等效運(yùn)用“電像法”解高考物理題例說【浙江永嘉縣上塘中學(xué)325100錢呈祥】【北京市第八十中學(xué)100102韓敘虹】“電像法”由英國(guó)的數(shù)學(xué)、物理學(xué)家開爾文于1848年提出，是一種計(jì)算一定形狀導(dǎo)體電荷分布所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)問題的有效方法。具體用處指的是將一大堆非常難以計(jì)算的物體產(chǎn)生的電場(chǎng)等效于在某一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。電像法也是高中物理中常用到的一種方法，主要應(yīng)用于討論導(dǎo)體周圍有一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)空間的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)等問題。其核心思想是在不改變?cè)瓉韱栴}的邊界條件基礎(chǔ)上，用求解區(qū)域外的假想電荷代替導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷。掌握了這種方法，對(duì)學(xué)生解題思路的拓展和解題能力的提高都有很大的幫助。簡(jiǎn)單地說，比如有一個(gè)接地的薄導(dǎo)體板，這個(gè)導(dǎo)體板上面的電荷都是自由電荷，且這個(gè)導(dǎo)體板為無限長(zhǎng)。這時(shí)，在板的一側(cè)放上一個(gè)電荷量為q的電荷，這個(gè)電荷距離導(dǎo)體板的距離是r。這樣導(dǎo)體板上面就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷，問：距離導(dǎo)體板長(zhǎng)度為x的地方電場(chǎng)強(qiáng)度是多少？這個(gè)問題似乎很難做出來，因?yàn)檫@個(gè)導(dǎo)體板上面的電荷不是均勻的。但是其實(shí)不是這樣的，注意到導(dǎo)體板的電勢(shì)與地面的電勢(shì)相同（都接地），這樣，就可以做出來一個(gè)像電荷，來等效替代這個(gè)導(dǎo)體板。容易得到，這個(gè)電荷的位置恰好在與原來的電荷對(duì)稱的位置，電荷的大小與原來電荷相同，正負(fù)相反。嚴(yán)格地說，是在一定條件下，可以用一個(gè)或多個(gè)虛設(shè)的等效電荷來代替非點(diǎn)電荷的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，這些等效電荷稱為像電荷，這種求解方法稱為電像法。電像法的實(shí)質(zhì)在于將一給定的靜電場(chǎng)變換為另一易于計(jì)算的等效靜電場(chǎng)，多用于求解在邊界面（例如接地或保持電勢(shì)不變的導(dǎo)體）前面有一個(gè)或一個(gè)以上點(diǎn)電荷的問題，在某些情況下，從邊界面和電圖1圖1①一無限大接地導(dǎo)體板A前面有一點(diǎn)電荷Q，如圖1所示，則導(dǎo)體板A有（圖中左半平面）的空間電場(chǎng)，可看作是在沒有導(dǎo)體板A存在情況下，由點(diǎn)電荷Q與其像電荷-Q所共同激發(fā)產(chǎn)生。像電荷—Q的位置就是把導(dǎo)體板A當(dāng)作平面鏡時(shí)，由電荷Q在此鏡中的像點(diǎn)位置。于是左半空間任一點(diǎn)的P的電勢(shì)為，式中和分別是點(diǎn)電荷Q和像電荷-Q到點(diǎn)P的距離，并且，此處d是點(diǎn)電荷Q到導(dǎo)體板A的距離。電像法的正確性可用靜電場(chǎng)的唯一性定理來論證，定性分析可從電場(chǎng)線等效的角度去說明。②一半徑為r的接地導(dǎo)體球置于電荷q的電場(chǎng)中，點(diǎn)電荷到球心的距離為h，球上感應(yīng)電荷同點(diǎn)電荷q之間的相互作用也可以用一像電荷替代，顯然由對(duì)稱性易知像電荷在導(dǎo)體球的球心O與點(diǎn)電荷q的連線上，設(shè)其電量為，離球心O的距離為，如圖2所示，則對(duì)球面上任一點(diǎn)P，其電勢(shì)圖2o圖2o要使此式對(duì)任意成立，則必須滿足解得③對(duì)（2）中情況，如將q移到無限遠(yuǎn)處，同時(shí)增大q，使在球心處的電場(chǎng)保持有限（相當(dāng)于勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)），這時(shí)，像電荷對(duì)應(yīng)的無限趨近球心，但保持有限，因而像電荷和在球心形成一個(gè)電偶極子，其電偶極矩。xyzqO無限遠(yuǎn)的一個(gè)帶無限多電量的點(diǎn)電荷在導(dǎo)體附近產(chǎn)生的電場(chǎng)xyzqO【例1（2022年高考理綜安徽卷題20）】：如圖所示，xOy平面是無窮大導(dǎo)體的表面，該導(dǎo)體充滿的空間，的空間為真空。將電荷為q的點(diǎn)電荷置于z軸上z=h處，則在xOy平面上會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷。