夫瑯禾費衍射與楊氏雙縫干涉4.6多縫夫瑯禾費衍射4.7衍射光柵4.8圓孔和圓屏的菲涅爾衍射2023/2/2580衍射光柵光柵是一種精細加工的光學元件。光柵上有著大量平行、等寬、等距的狹縫，其主要作用是通過衍射將不同波長的光分開為不同衍射角度。光柵能夠獲得比棱鏡大得多的色散，在光譜分析領域有著重要的應用。光柵分為透射式和反射式，此處主要研究的是透射式平面衍射光柵。2023/2/2581光柵方程—正入射光柵方程意義：給定由光柵的多縫衍射形成的衍射圖樣中主最極大亮線（光譜線）的形成條件。光柵方程的實質：由光程差決定的干涉加強條件。對于光柵常數d一定的光柵，不同波長的光的同級光譜線對應的衍射角θ不同，因此不同波長的光在空間位置上會分開，這就是光柵的分光原理。2023/2/2582光柵方程—斜入射

當入射光和衍射光位于光柵平面法線的同側時，取正號；當入射光和衍射光位于光柵平面法線的異側時，取負號。2023/2/2583光柵的色散本領—角色散角色散——光柵的角色散指波長差為單位波長的兩條光譜線之間的角距離。由光柵方程取微分得到角色散：色散本領是指光柵對不同波長的同級主極大光譜線分開的程度，通常用角色散和線色散表示。角色散越大，表示不同波長的光被分得越開：與光譜級次m成正比，級次愈高，角色散就愈大；與光柵刻痕密度1/d成正比，刻痕密度越大（光柵常數d越?。巧⒕驮酱?。2023/2/2584光柵的色散本領—線色散線色散——光柵的線色散指在聚焦物鏡的焦平面上，波長差為單位波長的兩條光譜線之間分開的距離。由光柵方程取微分得到角色散：其中f為物鏡的焦距。為了使不同波長的光分得開一些，一般都采用長焦距物鏡。由于實用衍射光柵的光柵常數d通常都很小，亦即光柵的刻痕密度1/d很大，所以光柵光譜儀的色散本領很大。2023/2/2585光柵的色分辨本領色散本領表示了不同波長的兩個衍射主極大分開的程度。

由于衍射，每一條譜線都具有一定寬度。當兩譜線靠得較近時，盡管主極大分開了，它們還可能因彼此部分重疊而分辨不出是兩條譜線。分辨本領是表征光譜儀分辨開兩條波長相差很小的譜線能力的參量。2023/2/2586光柵的色分辨本領根據瑞利判據，當λ+Δλ的第m級主極大剛好落在λ的第m級主極大旁的第一極小值處時，這兩條譜線恰好可以分辨開。如果光柵所能分辨的最小波長差為Δλ，則分辨本領定義為：根據光柵的角色散式，與角距離Δθ對應的Δλ為：根據多縫衍射分析結果，主極大與最近暗紋之間的角距離Δθ為：得到光柵的分辨本領為：2023/2/2587光柵的色分辨本領式中，m是光譜級次；N是光柵的總刻痕數。該式說明，光柵分辨本領與光柵常數無關，只與m和N有關。通常光柵所使用的光譜級次并不高（m=1～3），但是光柵的刻痕數很大，所以光柵光譜儀的分辨本領仍然很高。當入射光束的寬度沒有完全覆蓋光柵孔徑時，實際獲得的色分辨本領，取決于被光束覆蓋的刻痕數量。2023/2/2588光柵的自由光譜范圍由于光柵的分光特性，不同波長的光的同級譜線在光譜圖上的位置不同，形成一定寬度的譜帶?？梢酝茢?，當譜線級數增大時，較低級數的長波譜線將和較高級數的短波譜線在空間位置上發(fā)生重疊，這將會使光譜圖變得難以辨認。因此有必要討論光譜的不重疊區(qū)，即自由光譜范圍。光譜儀的自由光譜范圍（或稱為色散范圍）是指它的光譜不重疊區(qū)的譜帶寬度。根據光柵方程，光譜不重疊區(qū)Δλ應滿足：2023/2/2589光柵的自由光譜范圍物理意義：波長為λ的入射光的第m級衍射譜帶，只要入射光的譜線寬度小于Δλ=λ/m，就不會發(fā)生與λ的(m-1)或(m+1)級衍射譜帶重疊的現象。由于光柵都是在低級次下使用，故其自由光譜范圍很大，在可見光范圍內為幾百nm，所以它可在寬闊的光譜區(qū)內使用。2023/2/2590平面光柵中的問題

