2.5.2第2課時橢圓的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用課時對點練1．已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2＋2y2＝2的左、右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|的最小值是()A．0B．1C．2D．2eq\r(2)★[答案]C★[解析]設(shè)P(x0，y0)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(1－x0，－y0)，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－2x0，－2y0)，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\r(4x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0))＝2eq\r(2－2y\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝2eq\r(－y\o\al(2,0)＋2).∵點P在橢圓上，∴0≤yeq\o\al(2,0)≤1，∴當(dāng)yeq\o\al(2,0)＝1時，|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|取得最小值2.故選C.2．已知地球運行的軌道是焦距為2c，離心率為e的橢圓，且太陽在這個橢圓的一個焦點上，則地球到太陽的最小距離為()A．ce－c B．2ce－2cC.eq\f(c,e)－c D.eq\f(2c,e)－2c★[答案]C★[解析]因為地球橢圓軌道的焦距為2c，離心率為e，所以由e＝eq\f(c,a)，得a＝eq\f(c,e)，而太陽在這個橢圓的一個焦點上，所以地球到太陽的最小距離為a－c＝eq\f(c,e)－c.3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，若|AB|＝5，則|AF1|＋|BF1|等于()A．9B．10C．11D．12★[答案]C★[解析]根據(jù)橢圓定義，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△AF1B的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.4．若橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓上一點P滿足∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為()A．64eq\r(3)B．16eq\r(3)C.eq\f(64\r(3),3)D.eq\f(16\r(3),3)★[答案]C★[解析]由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，|F1F2|＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°，即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(256,3)，∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝eq\f(64\r(3),3).5．(多選)某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點A(離地心最近的一點)距地面mkm，遠(yuǎn)地點B(離地心最遠(yuǎn)的一點)距地面nkm，并且F，A，B三點在同一直線上，地球半徑約為Rkm，設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c，則()A．a(chǎn)－c＝m＋R B．a(chǎn)＋c＝n＋RC．2a＝m＋n D．b＝eq\r(m＋Rn＋R)★[答案]ABD★[解析]∵地球的中心是橢圓的一個焦點，結(jié)合圖形可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝a－c－R，,n＝a＋c－R，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝m＋R，,a＋c＝n＋R，))(*)．故A，B正確；由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正確；由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，∴b＝eq\r(m＋Rn＋R)，故D正確．6．(多選)P為橢圓C上任一點，且焦點為F1，F(xiàn)2，若P到焦點F1的距離的最大值為2eq\r(5)＋2，最小值為2eq\r(5)－2，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,20)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,20)＝1★[答案]BC★[解析]依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝2\r(5)＋2，,a－c＝2\r(5)－2，))解得a＝2eq\r(5)，c＝2，∴b2＝a2－c2＝16，故所求橢圓的方程為eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,20)＝1.7．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，B為短軸端點，若△BF1F2為鈍角三角形，則e的取值范圍是__________．★[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))★[解析]如圖所示，△BF1F2為鈍角三角形，則∠F1BF2>90°，所以∠OBF2>45°，即c>b，所以c2>b2＝a2－c2，所以eq\f(c2,a2)>eq\f(1,2)，又0<e<1，即eq\f(\r(2),2)<e＜1.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2).過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為______________．★[答案]eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1★[解析]設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由e＝eq\f(\r(2),2)，知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).∵△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，∴a＝4，∴b2＝8，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.9．橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率e＝eq\f(\r(3),2)，已知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))到橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離是eq\r(7)，求這個橢圓的方程．解設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵eq\f(b,a)＝eq\r(\f(a2－c2,a2))＝eq\r(1－e2)＝eq\f(1,2)，∴a＝2b.∴橢圓方程為eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1.設(shè)橢圓上點M(x，y)到點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))的距離為d，則d2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝4b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y2,b2)))＋y2－3y＋eq\f(9,4)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＋4b2＋3(－b≤y≤b)，令f(y)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＋4b2＋3.