2021-2022學年江蘇省淮安市高中校協作體高二下學期期中聯考數學試題一、單選題1．已知空間向量a(1,2,3)，則向量在坐標平面xOz上的投影向量是（）a(0,1,2)A．(1,2,0)B．(1,0,3)D．C．(0,2,3)【答案】D【分析】根據投影向量的定義即可得出正確的答案.【詳解】根據空間中點的坐標確定方法知，A(1,2,3)空間中點在坐標平面上的投影坐標，xOz縱坐標為0，橫坐標與豎坐標不變．a(1,2,3)在坐標平面xOz上的投影向量是：(1,0,3)，所以空間向量故選：D.cosm,n12，2．已知向量，n分別是直線則l與α所成的角為（）A．30°B．60°l和平面α的方向向量和法向量，若mC．120°D．150°【答案】Acosm,n1【分析】由知直線l和平面α的法向量所夾銳角為60°，根據直線l和α的位置關系，即可得出答案l和平面α的法向量所夾銳角為60°，因此2平面.【詳解】由已知得直線l與α所成的角為30°.故選：A..屬于基礎題.找到向量l與α所成角的關系是【點睛】本題考查線面角m，n的夾角與解本題的關鍵.3．已知兩平面的法向量分別為m(0，1，0)，n(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為（）A．45°B．135°D．90°C．45°或135°【答案】C【分析】直接利用空間向量的夾角公式公式，求解二面角的大小即可．mncos〈m,n〉12=，即〈m,n〉45.=【詳解】mn122∴兩平面所成二面角為45或180－45135.第1頁共17頁故選：C.1x4．1(12x)4展開式中x2的系數為（）A．10B．24C．32D．56【答案】D1x1(12)41(12)1【解析】先將式子(12x)化成，再分別求兩項各自的x24xx4x的系數，再相加，即可得答案.1x(12x)41(12x)41(12x)4，x1【詳解】∵∴(12x)4展開式中1(2)24x2，含的項為x222Cx411(12x)C(2x)332x展開式中含x的項2，4234xx2243256.故的系數為x故選：D.【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系，考查函數與方程思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.5．某班級從A，B，C，D，E，F六名學生中選棒只能在A，中選B一人，第四棒只能在A，中選C一人，則不同的選A．24種B．36種C．48種D．72種四人參加4×100m接力比賽，其中第一派方法共有（）【答案】B【分析】分第一棒選或選，兩類求解.AB【詳解】解：當第一棒選時，第四棒只能選，則有A2種選派方法；AC4當第一棒選B時，則有2A2種選派方法.4由分類計數有A24原理得，共2A243236種選派方法.A4故選：B6．如圖所示，某地有南北街道6條、東西街道5條，一快遞員從A地出發(fā)，送貨到地，C且途經B地，求要所走路程最短，共有（）種不同的走法．A．100B．80C．60D．40【答案】D第2頁共17頁【分析】考慮小矩形的橫邊和直邊，例如從到BC的最短距離就是從2個橫邊加3個直邊共5條線段，不同的方法就是什么時候走直邊什么時候走橫邊，由組合知識可得不同的方法數，根據分步乘法計數原理可得．CC4【詳解】分兩步，第一步從到的最短距離的走法有，第二步從到C的最BAB1433短距離走法有10，由分步乘法計數原理得，總方法數為41040．CC2353故選：D．7．已知向量(2,0,1)為平面的法向量，點nP(1,2,2)A(1,2,1)在內，則點到平面的距離為（）55A．B．5C．25D．510【答案】B【分析】直接利用點到面的距離的向量求法求解即可【詳解】因為A(1,2,1)，P(1,2,2)所以PA(2,0,1)，因為平面的法向量n(2,0,1)，|PAn||41|所以點到平面的距離d5.P|n|5故選：B【點睛】此題考查利用向量求點到面的距離，屬于基礎題，，0)abmm(8．中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，設ab(modm)稱a和對模m同余，為整數，若a和被除得的bm余數相同，則記為.如b921(mod6)，若余數都是記為9和21除以6所得的3，則aC0C12C222C22222ab(mod10)，則，b的可值以是（）22222222A．2019B．2020C．2021D．2022【答案】A【分析】利用二項式定理化簡aC02212222222為(101)11，展開可CCC22222222得到a被10除余9，由此可得答案.aC【詳解】CCC1222222222(12)22322911222222022(101)11C01011C11010(1)1C2109(1)2C1010(1)10C11(1)11,1111111111所以a被10除余9，第3頁共17頁二、多選題mB．AmmAnm1n1nm!C．Cmn1CmCm1D．Cn1Cmm1n1m1nnn【答案】ACD【分析】根據排列數和組合數公式，化簡，即可求解.【詳解】A．