2023/2/2591閃耀光柵的設計思想讓狹縫平面與光柵平面不重合，就可以將衍射主極大方向偏離干涉零級主極大，而指向某個非零級主極大。閃耀光柵又叫炫耀光柵、定向光柵，它是一種反射式光柵，槽面與光柵面成一定夾角，使單槽的衍射主極大偏離干涉零級主極大方向，從而彌補了平面光柵的不足。

2023/2/2592閃耀光柵的工作原理考慮：此時的B方向光很強，就如同物體光滑表面反射的耀眼的光一樣，所以稱該光柵為閃耀光柵。該式稱為主閃耀條件，波長λB稱為該光柵的閃耀波長，m是相應的閃耀級次，這時的閃耀方向即為光柵的閃耀角γ的方向。

當方向C與B重合時，光柵方程：2023/2/2593閃耀光柵的工作原理如果一塊閃耀光柵對波長λB的一級光譜閃耀，得到：λB稱為一級閃耀波長。上式還可以看出，對λB的一級光譜閃耀的光柵，也分別對λB/2、λB/3、···的二級、三級、···光譜閃耀。盡管嚴格說來閃耀光柵在同一級光譜中只對閃耀波長產生極大的光強，而對其它波長則不能，但由于單槽衍射的中央主極大到極小有一定的寬度，所以閃耀波長附近一定波長范圍內的譜線也會得到相當程度的閃耀。2023/2/2594閃耀光柵的衍射效率

多縫衍射圖樣：

2023/2/2595閃耀光柵的衍射效率衍射主極大與λB的一級譜線重合，又因為光柵的單槽寬度近似等于刻槽周期，所以λB的其它級光譜（包括零級）均成為缺級。因此一級譜線的衍射效率達到80%以上。當閃耀角γ較大時，a/d不再接近于1，將會出現其他級次的譜線。a/d=0.92023/2/2596第四章光的衍射4.1衍射基本理論4.2菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射4.3矩孔、單縫和圓孔的夫瑯禾費衍射4.4光學成像系統的衍射和分辨本領4.5雙縫夫瑯禾費衍射與楊氏雙縫干涉4.6多縫夫瑯禾費衍射4.7衍射光柵4.8圓孔和圓屏的菲涅爾衍射2023/2/2597菲涅爾衍射在菲涅耳近似成立的距離上觀察到的衍射現象。被積函數含有二次因子，即使對于簡單的衍射物（矩孔、狹縫、圓孔）也難以得到解析解。因此對于菲涅耳衍射一般不由上式直接計算，而是采用一些半定量的方法或數值計算方法。2023/2/2598菲涅爾波帶法考察以平行光垂直照射圓孔衍射屏的衍射現象：以觀察屏中心點P0為中心，以z1,z2,…,zn為半徑，作出一系列球面，每個球面都與Σ相交成圓，把Σ分成n個環(huán)帶。z1,z2,···,zn滿足：因此，相鄰兩個環(huán)帶上的相應兩點到P0點的光程差為半個波長，這樣的環(huán)帶叫菲涅耳半波帶（或菲涅耳波帶）。2023/2/2599軸上P0點光強計算