①當(dāng)－b≤－eq\f(1,2)，即b≥eq\f(1,2)時，deq\o\al(2,max)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝4b2＋3＝7，解得b＝1，∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.②當(dāng)－eq\f(1,2)<－b，即0<b<eq\f(1,2)時，deq\o\al(2,max)＝f(－b)＝7，解得b＝eq\r(7)－eq\f(3,2)>eq\f(1,2)，與b<eq\f(1,2)矛盾．綜上所述，所求橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.10．已知橢圓M與橢圓N：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1有相同的焦點，且橢圓M過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2\r(5),5))).(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓M的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓M上，且△PF1F2的面積為1，求點P的坐標(biāo)．解(1)由題意，知橢圓N的焦點為(－2,0)，(2,0)，設(shè)橢圓M的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝4，,\f(1,a2)＋\f(4,5b2)＝1，))化簡并整理得5b4＋11b2－16＝0，故b2＝1或b2＝－eq\f(16,5)(舍去)，a2＝5，故橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1.(2)由(1)知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，設(shè)P(x0，y0)，則△PF1F2的面積為eq\f(1,2)×4×|y0|＝1，解得y0＝±eq\f(1,2).又eq\f(x\o\al(2,0),5)＋yeq\o\al(2,0)＝1，所以xeq\o\al(2,0)＝eq\f(15,4)，x0＝±eq\f(\r(15),2)，所以點P有4個，它們的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),2)，\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),2)，－\f(1,2))).11.神舟五號飛船成功完成了第一次載人航天飛行，實現(xiàn)了中國人民的航天夢想．某段時間飛船在太空中運行的軌道是一個橢圓，地心為橢圓的一個焦點，如圖所示．假設(shè)航天員到地球的最近距離為d1，最遠(yuǎn)距離為d2，地球的半徑為R，我們想象存在一個鏡像地球，其中心在神舟飛船運行軌道的另外一個焦點上，上面住著一個外星人發(fā)射某種神秘信號，需要飛行中的航天員中轉(zhuǎn)后地球人才能接收到，則傳送神秘信號的最短距離為()A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2RC．d2＋d1－2R D．d1＋d2★[答案]D★[解析]設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，半焦距為c，兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，飛行中的航天員為點P，由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d1＋R＝a－c，,d2＋R＝a＋c，))則2a＝d1＋d2＋2R，故傳送神秘信號的最短距離為|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.12.美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型(繪畫、建筑等)和數(shù)學(xué)．素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步，它包括了明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步．某同學(xué)在畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體)的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓(如圖所示)，若“切面”所在平面與底面成60°角，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,3)★[答案]C★[解析]橢圓長軸長為2a，短軸長為2b，“切面”是一個橢圓，由“切面”所在平面與底面成60°角，可得eq\f(2b,2a)＝cos60°，即a＝2b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).13．點P為橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1上任意一點，EF為圓N：(x－1)2＋y2＝1的任意一條直徑，則eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范圍是()A．(8,24)B．[8,24]C．[5,21]D．(5,21)★[答案]B★[解析]由題意，eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝(eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(NE,\s\up6(→)))·(eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(NF,\s\up6(→)))＝(eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(NE,\s\up6(→)))·(eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(NE,\s\up6(→)))＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|2－|eq\o(NE,\s\up6(→))|2，又EF為圓N：(x－1)2＋y2＝1的任意一條直徑，則|eq\o(NE,\s\up6(→))|＝1，在橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1中，有a－c≤|eq\o(PN,\s\up6(→))|≤a＋c，即3≤|eq\o(PN,\s\up6(→))|≤5，所以8≤|eq\o(PN,\s\up6(→))|2－1≤24，故eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|2－1的取值范圍為[8,24]．14．已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上．若|PF1|＝4，則∠F1PF2＝________.★[答案]120°★[解析]由eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1，知a＝3，b＝eq\r(2)，∴c＝eq\r(7)，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，∴cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝－eq\f(1,2)，又∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝120°.15.圓錐曲線與空間幾何體具有深刻而廣泛的聯(lián)系，如圖所示，底面半徑為1，高為3的圓柱內(nèi)放有一個半徑為1的球，球與圓柱下底面相切，作不與圓柱底面平行的平面α與球相切于點F，若平面α與圓柱側(cè)面相交所得曲線為封閉曲線τ，τ是以F為一個焦點的橢圓，則τ的的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，1))★[答案]B★[解析]當(dāng)α與底面趨于平行時τ幾乎成為一個圓，因此離心率可以充分接近0.當(dāng)α與底面的夾角最大時，τ的離心率達(dá)到最大，下面求解這一最大值．如圖，AB為長軸，F(xiàn)為焦點時，e最大，a＋c＝|BF|＝|BG|＝2，易知b＝1，所以eq\b\lc\{\r