根據排列和組合數公式，可知A顯然成立；B.Amn(n1)(n2)(nnmA(n1)(n2)(nm1)1)，，m1n1AnA所以，故B不成立；mnm1n1n!n!CmCm1m!(nm)!(m1)!(n1m)!C.nnn!11n!(n1)(n1)!(m1)!(nm)!mn1m(m1)!()!(1m)m!(n1m)!nmmn，(n1)!Cm,故C成立；m!(n1m)!(n1)!n1n1n!n1(m1)!(nm)!m1m!(nm)!m1C，故mCD.D成立.m1n1n故選：ACDABCDABCD10．如圖所示，在正方體中，下列結論正確的是（）1111A．BD//平面CBD11B．ACBD1C．向量AD與CB的夾角為60°1第4頁共17頁1111則有A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，B(1，0，1)，C(1，1，1)，11D1(0，1，1)，所以AD＝(0，1，0)，BD＝(－1，1，0)，AC＝(1，1，1)，＝(－1，1，0)，CBBD1111＝(0，－1，1)，BD//BD，BD平面A對于選項，由BD＝BD可得CBD，BD平面CBD，1111111111所以BD//平面CBD，A正確；11對于選項B，由AC·BD1100可得ACBD，B正確；11ADCB對于選項C，由cosAD,CB1＝＝2，0180，故AD,CB11ADCB12向量AD與CB的夾角為135，C錯誤；1對于選項D，由AC1·BD=1100，AC·=0110，CB1111所以AC1BD，ACCB，BDCB＝B，BD,CB平面，CBD1111111111111所以AC平面CBD，D正確；111故選：ABD.11．關于ab11的說法，正確的是（）A．展開式中的二項式系數之和為2048第5頁共17頁B．展開式中只有第6項的二項式系數最大C．展開式中第6項和第7項的二項式系數最大D．展開式中第6項的系數最大【答案】AC【解析】根據二項展開式的二項式系數的性質進行分析可知A正確，B不正確，C正確，根據項的系數的符號可知D不正確.【詳解】ab11的展開式中的二項式系數之和為2112048，所以A正確；因為n11為奇數，所以展開式中有12項，中間兩項（第6項和第7項）的二項式系數相等且最大，所以B不正確，C正確；展開式中第6項的系數為負數，不是最大值，所以D不正確.故選：AC【點睛】本題考查了二項展開式的二項式系數的性質，考查了二項展開式中項的系數的最值問題，屬于基礎題.12．某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A，B，C三家企業(yè)開展“新冠肺炎”防護排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結論正確的是（）A．若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．所有不同分派方案共種43【答案】ABC【分析】選項A，B，C均可用分類加法計數原理求解；選項D可用分步乘法計數原理求解.【詳解】選項A：若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則有以下兩種情況：①派1名醫(yī)生去C企業(yè)，剩余3名醫(yī)生派到企業(yè)A或企業(yè)B中，有C12332種；4②4名醫(yī)生全部派到企業(yè)A或企業(yè)B中，有216種.4故共有321648種不同分派方案，故選項A正確；選項B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則有以下三種情況：①派2名醫(yī)生去A企業(yè)，剩余2名醫(yī)生一人去B企業(yè)，一人去C企業(yè)，有C112種；C242②派2名醫(yī)生去B企業(yè)，剩余2名醫(yī)生一人去A企業(yè)，一人去C企業(yè)，有C112種；C242③派2名醫(yī)生去C企業(yè)，剩余2名醫(yī)生一人去A企業(yè)，一人去B企業(yè)，有C112種.C242第6頁共17頁

故共有12121236種不同分派方案，故選項正確；B選項C：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則有以下三種情況：A①派醫(yī)生甲去A企業(yè)，再派一名醫(yī)生去A企業(yè)，剩余2名醫(yī)生一人去B企業(yè)，一人去C企業(yè)，有6種不同分派方案；CC13122名醫(yī)生去B企業(yè)，剩余1名醫(yī)生去C企業(yè)，有3種；C②派醫(yī)生甲去A企業(yè)，派2名醫(yī)生去C企業(yè)，剩余1名醫(yī)生去B企業(yè)，有3種.去A企業(yè)，派63312種不同分派方案，故選項23③派醫(yī)生甲C23共有C正確；選項D：第一步：派醫(yī)生甲去3個企業(yè)中的任何一個，有3種；第二步：派醫(yī)生乙去3個企業(yè)中的任何一個，有3種；第三步：派醫(yī)生丙去3個企業(yè)中的任何一個，有3種；第四步：派醫(yī)生丁去3個企業(yè)由分步乘法計數原理知，故選：ABC.