n為偶數n為奇數2023/2/25100軸上P0點光強計算由惠更斯-菲涅耳原理可知，各波帶在P0點產生的振幅|Ej|由三個因素決定：波帶的面積大小Aj；波帶到P0點的距離rj；波帶對P0點連線的傾斜因子K(θ)：波帶面積：其中：得到：各波帶面積近似相等2023/2/25101軸上P0點光強計算各個波帶在P0點產生的光波復振幅：可見，隨著j增大，rj、θj也相應增大，所以各波帶在P0點所產生的光場振幅將隨之單調減小：這種變化比較緩慢，所以近似有下列關系：2023/2/25102軸上P0點光強計算于是，在n為奇數時：在n為偶數時：當n較大時，|En-1|≈|En|，故有：n為偶數時，取負號；n為奇數是，取正號。2023/2/25103軸上P0點光強討論當半波帶總數n不太大時，有以下的近似結果：設半波帶總數n為奇數：設半波帶總數n為偶數：與n為奇數對應的P0點為亮點，與n為偶數對應的P0點為暗點。實驗現象：改變衍射孔的大小或是移動觀察屏，可以觀察到衍射點明暗交替的變化。2023/2/25104軸上P0點光強討論若觀察屏與衍射物之間距離大到只有一個波帶能夠通過時，軸上點P0的復振幅為：點P0的光強為：若圓孔很大，或者衍射屏不存在時：可知，當只有一個波帶能夠通過時，軸上P0點光強為衍射屏不存在時的4倍。如果觀察屏的距離z1足夠大，將達到夫瑯禾費衍射條件，與衍射圖樣中心為亮斑的結論一致。2023/2/25105菲涅爾數要知道軸上P0點的明暗，關鍵是要知道圓孔波面能劃分的波帶數目n：稱為波帶數，或者菲涅爾數。2023/2/25106菲涅爾圓孔衍射圖樣對于軸外點P，同樣可以用菲涅爾波帶法進行分析。以P點為中心的一組波帶，除靠近中心的幾個，外圍不再是完整的圓形環(huán)帶。2023/2/25107菲涅爾圓孔衍射圖樣P點光強不僅取決于波帶的數目，也取決于每個波帶露出部分的面積。由對稱性可知，衍射圖樣是一組亮暗交替的同心圓環(huán)，中心可能是亮斑也可能是暗斑。2023/2/25108菲涅爾圓屏衍射圖樣與上面的情況不同，如果用一個不透明的圓形板替代圓孔衍射屏，將會產生怎樣的衍射圖樣?2023/2/25109菲涅爾圓屏衍射圖樣仍然由P0對波面作波帶，只是在圓屏的情況下，開頭的N個波帶被擋住，第(N+1)個以外的波帶全部通光。因此，P0點的合振幅為：2023/2/25110菲涅爾圓屏衍射圖樣這就是說，只要屏不十分大，(N+1)為不大的有限值，則P0點的振幅總是剛露出的第一個波帶在P0點所產生的光場振幅的一半，即P0點永遠是亮點，所不同的只是光的強弱有差別而已。如果圓屏較大，P0點離圓屏較近，N是一個很大的數目，則被擋住的波帶就很多，P0點的光強近似為零，基本上是幾何光學的結論：幾何陰影處光強為零。2023/2/25111菲涅爾波帶片由菲涅耳波帶法可知，對于圓孔衍射，奇數（或偶數）波帶在軸上點P0產生的振幅是同相位的，而偶數與奇數波帶產生的復振幅是反相位的。如果能夠制成一個特殊光闌，阻擋所有偶數波帶，僅讓奇數波帶通過，這些通光波帶產生的復振幅將在P0點同相位疊加，該點振幅和光強將會大大增加。對一個露出20個波帶的衍射孔，其作用結果是彼此抵消，P0為暗點?，F在如果僅讓其中的1、3、5、···、19等10個奇數波帶通光，則P0點的合振幅為：E=|E1|+|E3|+|E5|+…+|E19|≈10|E1|=20|E∞|I=(20|E∞|)2=400I∞光強是光闌不存在時的400倍2023/2/25112菲涅爾波帶片這種將奇數波帶或偶數波帶擋住所制成的特殊光闌叫菲涅耳波帶片。平行光垂直照射菲涅爾波帶片，將在軸上點P0呈現一個高強度的亮點，類似于透鏡的聚光作用，因此又稱為菲涅耳透鏡。菲涅爾透鏡的焦距：2023/2/25113菲涅爾透鏡的成像關系以點光源S照明菲涅爾波帶片時，波帶片平面上的子波不再同相位，因此不再聚焦于P0點