曲線擬合的最小二乘法第一頁，共四十七頁，2022年，8月28日況且，有時(shí)根據(jù)前人的經(jīng)驗(yàn)或數(shù)據(jù)的特點(diǎn)可以分析出經(jīng)驗(yàn)公式的大致形式，只是其中有些參數(shù)需要依據(jù)確定，不便使用插值逼近。這就需要新的逼近方法。引例、某種合成纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)有直接關(guān)系，下表是實(shí)際測(cè)定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)拉伸倍數(shù)的記錄。第二頁，共四十七頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)表格第三頁，共四十七頁，2022年，8月28日將數(shù)據(jù)描繪到坐標(biāo)紙上第四頁，共四十七頁，2022年，8月28日這種逼近方法要求：1)不要求逼近函數(shù)嚴(yán)格過已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)；2)但要求逼近函數(shù)在某種意義下盡可能靠近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)；第五頁，共四十七頁，2022年，8月28日f(x)為定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，已知f(x)的一組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(xi

，f(xi))，(i=1,2,……,m),＝span{0，1，……，n}為某一函數(shù)類，這一問題稱為最小二乘問題。其中(x)稱為權(quán)函數(shù)。曲線擬合的最小二乘法定義在中求一個(gè)函數(shù)s(x)=a00

+a11

+…+ann使得第六頁，共四十七頁，2022年，8月28日即要求：最小。當(dāng)取權(quán)函數(shù)(x)1

時(shí)有第七頁，共四十七頁，2022年，8月28日由于它關(guān)于系數(shù){a0，a1

，…，an}最小，因此有：記稱為函數(shù)k和j的內(nèi)積。第八頁，共四十七頁，2022年，8月28日則有于是有方程組：法方程由的線性無關(guān)性，知道該方程存在唯一解第九頁，共四十七頁，2022年，8月28日多項(xiàng)式擬合當(dāng)取0

＝1，1＝x，……，n＝xn時(shí),s(x)=a0+a1

x+…+anxn為一個(gè)多項(xiàng)式。此時(shí)法方程為第十頁，共四十七頁，2022年，8月28日1.線性擬合已知f(x)的一組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(xi

，f(xi))，(i=1,2,……,m),?。絪pan{1，x}，求函數(shù):y=a+bx擬合曲線f(x)。法方程為第十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日例：煉鋼是個(gè)氧化脫碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短，下表給出某廠平爐生產(chǎn)的記錄。xi表示熔畢碳的含量，yi表示冶煉時(shí)間，已知y=a+bx。i12345xi165123150123141yi187126170125148試根據(jù)數(shù)據(jù)確定參數(shù)a

和b

，并估計(jì)熔畢碳的含量為130時(shí)的冶煉時(shí)間。第十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日i12345xi165123150123141702yi187126170125148758xi2272251512922500151291988199864xiyi3085515498255001537520868108096法方程：5a+702b=758，

702a+99864b=108096解之得：a=-,b=1.283609576427256

y＝-x解：準(zhǔn)備數(shù)據(jù)：第十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日f(130)138.25.第十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日2.拋物擬合已知f(x)的一組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(xi

，f(xi))，(i=1,2,……,m),?。絪pan{1，x，x2}，求函數(shù):y=a+bx+cx2擬合曲線f(x)。法方程為第十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日擬合函數(shù)類型常常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或理論推導(dǎo)的結(jié)果來選擇的。當(dāng)無法分析擬合函數(shù)的類型時(shí)，可根據(jù)已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖的分布情況和特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)臄M合曲線類型。下面給出幾種常用曲線的圖形，并可通過適當(dāng)變換將其化為較簡(jiǎn)單的擬合：幾種常見曲線擬合的線性化第十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日1.雙曲線：

(a>0)第十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日2.指數(shù)函數(shù)：第十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日3．指數(shù)函數(shù)：

(a>0)第十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日4．對(duì)數(shù)函數(shù)：第二十頁，共四十七頁，2022年，8月28日5．冪函數(shù)：第二十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日6．S曲線第二十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日現(xiàn)有一組測(cè)量數(shù)據(jù)如下表：xi0.00.51.01.52.02.5yi=f(xi)2.01.00.90.60.40.3

用曲線擬合的最小二乘法求形如y=beax的經(jīng)驗(yàn)公式，并用該公式估計(jì)x＝1.4時(shí)的y=f(1.4)的近似值.例第二十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日解：將y=beax變形，lny=lnb+ax令Y=lny,a0=lnb,則有線性關(guān)系：Y=a0+ax，準(zhǔn)備數(shù)據(jù)：于是法方程為：解之得：a0=0.562303,a=-0.722282,于是b＝1.754709.經(jīng)驗(yàn)公式為y=1.754709e

-0.722282x，y=f(1.4)0.68335第二十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日散點(diǎn)圖第二十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日擬合曲線圖第二十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日擬合曲線圖與散點(diǎn)圖對(duì)照第二十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日加入點(diǎn)y=f(1.4)0.68335第二十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日電容器充電后電壓達(dá)到100V，然后考試放電，經(jīng)檢測(cè)得到時(shí)間t與電壓u的一組數(shù)據(jù)如下：試建立電壓u與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并測(cè)算t=3.2時(shí)的電壓u為多少？例t012345678910u100755540302015101055第二十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日散點(diǎn)圖可作形如：u=Beat的經(jīng)驗(yàn)公式。第三十頁，共四十七頁，2022年，8月28日

Sumt01234567891055u100755540302015101055

U=lnu4.6054.3174.0073.6883.4012.9952.702.3022.3021.60941.60933.54t^20149162536496481100385t*U04.3178.01411.0613.614.9716.2416.1118.42014.48416.09133.34數(shù)據(jù)法方程組解之得b=4.61303,a=-0.312645.于是B=100.789,得經(jīng)驗(yàn)公式：u=100.789e-0.312645第三十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日第三十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日對(duì)機(jī)床廠問題作二次擬合得擬合曲線為第三十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日作三次擬合得擬合曲線為第三十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日下表是2004年8月11日男子賽跑奧運(yùn)會(huì)紀(jì)錄x1002004008001500y9.8419.3243.49102.58212.07試建立當(dāng)今成年男子賽跑所需時(shí)間與距離之間的函數(shù)關(guān)系，并測(cè)算男子1000米賽跑奧運(yùn)會(huì)紀(jì)錄大概為多少？例題第三十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日拋物擬合：T(x)=-3.576+0.11532x+0.0000191035x2T(1000)=130.847注意：作二次擬合時(shí)數(shù)據(jù)較大，處理困難，可換算單位將距離除以100處理，只需回代時(shí)換算回去即可。第三十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日2.冪函數(shù)擬合：T(x)=0.0410863x1.14587T(1000)=112.541第四十頁，共四十七頁，2022年，8月28日第四十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用實(shí)例：上海機(jī)床廠為客戶加工一個(gè)壓軸，要求壓軸邊緣曲線過下列各點(diǎn)，試設(shè)計(jì)壓軸邊緣曲線的方程。x0125250375500612750870100011251250y0-0.01-0.02-0.028-0.036-0.043-0.049-0.054