中的任何一個，有3種；所有不同分派方案共381種，故選項D錯誤；4三、填空題13．從1，3，5，7，9中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成___________個沒有重復數字的四位數.(用數字作答)【答案】1260.【詳解】分析:按是否取零分類討論，若取零，則先排首位，最后根據分類與分步計數原理計數.詳解：若不取零，則排列數為C2C2A,若取零，則排列數為C2C1A1A,443353533CCAC2C1A1A1260個沒有因此一共有重復數字的四位數.25234433533點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.14．如圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為ABC的重心E是BD上一點，BE3ED,以AB,AC,AD為基底，則__________．GE第7頁共17頁【答案】1AB134AC3AD12323GEAEAGABBDAM【詳解】由題意，連接AE，則4AB（ADAB）2312（ABAC）3．4AB13ACAD13.124故答案為1AB13AD.AC4123mABC,,的平面方程Pxyz15．空間直角坐標系Oxyz中，經過點(,,)且法向量為000A(xx)B(yy)C(zz)0，經過點(,,)且一個方向向量為為Pxyz000000xx0yy0zzvn(,v,)(v0)的直線l的方程為，閱讀上面的材料并解決00,0,0的直線的方程為l下面問題：現給出平面的方程為xy2z70，經過xyz，則直線l與平面所成角大小為________.352【答案】306【分析】依題意可得平面法向量為m1,1,2，直線方向向量n3,5,2，根據空間向量法求出線面角的大小；【詳解】解：由平面的方程為xy2z70得平面法向量為m1,1,2，經過0,0,0xyz352得直線方向向量n3,5,2直線l的方程為，設直線l與平面所成角是，mn13(1)(5)2(2)1則cosm,n2，1129252|m||n|第8頁共17頁6,又,[0,]，所以，所以；mnmn3故答案為：6四、雙空題16．若(x2)(1)ax(1)ax(1)ax(1)ax(1)，則axa105543254321aaaaa____________，____________；（用數字作答）a312345【答案】110【分析】利用賦值法求得aaaaa，由二項式展開式的通項公式求得a.123453【詳解】由(x2)5a(x1)5a(x1)4a(x1)3a(x1)2a(x1)1a，054321令x1得，a10令得aaaaaa0,aaaaa1.x201234512345210.aC2，所以x2x1151535故答案為：1；10五、解答題n17．已知在x21的展開式中，第19項為常數項.2x求：（1）n的值；（2）展開式中5的系數.x【答案】（1）n10105（2）8【詳解】分析：（1）根據1x221n的展開式中，第9項為常數項，即可求解n的值；x（2）由（1）可得展開式的通項公式，令x的指數冪為5，求得的值，即可得到展開r式中5項的系數.x詳解：（1）在根據1x21n的展開式中，第9項為常數項，2x9項的通項公式為28rTC9x2n164C828rx2n20，x則第8nn所以，解得n10.2n200（2）由（1）可得展開式的通項公式第9頁共17頁5r2052rCx(1)r2r10r5，解得6，rr，令20Tr1Cr210r1020rx(1)rx22101C61058則得到展開式中5項的系數x.2410點睛：本題主要考查了二項式定理的應用，其中解答中熟記二項式定理的通項是解答的關鍵，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式TCranrbr；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考r1n查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項式定理的應用．18．用1，2，3，4，5，6，7組成無重復數字七位數，滿足下述條件的七位數各有多少個？(1)偶數不相鄰；(2)1和2之間恰有一個奇數，沒有偶數；(3)三個偶數從左到右按從小到大的順序排列.【答案】(1)1440(2)720(3)840【分析】（1）不相鄰問題插空法（2）先考慮12和21的情況，再將它們看作一個整體，與其它元素全排列（3）先選3個位置排偶數，再在剩下的位置排奇數.【詳解】(1)根據題意，分2步進行分析：①先將4個奇數排好，有A4種排法，4②排好后，有5個空位可選，其在中任選3個，安排3個偶數，有A3種排法，5則有A31440個符合題意的七位數；A445(2)根據題意，分2步進行分析：①在1和2之間安排一個奇數，考慮12和21的情況，有3A2種安排方法，2②將三個數字看成一個整體，與其他4個數字全排列，有A5120種排法，5則有3A5720個符合題意的七位數；A225(3)根據題意，分2步進行分析：①在7個數位中任選3個，將三個偶數從左到右按從小到大的順序排列，有C3種排法，7②剩下的4個數字安排在剩下的4個數位上，有A4種排法，4第10頁共17頁則有840個符合題意的七位數CA34.74119．