空間任意一點(diǎn)處的電場(chǎng)皆是由點(diǎn)電荷q和導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷共同激發(fā)的。已知靜電平衡時(shí)導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零，則在z軸上處的場(chǎng)強(qiáng)大小為（k為靜電力常量）A.B.C.D.【解析】：用位于導(dǎo)體平面下方h處的鏡像電荷-q代替導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷，邊界條件維持不變，即xOy平面為零勢(shì)面。在z軸上處，q的場(chǎng)強(qiáng)大小為，-q的場(chǎng)強(qiáng)大小為，兩個(gè)場(chǎng)強(qiáng)方向相同，其合場(chǎng)強(qiáng)E=，故D對(duì)，A、B、C錯(cuò)。qabcdQ【例2（2022年高考理綜新課標(biāo)=1\*ROMANI卷題15）】：如圖，一半徑為R的圓盤上均勻分布著電荷量為Q的電荷，在垂直于圓盤且過圓心c的軸線上有a、b、d三個(gè)點(diǎn)，a和b、b和c、c和d間的距離均為R，在a點(diǎn)處有一電荷量為q(q>0)的固定點(diǎn)電荷。已知b點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為零，則d點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)的大小為(qabcdQA.B.C.D.【解析】：由于b點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為零，根據(jù)電場(chǎng)疊加原理知，帶電圓盤和a點(diǎn)處點(diǎn)電荷在b處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相反。帶電圓盤在中心軸上產(chǎn)生電場(chǎng)的效果相當(dāng)于一個(gè)電荷量為q的點(diǎn)電荷Q1，這個(gè)Q1可以等效地代替原來的帶電圓盤。帶電圓盤在d點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為，固定在a點(diǎn)的點(diǎn)電荷q在d點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為，帶電圓盤和a點(diǎn)處點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相同，所以E=，所以B選項(xiàng)正確。電像法的根據(jù)是靜電場(chǎng)的唯一性定理，只要區(qū)域內(nèi)的電荷分布與邊界各點(diǎn)電勢(shì)給定，則區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)唯一確定，所以可用區(qū)域外的一個(gè)或多個(gè)像電荷來取代邊界及邊界以外的復(fù)雜電荷分布，只要不改變邊界條件，區(qū)域內(nèi)與原問題同解。可見，電像法是等效思想的應(yīng)用，當(dāng)然，在高中階段，要求深入理解等效思想的精髓，但并不需要去嚴(yán)格地推理論證。若遇到的問題與某種典型模型類似時(shí)，我們可以考慮用典型模型來等效替代。如一個(gè)正點(diǎn)電荷附近有一個(gè)巨大的平板，平板上的感應(yīng)電荷在各點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)可以看做是一個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。這個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷就如同正點(diǎn)電荷通過平板成的像，二者關(guān)于平板對(duì)稱，電荷量相等。等效的原因是：平板是等勢(shì)面，任何一點(diǎn)的電場(chǎng)都是垂直于平板的，這個(gè)電場(chǎng)與異性電荷形成的電場(chǎng)一致。運(yùn)用電像法解題時(shí)，還需注意：一般先根據(jù)題目的邊界條件來確定像電荷的位置和大小，然后再根據(jù)場(chǎng)的疊加原理求出電勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度等物理量。學(xué)生對(duì)于使用電像法并不困難，而問題出在總是“濫用”電像法。每遇到導(dǎo)體在電場(chǎng)中的情況時(shí)，就去使用電像法，其實(shí)很多問題是無法用電像法解決的。在此，一定要強(qiáng)調(diào)電像法的適用條件和使用范圍：=1\*GB3①所求區(qū)域有少數(shù)幾個(gè)或一個(gè)點(diǎn)電荷．如果點(diǎn)電荷過多，就很難利用邊界條件求出像電荷的電荷量與位置。=2\*GB3②導(dǎo)體或者介質(zhì)的邊界形狀比較規(guī)則（球面，平面，圓柱面），具有一定的對(duì)稱性。如果沒有很好的對(duì)稱性，像電荷是很難找出來的。=3\*GB3③邊界條件必須給定．如果沒有確定的邊界條件，那么唯一性定理也就不成立了，電像法就無從談起。=4\*GB3④像電荷是一些假想的電荷，它的