在二項式(x)的展開式中，.給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數n2x和等于46；②所有奇數項的二項式系數和為256；③若展開式中第7項為常數項.試在上面三個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并且完成下列問題：(1)求展開式中二項式系數最大的項；(2)求展開式中的.(備注：常數項如果多個條件分別解答，按第一個條件計分)63166332x3【答案】(1)T5，T6x8212(2)【分析】（1）選擇①由C0C1C246求解；選擇②：由CC2C4256求解；0nnnnnn，令3r22n0求解；由，得到展開式中3r2nn9選擇③：由通項公式為TCr2rnx2r1n二項式系數最大的項為第5和第6項求解；，令3r2180求解.3r18（2）由展開式通項為TCr2r9x2r19【詳解】(1)解：選擇①：因為展開式前三項的二項式系數和等于46，n(n1)所以C0C1C246，即n146，2nnnn10n90，即n2n900，即解得或n9n10（舍去）選擇②：因為所有奇數項的二項式系數和為256，所以C0C2C4256，即2n1256，nnn解得n9.1nr3r2n，2r選擇③：通項公式為TCCr2rnxrx(nr)x22r1nn3r2n則有0，所以n3r22r6，因為展開式中第7項為常數項，即所以n9.所以展開式中二項式系數最大的項為第5和第6項，1163635453TCx2x216x，C5Tx；4953x4x2292856第11頁共17頁1x(9r)x2Cr2r9x29rr3r18(2)展開式通項為：C，Tr1r2993r18令0，r6，22127項，常數項為C23T7展開式中常數項為第.6920．設(3x1)8aaxax2ax3ax4ax5ax6ax7ax.8012345678(1)求的值；aaaaa02468(2)求除以9的余數；SC127C227C327C2627C2727(3)求2a3a4a8a的值a1.2348【答案】(1)22715(2)7(3)30721）分別令1和，兩式相加即可得結果；x1x【分析】（S（2）根據二項式系數和公式可得(91)1，再按照二項式定理展開即可得結果；9x（3）先對函進行求導，再令1即可得結果.(1)（1）對于(3x1)8aaxax2ax3ax【詳解】801238令1，得：xa①2aaaa801238x1令，得：4②a88aaaa0123①+②得：2(aaaaa)248880246∴aaaaa02215.72468(2)SC1C2C3C26C27227181(91)1992727272727C099C198(1)C297(1)2C792(1)7C89(1)8C9(1)919999999C098C197(1)C296(1)C79(1)C(1)2278989999顯然，上面括號內的數為正整數，故求S被9除的余數為7.aaxax2ax3ax(3)(3x1)880123824(3x1)7a2ax13ax28ax兩邊求導數得：7，1238x令1，則有242a2a3a8a，87123第12頁共17頁即1238中，為的中點2的正方體.ABCDABCDECD1EB1(2)求異面直線與所成角的余弦值；DE11(3)求點到平面的距離B1110(2)10(3)6【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；【詳解】(1)解：因為正方體ABCDABCD棱長為2，1111DA,DC,DD所在直線故以D為坐標原點，分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標1系，則有D(0,0,0)A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)D(0,0,2)，，1，第13頁共17頁A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2).111E(0,1,0)因為為CD的中點，所以E，EB(2,1,2)，AD(2,0,2)，11EBAD2(2)10220，所以11EBADAD；所以，即EB1111(2)解：因為DE(0,1,0)(0,0,2)(0,1,2)，AB(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)，11DEAB2410cosDE,AB所以，11|DE||AB|58110111因為異面直線1DE與AB所成角是銳角，1DE與AB所成角的余弦值是10.1110所以異面直線(3)解：設平面的法向量是m(x,y,z)，則mAD，mAE，ADE11mAD0即，1mAE0(0,0,2)(2,0,0)(2,0,2)，AE(0,1,0)(2,0,0)(2,1,0)，又AD12x2z0令x1，則y2，z1，所以2xy